8.4 Øvingseksamen 3: teoritung variant (15 deloppgaver, 5 timer)

Oppgavesettet (15 deloppgaver, 5 timer)

Alle svar skal begrunnes, men begrunnelsene skal være korte. Der et integral skal beregnes, skal det løses med grunnleggende teknikker — ikke ved oppslag. Teoremer navngis.

---

Oppgave 1

a) Beskriv geometrisk mengden $\{\, z \in \mathbb{C} : |z-4| = 2\,|z-1| \,\}$, og tegn den.

b) Faktoriser $p(z) = z^4 + 4$ fullstendig, både over $\mathbb{C}$ og over $\mathbb{R}$.

Oppgave 2

Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at $\displaystyle\lim_{x\to 3}\,(x^2 - 2x) = 3$.

Oppgave 3

La $f$ og $g$ være deriverbare i $a$ med $f(a) = g(a) = 0$ og $g'(a) \neq 0$. Vis direkte fra derivertdefinisjonen at
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}.$$
Bruk deretter resultatet på $\displaystyle \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)}$.

Oppgave 4

La $f(x) = a x^2 + b x$ for $x \le 2$ og $f(x) = \ln(x-1) + 3x$ for $x > 2$. Bestem $a$ og $b$ slik at $f$ er deriverbar i $x = 2$, og oppgi $f'(2)$. Bruk grense-av-derivert-setningen.

Oppgave 5

La $f(x) = x^2 e^x$. Vis ved induksjon at
$$f^{(n)}(x) = \big(x^2 + 2n x + n(n-1)\big)e^x \qquad \text{for alle } n \ge 1.$$

Oppgave 6

Likningen $x^3 + x - 1 = 0$ skal løses ved fikspunktiterasjon.

a) Vis at likningen kan skrives som $x = g(x)$ med $g(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$, at $g$ avbilder $[0,1]$ inn i seg selv, og at $g$ er en kontraksjon på $[0,1]$. Hva sier dette om eksistens og entydighet av løsning, og om iterasjonen?

b) Regn ut $x_1, x_2, x_3, x_4$ fra $x_0 = 0{,}5$, og beskriv trappeskissen (cobweb-diagrammet) for iterasjonen.

Oppgave 7

La $f(x) = \dfrac{1}{1+x}$, og la $P_3$ være Taylorpolynomet av grad 3 om $a = 0$.

a) Vis at $\displaystyle \displaystyle P_3(x) + \frac{32}{243}\,x^4 \;<\; f(x) \;<\; P_3(x) + x^4$ for alle $x \in \left(0, \tfrac12\right]$.

b) Bruk innkapslingen — med de skarpeste Lagrange-skrankene for nettopp $x = \tfrac13$ — til å angi et minst mulig intervall som inneholder $f\!\left(\tfrac13\right)$.

Oppgave 8

Vis at Simpsons metode med to delintervall integrerer ethvert tredjegradspolynom eksakt, og gi et moteksempel som viser at eksaktheten svikter fra grad 4.

Oppgave 9

Avgjør om $\displaystyle \displaystyle\int_1^\infty \frac{2+\sin x}{x^3 + x}\,dx$ konvergerer. (Begge premissene i sammenligningskriteriet skal uttales.)

Oppgave 10

En tank er formet ved å dreie kurven $y = x^2$ (med $x$ og $y$ i meter) om $y$-aksen; $y$ måles oppover fra bunnen. Tanken fylles til høyde $4$ m.

a) Utled et uttrykk $V(h)$ for væskevolumet når væskehøyden er $h$ meter.

b) Tanken tappes gjennom et lite hull i bunnen slik at $\dfrac{dV}{dt} = -\pi\sqrt{h}$ (m³/min), i tråd med Torricellis lov (utstrømningsraten er proporsjonal med $\sqrt{h}$). Sett opp og løs differensiallikningen for $h(t)$, og finn når tanken er tom.

Oppgave 11

Avgjør om $\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}$ konvergerer, og begrunn med et navngitt konvergenskriterium.

Løsningsforslag

Én boks per deloppgave. Sammenlign på føringsnivå, ikke bare tallnivå — margnotatene peker på hva som skiller topp- fra midtsjikt i nettopp denne sjangeren.

---

Etter settet: dette var det siste og mest føringstunge settet. Bevissjangrene — $\varepsilon$-$\delta$, induksjon, fikspunkt-kontraksjon, grense-av-derivert — er der midtsjiktet oftest taper poeng på form, ikke på matematikk. Røk noen på føring (ikke på regning), les de tilhørende boksene i føringsstandarden (kap. 8.1) på nytt, og repeter de to andre settene: Øvingseksamen 1 og Øvingseksamen 2. Lykke til på eksamen.