1.3 Fermi-estimering og størrelsesorden

Et Fermi-problem er et spørsmål om en tallstørrelse ingen har slått opp for deg, og som skal besvares med et overslag — riktig størrelsesorden, ikke riktig siffer.

Kjennetegnene er tre:

- spørsmålet virker umulig ved første øyekast («hvor mange sandkorn er det på en strand?»);
- det kan brytes ned i noen få delspørsmål du kan anslå;
- svaret er interessant selv om det bommer med en faktor to eller ti.

Navnet kommer fra Enrico Fermi, som anslo styrken til den første kjernefysiske prøvesprengningen ved å slippe papirbiter og se hvor langt trykkbølgen flyttet dem. Anslaget hans lå innenfor en faktor to av den senere målte verdien.

På eksamen heter dette sjanger B, og oppgaveteksten sier gjerne «anslå», «gjør et overslag over» eller «estimer».

Framgangsmåten som gir poeng, er alltid den samme:

Steg 1 — forklar tankegangen eksplisitt. Skriv hvilken vei du skal gå, før du regner: «jeg finner volumet av hallen, ganger med lufttettheten, og sammenligner med noe kjent».

Steg 2 — velg en enkel geometrisk modell. En boks, en kule, en sylinder, en kjegle. Aldri noe mer komplisert — presisjonen du vinner, forsvinner uansett i usikkerheten i anslagene.

Steg 3 — regn i tierpotenser. Skriv hvert anslag på formen $a\cdot 10^{n}$ med ett eller to siffer, og gang sammen. Skriv ned hvert eneste anslag du gjør, med enhet.

Steg 4 — avslutt med en rimelighetsvurdering. Er svaret troverdig? Hva sammenligner du det med? Hvor stor er usikkerheten, og hvilken vei drar den?

Steg 1 og steg 4 er de som gir flest poeng. De er også de som studenter oftest hopper over. Et Fermi-svar som består av et enslig tall, får nesten ingenting — selv om tallet er riktig.

Fermi-oppgaven rettes annerledes enn resten av eksamen.

- Uttellingen ligger i resonnementet og størrelsesordenen, ikke i presisjonen.
- Typisk fordeling: rundt 2 poeng for tallet, 3 poeng for forklaringen (av inntil 5 per deloppgave).
- En estimering som bommer med to tierpotenser, men som er tydelig forklart og har rimelige delanslag, får mer uttelling enn et presist tall uten forklaring.
- Alle delanslag må stå eksplisitt i besvarelsen. Et anslag du ikke skrev ned, teller ikke — sensor kan ikke gi poeng for noe som bare skjedde i hodet ditt.

Praktisk konsekvens: skriv mer prosa i en Fermi-oppgave enn i en vanlig regneoppgave. Ett avsnitt om framgangsmåten, en punktvis liste over anslagene, regnestykket, og et avsnitt om rimeligheten.

$$N \approx 10^{14}, \qquad m \approx 1\cdot 10^{4}\ \text{kg}, \qquad E \approx 10^{11}\ \text{J}$$

Det er dette formatet en Fermi-oppgave skal besvares i. Å skrive $N = 1{,}4437\cdot 10^{14}$ er ikke mer presist — det er bare mer villedende, siden ingen av delanslagene hadde fem gjeldende siffer.

Tommelfingerregel: rund til ett gjeldende siffer i sluttsvaret på en overslagsoppgave, og si i klartekst at det er et overslag. I resten av faget gjelder derimot regelen om 2–3 gjeldende siffer.

$$\text{antall hjerteslag} = \frac{\text{slag}}{\text{minutt}}\times\frac{\text{minutter}}{\text{år}}\times\frac{\text{år}}{\text{liv}}$$

Legg merke til hvordan enhetene stryker: «minutt» i nevneren i første faktor mot «minutter» i telleren i andre, og så videre. Til slutt står «slag per liv» igjen.

Dette er benevningskontroll i praksis, og den viktigste feilsikringen du har i en Fermi-oppgave. Setter du opp kjeden med enheter og ser at de stryker riktig, har du ikke snudd en brøk opp ned — og en snudd brøk er en bom på flere tierpotenser.

En geometrisk modell er den enkle kroppen du erstatter det virkelige objektet med, for å kunne regne ut et volum eller et areal.

Reglene er to:

1. Velg den enkleste kroppen som fanger hovedformen. Et fjell er en kjegle. En innsjø er en flat boks. En person er en sylinder. En jordklode er en kule.
2. Tegn den, og skriv anslåtte mål på figuren. En figur med tall på er både raskere for deg og lettere å gi poeng for.

Presisjonen du taper på å bruke en kjegle i stedet for den virkelige fjellformen, er kanskje $30\ \%$. Usikkerheten i dine egne anslag av høyde og bredde er minst like stor. Å modellere formen nøyaktig er derfor bortkastet arbeid.

$$V_{\text{boks}} = L\,B\,H$$
$$V_{\text{sylinder}} = \pi r^{2}h$$
$$V_{\text{kule}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}$$
$$V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h$$

Alle fire står i Rottmann, den matematiske formelsamlingen du får bruke på eksamen — så de er ikke puggestoff. Men de er så korte at det lønner seg å ha dem i fingrene, siden du ellers bruker et minutt på å slå opp noe du kunne skrevet på fem sekunder.

To nyttige forhold å ha i bakhodet: en kjegle har en tredjedel av volumet til sylinderen den passer inni, og en kule to tredjedeler.

Overflater, som du trenger til malings- og varmeoppgaver: kule $4\pi r^{2}$, sylindermantel $2\pi r h$.

$$\rho = \frac{m}{V}, \qquad [\rho] = [M][L]^{-3}, \qquad \text{SI: } \text{kg}/\text{m}^{3}$$

Sammenhengen du bruker i praksis er den snudde formen: $m = \rho V$. Anslå volumet, gang med tettheten, og du har massen.

Referanseverdier du bør ha i hodet:

$$\text{fyllgrad} = \frac{\text{samlet volum av kroppene}}{\text{volumet de opptar}}$$

Verdier verdt å kjenne:

$$E = mgh$$

der $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ er tyngdeakselerasjonen.

I ord: kraften du må overvinne er tyngden $mg$, og arbeidet er kraft ganger strekning. Energien blir liggende i systemet som potensiell energi — den kan hentes ut igjen når massen faller ned.

Benevningskontroll: $\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^{2}\cdot\text{m} = \text{kg}\cdot\text{m}^{2}/\text{s}^{2} = \text{J}$ ✓

Uttrykket står på formelarket som deles ut på eksamen, og vi bygger det opp ordentlig i energidelen senere i boka. Her bruker vi det bare som et regneverktøy for overslag.

Referanse for å få følelse for tallene: en kilowattime er $3{,}6\cdot 10^{6}\ \text{J}$. Å løfte deg selv ($75\ \text{kg}$) opp fire etasjer ($15\ \text{m}$) koster $1{,}1\cdot 10^{4}\ \text{J}$ — altså tre tusendels kilowattime. Mennesker er billige å løfte; vann er det ikke, fordi det er så mye av det.

$$N_{\min} \le N_{\text{beste}} \le N_{\max}$$

Resultatet er et spenn i stedet for et enkelt tall, og spennet forteller ærlig hvor mye du vet.

Når du skal bruke den: når anslagene dine er svært usikre, eller når kjeden er lang. Den mest berømte anvendelsen er Drake-likningen for antall kommuniserende sivilisasjoner i galaksen, der spennet strekker seg over rundt tolv tierpotenser — og det er selve svaret: vi vet ikke.

Praktisk regel: har du $n$ anslag som hver er usikre med en faktor $f$, blir spennet i verste fall $f^{n}$ bredt. Fem anslag med faktor 2 hver gir en faktor 32 fra bunn til topp — altså halvannen tierpotens.

Ikke oppgi bare ytterpunktene. Sensor vil ha det beste anslaget og spennet: «rundt $10^{14}$, med et rimelig spenn fra $10^{13}$ til $10^{16}$».

Skriver du $N = 1{,}4437\cdot 10^{14}$ etter å ha anslått «rundt en halv millimeter» og «kanskje en meter dypt», har du gitt et inntrykk av nøyaktighet som ikke finnes.

Regelen i en overslagsoppgave: ett gjeldende siffer i sluttsvaret, eventuelt bare tierpotensen. Skriv «omtrent $10^{14}$» eller «rundt $1\cdot 10^{14}$», og si i klartekst at det er et overslag.

Merk skillet mot resten av faget: i en vanlig regneoppgave med oppgitte data skal du oppgi 2–3 gjeldende siffer. Der er inngangsdataene presise, og å runde til ett siffer koster deg poeng. Det er hvor presise inngangsdataene er, som avgjør — ikke hvilken oppgavetype det er.

Kalkulatoren gir deg alltid ti siffer. Det er ditt ansvar, ikke kalkulatorens, å vite hvor mange av dem som betyr noe.

En rimelighetsvurdering er den avsluttende drøftingen der du spør om svaret kan stemme.

Den skal inneholde tre ting:

1. En sammenligning med noe kjent. «Ti tonn er omtrent ti personbiler.» «Halvannen kilowattime er mindre enn å koke fem liter vann.» Det er sammenligningen som gjør et abstrakt tall vurderbart.
2. En vurdering av usikkerheten. Hvilke anslag er dårligst? Hvor bred er usikkerheten samlet — en faktor to, ti, tusen?
3. Retningen på usikkerheten. Har du systematisk regnet for høyt eller for lavt? Har du glemt en fyllgrad, en virkningsgrad, et tap?

Rimelighetsvurderingen er eksplisitt poenggivende i denne sjangeren, og den er den delen studenter oftest dropper. Den koster deg tre setninger.

Den brukes også utenfor Fermi-oppgaver: hver gang du har regnet ut en fart, en kraft eller en energi i denne boka, bør du bruke fem sekunder på å spørre om tallet er troverdig. En bil som akselererer med $200\ \text{m/s}^{2}$ er et regnefeil-varsel.

Et lite lager av tall du kan i hodet, gjør Fermi-oppgaver mye raskere. Dette er et utvalg som dekker de fleste oppgavene i sjangeren:

Når feilene er uavhengige og går like ofte opp som ned, har de en tendens til å oppheve hverandre i produktet: en overvurdering med en faktor 2 ett sted og en undervurdering med en faktor 2 et annet sted gir null samlet feil.

Regnet i tierpotenser: feilene legges sammen i eksponenten, og en sum av like mange positive som negative bidrag er nær null.

Forutsetningen er uavhengighet. Har du en systematisk skjevhet — glemt fyllgrad, brukt maksdybde i stedet for middeldybde, oversett en virkningsgrad — går alle feilene samme vei, og de hoper seg opp i stedet for å kansellere.

Dette er hele begrunnelsen for steg 4 i oppskriften: rimelighetsvurderingen er stedet du leter etter de systematiske skjevhetene, siden de tilfeldige tar seg av seg selv.

En skranke er et tall du kan si med sikkerhet at svaret ligger over (nedre skranke) eller under (øvre skranke), uten å anslå noe.

Skranker er ofte lettere å finne enn selve anslaget, og de er kraftfulle når de er stramme:

- Nedre skranke for antall tennisballer i et klasserom: legg dem i ett lag på gulvet — $8/0{,}067 \times 6/0{,}067 \approx 1{,}1\cdot 10^{4}$. Svaret må være minst så stort.
- Øvre skranke: romvolumet delt på ballvolumet uten fyllgrad — $8{,}8\cdot 10^{5}$. Svaret kan ikke være større.

Ligger anslaget ditt utenfor en skranke, har du gjort en regnefeil — og det er en kontroll som er verdt fem sekunder.

Bruk skranker i rimelighetsvurderingen: «svaret mitt er $5{,}6\cdot 10^{5}$, som ligger godt innenfor den absolutte øvre grensen på $8{,}8\cdot 10^{5}$» er en sterk avslutning på en Fermi-besvarelse.