11.4 Øvingseksamen 2: flertrinnsoppgaver med Python-ledd (anvendt innpakning)

Forkunnskaper — sist du var her

Settet følger samme grunnmal som øvingseksamen 1, men henter fra litt andre hjørner av pensum. Det du bør ha friskt:

Stablede legemer og friksjon som drivkraft (kap. 3.4): når to legemer beveger seg sammen, er det friksjonen mellom dem som gir det øverste legemet akselerasjonen, og den er begrenset av

$$\lvert\mathbf{f}_s\rvert \le \mu_s N$$

Rulling og kombinert bevegelse (kap. 6.2): rullebetingelsen $v = \omega R$, dens deriverte $a = \alpha R$, og at både translasjons- og rotasjonsenergi må med i energiregnskapet:

$$mgh = \tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$$

Linearisering om likevekt (kap. 7.2): finn likevekten der summen av kreftene er null, sett $x = x_0 + \xi$ med liten $\xi$, Taylor-utvikle, og les av vinkelfrekvensen:

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k_{\text{eff}}}{m}}, \qquad k_{\text{eff}} = -\left.\frac{dF}{dx}\right|_{x_0}$$

Samtidighetens relativitet (kap. 10.2): to hendelser som er samtidige i ett system er det ikke i et annet, og Lorentz-transformasjonen for tid er

$$\Delta t' = \gamma\left(\Delta t - \frac{v\,\Delta x}{c^2}\right)$$

Sentralkraftbevegelse (kap. 9.1): energi- og spinnbevaring i en ellipsebane, og bevegelseslikningen på komponentform.

Kodemodifikasjon (kap. 8.3): å legge til et nytt kraftledd i akselerasjonslinja — og huske massen når den nye kraften ikke er masseuavhengig.

Øvingseksamen 2

FYS1100 Mekanikk og modellering · fire timer · fem oppgaver · inntil 5 poeng per deloppgave

Husk at alle svar må begrunnes. Bruk $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ og $c = 3{,}00\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ der ikke annet er oppgitt. Oppgi svar med to eller tre gjeldende siffer, med enhet og — for størrelser som har retning — med retning.

Oppgave 1 (O1) — akebrettet og sekken

Et akebrett med masse $M = 6{,}0\ \text{kg}$ glir nedover en snøbakke med helning $\theta = 20{,}0°$. Mellom brettet og snøen er det dynamisk friksjonstall $\mu = 0{,}100$. Oppå brettet ligger en sekk med masse $m = 4{,}0\ \text{kg}$, og mellom sekken og brettet er det statisk friksjonstall $\mu_s = 0{,}250$. Brett og sekk glir nedover sammen, uten at sekken sklir på brettet.

a) Tegn fullstendige frilegemediagram for sekken og for brettet. Navngi alle kreftene, og marker hvilke av dem som er kraft–motkraft-par.

b) Finn akselerasjonen til systemet, med retning.

c) Finn friksjonskraften fra brettet på sekken, med retning og tallverdi, og kontrollér at sekken faktisk blir liggende.

d) Vis at sekken blir liggende hvis og bare hvis $\mu \le \mu_s$ — altså at betingelsen er uavhengig både av helningsvinkelen og av de to massene. Forklar hvorfor resultatet er rimelig.

e) Brett og sekk starter fra ro og glir $25{,}0\ \text{m}$ langs bakken. Finn farten nederst med et energiregnskap, og forklar i to til fire setninger hvorfor du ikke kan bruke ren mekanisk energibevaring her.

Oppgave 2 (O2) — jojoen

En jojo modelleres som en homogen sylinder med masse $M = 0{,}120\ \text{kg}$ og radius $R = 0{,}0350\ \text{m}$, altså med treghetsmoment $I = \tfrac12 MR^2$ om sin egen akse. Snora er viklet om sylinderens ytterkant og holdes fast i den øvre enden, slik at jojoen faller loddrett mens snora rulles av uten å gli.

a) Tegn et fullstendig frilegemediagram for jojoen, og marker rotasjonsretningen.

b) Finn massesenterets akselerasjon og snordraget. Bruk rotasjonens Newtons 2. lov om massesenteret sammen med rullebetingelsen.

c) Jojoen slippes fra ro og faller $h = 0{,}800\ \text{m}$. Finn farten til massesenteret der, på to måter: med kinematikk og med et energiregnskap.

d) En medstudent leverer denne løsningen på c):

> Snordraget står vinkelrett på ingenting og gjør derfor arbeid lik null, så mekanisk energi er bevart: $\tfrac12 Mv^2 = Mgh$, altså $v = \sqrt{2gh} = 3{,}96\ \text{m/s}$.

Finn det springende steget, forklar hva som er galt, og si hvor stor andel av den totale kinetiske energien løsningen har oversett.

e) I en ekte jojo er snora viklet om en tynn aksling med radius $r = 6{,}00\ \text{mm}$, ikke om ytterkanten, mens treghetsmomentet fortsatt er $\tfrac12 MR^2$ med $R = 0{,}0350\ \text{m}$. Finn den nye akselerasjonen, og forklar i to til fire setninger hvorfor jojoen faller så mye langsommere.

Oppgave 3 (O3) — strikkbanen på fysikkshowet

På et fysikkshow ligger en vogn med masse $m = 0{,}500\ \text{kg}$ på en luftputebane som er skråstilt med vinkelen $\theta = 30{,}0°$. Vogna er festet til en strikk som strammer seg ujevnt: når vogna har flyttet seg strekningen $x$ nedover langs banen fra det punktet der strikken er ustrukket, drar strikken oppover langs banen med kraften

$$F_{\text{strikk}}(x) = kx + cx^2, \qquad k = 40{,}0\ \text{N/m}, \qquad c = 200\ \text{N/m}^2$$

Luftputebanen er friksjonsfri. Vogna slippes fra ro i $x = 0$.

a) Sett opp bevegelseslikningen for $x(t)$ fra Newtons 2. lov langs banen, og klassifiser den.

b) Finn likevektsposisjonen $x_0$, altså der vogna kunne ligget i ro. Forklar hva likevekt betyr her.

c) Lineariser bevegelseslikningen om likevekten og finn vinkelfrekvensen og perioden for små svingninger om $x_0$. Sammenlign med hva du ville fått hvis strikken var rent lineær ($c = 0$).

d) Luftmotstand $-D\lvert v\rvert v$ legges til. Forklar i to til fire setninger hvorfor den fulle likningen ikke lenger har en enkel lukket løsning, og hvorfor lineariseringen i c) fortsatt er nyttig.

e) Skisser en Python-kode som løser den fulle likningen numerisk med $D = 0{,}600\ \text{N}\cdot\text{s}^2/\text{m}^2$ fra $t = 0$ til $t = 20{,}0\ \text{s}$: angi initialbetingelsene og skriv integrasjonsløkka. Begrunn metodevalget, og si hvilken verdi $x$ må nærme seg for at koden skal være til å stole på.

Oppgave 4 (O4) — stigen og låven

En stige med egenlengde $l_0 = 15{,}0\ \text{m}$ føres gjennom en låve i farten $v = 0{,}900c$. Låven har egenlengde $9{,}00\ \text{m}$ og har en dør i hver ende. Begge dørene er åpne mens stigen kommer, og en automatikk lukker dem begge i det samme øyeblikket målt i låvens system — og åpner dem straks igjen.

Kall hendelsene A = «inngangsdøra lukkes» og B = «utgangsdøra lukkes».

a) Regn ut Lorentz-faktoren, stigens lengde målt i låvens system, og låvens lengde målt i stigens system.

b) Hendelsene A og B er samtidige i låvens system. Hvor stort er tidsintervallet mellom dem målt i stigens system, og hvilken av dem skjer først der?

c) Bonden hevder at stigen «er helt inne i låven et øyeblikk», mens stigemontøren hevder at den «aldri er helt inne». Forklar i tre til fem setninger hvorfor begge har rett, og hva som er kjernen i oppløsningen.

d) Tegn et romtidsdiagram i låvens system som viser dørenes verdenslinjer, stigens to ender, hendelsene A og B, og stigens samtidighetslinje gjennom A.

e) En medstudent sier:

> Siden de to systemene er likeverdige, må stigen både passe og ikke passe. Det er en selvmotsigelse, og altså må relativitetsteorien være ufullstendig.

Kritiser påstanden. Pek på det springende steget, og si hva som faktisk følger av at systemene er likeverdige.

Oppgave 5 (O5) — kometen med støvhale

En komet går i en langstrakt ellipsebane om en stjerne. Perihelavstanden — den minste avstanden fra stjerna — er $r_p = 0{,}800\ \text{AU}$, og aphelavstanden — den største — er $r_a = 28{,}0\ \text{AU}$. For stjerna er $GM = 1{,}3275\cdot 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2$, og $1\ \text{AU} = 1{,}496\cdot 10^{11}\ \text{m}$.

a) Anslå omløpstiden i størrelsesorden ved hjelp av Keplers tredje lov, som i enheter av astronomiske enheter og år kan skrives $T_p = a^{3/2}$, der $a$ er den store halvaksen. Vis hvert steg i anslaget.

b) Finn farten i perihel og i aphel. Begrunn eksplisitt hvilke to bevaringslover du bruker, og hvorfor hver av dem gjelder.

c) Sett opp bevegelseslikningen for kometen på komponentform, med stjerna i origo.

d) Skisser en Python-kode som løser bevegelseslikningen numerisk med Euler–Cromer. Angi initialbetingelsene, skriv løkka, og si hvilke to kontroller du ville gjort på resultatet for å vite at koden er riktig.

e) Stjerna sender ut stråling som gir kometens støvhale en radiell, utoverrettet kraft $F_s = s/r^2$, der $s$ er en konstant. Vis nøyaktig hvordan akselerasjonslinjene i koden endres, forklar hvorfor kometens masse nå må stå i uttrykket når den ikke gjorde det før, og drøft hva som skjer med banen.

Etter settet

Innpakningen var kosmetikk — sjekk at du så gjennom den. De fem oppgavene var, i tur og orden: Newton med stablede legemer og friksjon (sjanger C), rotasjon med kombinert translasjon og rulling (F), en ikke-lineær differensiallikning med linearisering og numerikk (G og H), relativitetsparadokset med samtidighet (I og J), og sentralkraftbevegelse med kodemodifikasjon (K og H). Klarte du å navngi sjangeren for hver oppgave innen ett minutt etter å ha lest den, er du der du skal være.

Rett deg selv realistisk: 0 til 5 poeng per deloppgave, full uttelling bare med begrunnelse, enhet og retning.

De fem stedene poeng oftest ryker i dette settet:

- O1 a) — motkreftene fra sekken glemt i brettets diagram.
- O2 d) — kritikken peker på «feil svar» i stedet for på det manglende rotasjonsenergileddet.
- O3 c) — linearisert om feil punkt, eller den effektive fjærkonstanten satt til $k$ i stedet for $k + 2cx_0$.
- O4 c) — samtidighet ikke nevnt, bare formler skrevet opp.
- O5 e) — massen glemt i det nye kraftleddet.

Har du nå tatt begge øvingseksamenene og midtveissimuleringen i kap. 11.2, har du vært innom samtlige oppgavesjangre i emnet minst én gang — og begge de avsluttende settene endte i en integrasjonsløkke skrevet for hånd, akkurat som de ekte settene pleier å gjøre.

Siste råd før eksamensdagen: ta én av øvingseksamenene om igjen på tid, med penn og papir og uten å se på fasiten. Ikke for å lære fysikk — det har du gjort nå — men for å kjenne på hvordan fire timer med håndskrift, figurer og kode faktisk føles.