3.4 Drill: Newton og frilegemediagram (sjanger C)

Sjangerdrill på Newton-oppgaven: fra fullstendig FBD til `a`/`T` med grensetilfelle-verifisering, på eksamensnivå.

90 min

17 oppgaver

DrillNewtonfrilegemediagram (sjanger C)

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Koblede klosser og grensetilfelle-verifisering

Brukes videre i

3.PPrøver til del 3: Newtons lover, frilegemediagram og kraftmodeller

Dette er treningsbanken for hele del 3. Her er det ingen ny teori — bare sjangeren kjørt gjennom variantene sine, på eksamensnivå.

Sjanger C — Newton på skråplan og koblede klosser med frilegemediagram — bygger på at Newtons 2. lov brukes i 7 av 7 sett (100 %), og at frilegemediagram er eksplisitt etterspurt i 6 av 7. Variantene som går igjen i arkivet er:

- kloss på et skråplan med og uten friksjon;
- to koblede klosser, med snor over en trinse eller på samme plan;
- kloss på en kile som selv står på et gulv;
- et frilegemediagram som forspill til en større oppgave om sirkelbevegelse eller energi.

Slik ligger poengene, ut fra sensorveiledningene i H2023, V2024 og V2025:

Steg	Typisk uttelling
Fullstendig, navngitt frilegemediagram	selvstendig poenggivende; udefinerte symboler koster ~2 p
Riktig dekomponering av tyngden	bærende — feil her forplanter seg til alt
Riktige komponentlikninger per legeme	kjernen i oppgaven
Grensetilfelle-verifisering	ofte en egen deloppgave med egne poeng
Retning og enhet på svaret	trekkes når det mangler

Bruk kapitlet slik: løs oppgavene med formelarket og Rottmann ved siden av, slik eksamen faktisk er, og skriv for hånd. Tegn hvert frilegemediagram, også når du «ser» svaret — det er figuren som gir poengene.

Forkunnskaper — sist du var her

Dette kapitlet forutsetter kap. 3.1, kap. 3.2 og kap. 3.3. Alt du trenger, samlet:

Newtons 2. lov, komponentvis, én gang per legeme:

$\sum F_x = ma_x, \qquad \sum F_y = ma_y$

Dekomponering på skråplan med helning $\theta$ :

$F_{g,\parallel} = mg\sin\theta, \qquad F_{g,\perp} = mg\cos\theta, \qquad N = mg\cos\theta$

der den siste gjelder bare når ingen andre krefter har komponent normalt på planet.

Friksjon:

$\lvert\mathbf{f}_s\rvert \le \mu_s N \ (\text{ulikhet}), \qquad \lvert\mathbf{f}_d\rvert = \mu_d N \ (\text{likhet})$

med retning mot den relative bevegelsen.

Kobling: uttøyelig snor gir felles $\lvert a\rvert$ ; masseløs snor over masseløs trinse gir likt $T$ i begge ender.

Hvilebetingelsen på skråplan: $\mu_s \ge \tan\theta$ .

Vi bruker $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ , snordrag $T$ , friksjonstall med subskript, og tyngde $m\mathbf{g}$ — aldri $\mathbf{G}$ .

📜Løsningsoppskriften for sjanger C

Åtte steg. Følg dem i rekkefølge, hver gang, også når oppgaven ser enkel ut.

1. Isolér hvert legeme og tegn et fullstendig, navngitt frilegemediagram for hvert av dem.
2. Velg koordinatsystem — ofte langs og normalt på planet, og gjerne ulikt for hvert legeme.
3. Dekomponér tyngden i de valgte retningene.
4. Skriv Newtons 2. lov komponentvis for hvert legeme.
5. Koble legemene: felles tallverdi på akselerasjonen, likt snordrag.
6. Løs for $a$ og $T$ — symbolsk så lenge som mulig.
7. Verifiser med minst ett grensetilfelle.
8. Oppgi enhet og retning på hvert svar.

Steg 7 er det som skiller. Toppbesvarelsene verifiserer uoppfordret, og på eksamen er verifiseringen ofte en egen deloppgave. Steg 1 er det som gir flest poeng per minutt. Et fullstendig diagram tar under to minutter og er selvstendig poenggivende — også når resten av oppgaven stopper opp.

✏️Gjennomregnet eksamenscase: kloss på kile

En kile med masse $M = 6{,}00\ \text{kg}$ står på et friksjonsfritt gulv. På kilens skråside, som danner vinkelen $\theta = 30{,}0^\circ$ med vannrett, ligger en kloss med masse $m = 2{,}00\ \text{kg}$ . Friksjonstallet mellom kloss og kile er $\mu_d = 0{,}200$ .

a) Tegn frilegemediagram for klossen.

b) Kilen holdes fast. Finn klossens akselerasjon.

c) Finn normalkraften mellom kloss og kile.

d) Forklar kvalitativt hva som endrer seg dersom kilen får gli fritt på gulvet.

Metodevalg først: klossen er ett legeme, og vi bruker Newtons 2. lov komponentvis på den, med aksene langs og normalt på skråsiden. Så lenge kilen holdes fast, er dette en helt vanlig skråplanoppgave.

a) Tre krefter virker på klossen: tyngden $m\mathbf{g}$ rett ned, normalkraften $\mathbf{N}$ vinkelrett ut fra skråsiden, og den dynamiske friksjonen $\mathbf{f}_d$ oppover langs planet (klossen glir nedover).

Sensorblikk: her ligger de første poengene. Alle tre pilene skal ha navn, koordinatsystemet skal være tegnet inn, og pillengdene skal være rimelige — $N$ er merkbart kortere enn $mg$ på et $30^\circ$ -plan. Tegn ikke kraften klossen utøver på kilen; den hører hjemme i kilens diagram.

b) Normalt på planet er akselerasjonen null:

$N = mg\cos\theta = 2{,}00 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}866 = 17{,}0\ \text{N}$

Sensorblikk: dette ene steget er verdt egne poeng. Skriver du $N = mg = 19{,}6\ \text{N}$ , mister du dem — og friksjonen blir gal etterpå.

Langs planet, positiv retning nedover:

$mg\sin\theta - \mu_d N = ma$

$a = g(\sin\theta - \mu_d\cos\theta) = 9{,}81\,(0{,}500 - 0{,}200 \cdot 0{,}866) = 9{,}81 \cdot 0{,}3268 = 3{,}21\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$

nedover langs skråsiden.

Sensorblikk: massen faller ut. Skriver du én setning om at akselerasjonen derfor er uavhengig av klossens masse, viser du at du har forstått resultatet og ikke bare regnet det ut.

c) Normalkraften er allerede funnet: $N = 17{,}0\ \text{N}$ . Merk rekkefølgen — den normale likningen må løses først, fordi friksjonen avhenger av $N$ .

d) Får kilen gli fritt, endres tre ting:

- Klossen skyver på kilen (Newtons 3. lov), og siden gulvet er friksjonsfritt, akselererer kilen sidelengs — bort fra klossen.
- Klossens akselerasjon i forhold til bakken er da ikke lenger rettet langs skråsiden: den er summen av bevegelsen langs kilen og kilens egen bevegelse.
- Normalkraften blir mindre enn $mg\cos\theta$ , fordi kilen «viker unna» under klossen. I grensen der kilen ville akselerert bort uendelig raskt, ville $N$ gått mot null — akkurat som i en heis i fritt fall.

Systemet som helhet har ingen ytre vannrett kraft (gulvet er friksjonsfritt), så systemets massesenter beholder sin vannrette bevegelse. Det er den observasjonen som gjør oppgaven løsbar, og den bygger på bevegelsesmengde — som kommer senere i boka.

Sensorblikk: en kvalitativ deloppgave som denne gir full uttelling for et presist resonnement, uten regning. «Kilen akselererer motsatt vei, og normalkraften synker» er kjernen; nevner du i tillegg at systemet ikke har ytre vannrett kraft, er svaret på toppnivå.

Drilloppgavene (~60 min)

Tolv oppgaver på eksamensnivå, stigende. Fire av dem har flere legemer, og tre ber eksplisitt om grensetilfelle-verifisering. Ta dem gjerne over to økter — naturlig pausepunkt etter oppgave 6.

📝Oppgave 1

En kloss med masse $3{,}50\ \text{kg}$ sendes nedover et skråplan med helning $18{,}0^\circ$ . Det dynamiske friksjonstallet er $\mu_d = 0{,}250$ .

a) Finn akselerasjonen.

b) Hvor lang tid bruker klossen på å gli $2{,}00\ \text{m}$ fra ro?

c) Hvor bratt måtte planet vært for at klossen skulle glidd med konstant fart?

📝Oppgave 2

En kasse med masse $12{,}0\ \text{kg}$ ligger på et skråplan med helning $32{,}0^\circ$ . Det statiske friksjonstallet er $\mu_s = 0{,}350$ .

a) Vis at kassa ikke blir liggende av seg selv.

b) Finn den minste kraften, rettet oppover langs planet, som holder kassa i ro.

c) Hvor stor er friksjonskraften når denne minstekraften virker? Oppgi retning.

📝Oppgave 3

En kasse med masse $10{,}0\ \text{kg}$ trekkes over et vannrett gulv av en snor som danner $25{,}0^\circ$ med gulvet. Snordraget er $60{,}0\ \text{N}$ , og $\mu_d = 0{,}300$ .

a) Tegn frilegemediagram og finn normalkraften.

b) Finn akselerasjonen.

c) Hvor stor ville akselerasjonen vært om snora lå vannrett med samme snordrag? Kommenter forskjellen.

📝Oppgave 4

(Flerlegeme.) To klosser står inntil hverandre på et friksjonsfritt gulv: $m_1 = 4{,}00\ \text{kg}$ bakerst og $m_2 = 6{,}00\ \text{kg}$ foran. En vannrett kraft $F = 30{,}0\ \text{N}$ skyver på den bakerste.

a) Finn akselerasjonen.

b) Finn kontaktkraften mellom klossene.

c) Kraften flyttes slik at den i stedet skyver på den fremste klossen, med samme størrelse. Hva blir kontaktkraften nå?

d) Forklar hvorfor de to svarene er forskjellige.

📝Oppgave 5

(Flerlegeme.) En kloss med masse $8{,}00\ \text{kg}$ ligger på et vannrett bord med $\mu_d = 0{,}250$ . En masseløs snor går fra klossen over en masseløs trinse på bordkanten til et lodd med masse $5{,}00\ \text{kg}$ .

a) Tegn frilegemediagram for begge legemene.

b) Finn akselerasjonen og snordraget.

c) Kontroller svaret mot den likningen du ikke brukte.

d) Hvor stort måtte det statiske friksjonstallet vært for at systemet skulle stått stille?

📝Oppgave 6

(Flerlegeme med grensetilfelle-verifisering.) En kloss $m_1$ ligger på et skråplan med helning $\theta$ og dynamisk friksjonstall $\mu_d$ . En snor går over en masseløs trinse på toppen til et fritt hengende lodd $m_2$ .

a) Utled akselerasjonen symbolsk, med loddet på vei nedover.

b) Verifiser uttrykket i grensen $\theta = 0$ , og forklar hvilket kjent problem du da gjenfinner.

c) Verifiser i grensen $\mu_d = 0$ og i grensen $m_1 \to 0$ .

d) Finn betingelsen for at systemet skal stå stille, uttrykt ved $\mu_s$ .

— naturlig pausepunkt —

De seks første oppgavene dekker enkeltlegeme og de to standard flerlegemeoppsettene. De seks siste tar de vanskeligere variantene: kloss mot vegg, stablede klosser, optimal trekkvinkel og kvalitativ kritikk.

📝Oppgave 7

En kloss med masse $2{,}00\ \text{kg}$ presses mot en loddrett vegg av en vannrett kraft $F$ . Det statiske friksjonstallet mellom kloss og vegg er $\mu_s = 0{,}400$ .

a) Tegn frilegemediagram og forklar hvilken kraft som holder klossen oppe.

b) Finn den minste kraften $F$ som hindrer klossen i å skli ned.

c) Hva skjer med svaret om massen dobles? Og om $\mu_s$ dobles?

📝Oppgave 8

(Flerlegeme.) En kloss med masse $2{,}00\ \text{kg}$ ligger oppå en kloss med masse $5{,}00\ \text{kg}$ , som igjen ligger på et friksjonsfritt gulv. Det statiske friksjonstallet mellom de to klossene er $\mu_s = 0{,}300$ . En vannrett kraft $F$ trekker i den nederste klossen.

a) Hvilken kraft er det som akselererer den øverste klossen?

b) Finn den største akselerasjonen systemet kan ha uten at den øverste klossen sklir.

c) Finn den største kraften $F$ .

d) Hva ville skjedd om $F$ var større enn dette?

📝Oppgave 9

En kasse med masse

6{,}00\ \text{kg}

dras med konstant fart oppover et skråplan med helning

20{,}0^\circ

. Snora danner vinkelen

\varphi

med planet, og

\mu_d = 0{,}200

a) Vis at snordraget kan skrives

$T = \frac{mg(\sin\theta + \mu_d\cos\theta)}{\cos\varphi + \mu_d\sin\varphi}$

b) Regn ut $T$ for $\varphi = 0$ og for $\varphi = 15{,}0^\circ$ .

c) Finn den vinkelen som gir minst snordrag, og forklar hvorfor det finnes en slik vinkel.

📝Oppgave 10

(Kvalitativ, av typen «kritiser løsningen».) En medstudent løser en oppgave om en kloss som glir nedover et skråplan med friksjon, og skriver:

«Normalkraften er $N = mg$ . Friksjonen er $f = \mu_s N$ siden klossen er i kontakt med planet. Akselerasjonen blir $a = g\sin\theta - \mu_s g$ .»

a) Finn de tre feilene.

b) Skriv riktig uttrykk for akselerasjonen.

c) Kontroller det riktige uttrykket i grensen $\mu_d = 0$ .

📝Oppgave 11

(Flerlegeme med grensetilfelle.) To klosser glir nedover samme skråplan med helning

\theta

, koblet med en masseløs snor. Den nederste har masse

m_1

og friksjonstall

\mu_1

; den øverste har

m_2

\mu_2

a) Finn den felles akselerasjonen.

b) Vis at snordraget er

$T = \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,g\cos\theta\,(\mu_2-\mu_1)$

c) For hvilke friksjonstall er uttrykket gyldig? Hva skjer ellers?

d) Regn ut $a$ og $T$ for $\theta = 28{,}0^\circ$ , $m_1 = 3{,}00\ \text{kg}$ , $\mu_1 = 0{,}150$ , $m_2 = 5{,}00\ \text{kg}$ , $\mu_2 = 0{,}350$ .

📝Oppgave 12

(Kvalitativ, eksamensnivå.) I en oppgave om en kloss på et skråplan blir kandidaten bedt om å «kontrollere svaret med et grensetilfelle». Kandidaten skriver: «Jeg setter $m = 0$ , og da blir $a = g\sin\theta$ , som er riktig.»

a) Er kontrollen gyldig? Begrunn.

b) Foreslå to bedre grensetilfeller for et uttrykk av formen $a = g(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)$ , og forklar hva hvert av dem tester.

c) Forklar hvorfor grensetilfelle-verifisering er en selvstendig ferdighet som sensor gir egne poeng for, og ikke bare en «ekstrasjekk».

Typiske feil i sjanger C — samlet

Dette er hele repertoaret for sjangeren, samlet på ett sted. Gå gjennom lista etter hver drilloppgave.

I figuren: udefinerte symboler eller uforklarte krefter (typisk −2 p, felle #8; feilene har et samlet register i bokas Del 0); krefter som virker på et annet legeme enn det du har isolert; en «bevegelseskraft» framover; feil angrepspunkt (−1 p); urimelige pillengder — $N$ tegnet like lang som $mg$ på et bratt plan.

I dekomponeringen: sinus og cosinus byttet om; $N = mg$ satt inn på et skråplan; normalkraften ikke regnet på nytt når en snor eller en ekstra kloss har komponent normalt på planet.

I friksjonen: $\mu_s N$ brukt der ingenting glir; $\mu_d$ brukt der spørsmålet gjelder om noe begynner å gli; feil friksjonsretning når bevegelsen snur; friksjon glemt på ett av legemene i et koblet system.

I koblingen: ett felles diagram med snordraget tegnet inn; ulikt snordrag i de to endene av en masseløs snor; feil fortegn fordi legemene beveger seg i ulike retninger i rommet.

I avslutningen: manglende grensetilfelle-verifisering — de «gratis» toppoengene; manglende retning eller enhet; negativt snordrag eller negativ normalkraft rapportert uten tolkning; tallsvar uten begrunnelse (felle #1, den dyreste enkeltfeilen).

Sjekklista før du leverer: ett diagram per legeme ✓ alle piler navngitt ✓ koordinatsystem tegnet ✓ normalkraften regnet ut, ikke gjettet ✓ friksjonens retning drøftet ✓ minst ett grensetilfelle sjekket ✓ enhet og retning på hvert svar ✓

Begrepsbank

Dette er et drillkapittel, så begrepsbanken er kort — begrepene er innført tidligere i delen. De åtte kortene under er de som hører til selve sjangeren: oppskriften, poengfordelingen og de faste variantene.

Sjanger C — Newton-oppgaven

Eksamenssjangeren der du får et oppsett med ett eller flere legemer, krefter og som regel friksjon, og skal finne akselerasjon, snordrag eller en betingelse. Kjennetegn: oppgaveteksten ber nesten alltid om et frilegemediagram i første deloppgave, og en grensetilfelle-verifisering eller en kvalitativ drøfting i den siste. Mellom dem ligger to-tre regnetrinn. Poengene er jevnt fordelt, så det lønner seg å ta a-deloppgaven i alle oppgavene i settet før du graver deg ned i én.

Kilen som system

mg\cos\theta

Stablede klosser: friksjon som drivkraft

a_{\text{maks}} = \mu_s g

Kloss mot vegg

F

Hvor poengene ligger i en Newton-oppgave

Ut fra sensorveiledningene i H2023, V2024 og V2025 fordeler poengene seg omtrent slik: - frilegemediagrammet er selvstendig poenggivende, og udefinerte symboler koster typisk 2 poeng; - dekomponeringen er bærende — feil der forplanter seg til alt som følger; - grensetilfelle-verifiseringen er ofte en egen deloppgave med egne poeng; - retning og enhet trekkes når de mangler. Inntil 5 poeng per deloppgave, og alle deloppgaver teller likt. Derfor: ta figuren og a-deloppgavene i alle oppgavene før du fordyper deg i én.

Tidsbudsjett for en Newton-oppgave

En flertrinnsoppgave på fire-fem deloppgaver bør ta rundt 45 minutter på en fire timers eksamen. Fordelingen som fungerer: - 2 minutter på frilegemediagrammet — det er den best betalte tiden i hele settet; - 5 minutter på komponentlikningene; - 10-15 minutter på selve regningen, symbolsk så lenge som mulig; - 3 minutter på verifisering, retning og enhet. Resten er lesing av oppgaveteksten og gjennomlesing til slutt. Går du tom for tid, er det regningen som skal kuttes — ikke figuren.

De faste variantene av sjangeren

Fem oppsett dekker praktisk talt alt som har vært prøvd: 1. ett legeme på et skråplan, med eller uten friksjon; 2. to legemer koblet over en trinse — det ene på et plan, det andre hengende; 3. to legemer på samme plan, koblet, med ulike friksjonstall; 4. kloss på en kile, der kilen holdes fast eller får gli; 5. stablede klosser eller kloss mot vegg, der friksjonen har en uvant rolle. Innpakningene varierer fra sett til sett, men oppsettene gjentar seg. Kjenner du igjen hvilket av de fem du står overfor, vet du også hvilke likninger du skal skrive.

Kontrollspørsmålene før du leverer

Sju spørsmål som tar ett minutt til sammen, og som fanger de fleste poengtapene i sjangeren: 1. Har hvert legeme sitt eget diagram, med alle piler navngitt? 2. Er koordinatsystemet tegnet inn? 3. Er normalkraften regnet ut, ikke gjettet? 4. Er friksjonens retning drøftet ut fra bevegelsen? 5. Er minst ett grensetilfelle sjekket? 6. Har hvert tallsvar enhet og retning? 7. Er negative svar tolket, ikke bare rapportert? Gå gjennom dem i den rekkefølgen. De to første tar ti sekunder og er de best betalte.

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.