1.P Prøver til del 1: Modelleringsverktøy: dimensjonsanalyse, Taylor og Fermi

Forkunnskaper — sist du var her

Prøvene forutsetter at du har lest hele Del 1. Her er de fire verktøyene i kortform, slik at du har dem samlet før du starter.

1. Dimensjonsformelen (kap. 1.1). Enhver mekanisk størrelse er bygd av masse, lengde og tid:
$$[X] = [M]^{a}[L]^{b}[T]^{c}, \qquad [v] = [L][T]^{-1}, \quad [a] = [L][T]^{-2}, \quad [F] = [M][L][T]^{-2}$$
Benevningskontroll er sluttsjekken: venstre og høyre side må ha samme dimensjon.

2. Dimensjonsanalysens oppskrift (kap. 1.1). Sett $X = k\,A^{\alpha}B^{\beta}C^{\gamma}$, krev at eksponentene til $[M]$, $[L]$ og $[T]$ stemmer på begge sider, og løs. Den dimensjonsløse faktoren $k$ kan metoden ikke finne. Svaret er entydig når antall gitte størrelser er lik antall uavhengige dimensjoner som opptrer.

3. Taylor-polynomet (kap. 1.2):
$$P_n(x) = \sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^{j}, \qquad |R_n| \le \frac{\max|f^{(n+1)}|}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$$
Standardutviklingene: $\sin\theta \approx \theta - \theta^{3}/6$, $\cos\theta \approx 1-\theta^{2}/2$, $(1+x)^{n} \approx 1+nx+\tfrac{n(n-1)}{2}x^{2}$, $e^{x} \approx 1+x+x^{2}/2$. Alt i radianer.

4. Fermi-oppskriften (kap. 1.3). Fire steg: forklar tankegangen, velg en enkel geometrisk modell, regn i tierpotenser, avslutt med en rimelighetsvurdering. Uttellingen ligger i resonnementet og størrelsesordenen, ikke i presisjonen — typisk 2 poeng for tallet og 3 for forklaringen.

Boka bruker $g = 9{,}81\ \text{m/s}^{2}$ gjennomgående. For lysfarten regner vi her med $c = 2{,}998\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; noen oppgaver runder til $3{,}00\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, og da står det i oppgaveteksten.