Tilbake
7.2
Alle fag for Høyskole

7.2 Potensrekker og Taylorrekker

Konvergensradius og Taylorrekker — knytter rekkestoffet til Taylorpolynom fra kap. 4.3; pensumpliktig kunne-stoff.

50 min
13 oppgaver
PotensrekkerTaylorrekker
Din fremgang i kapitlet
0 / 13 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper — punktvis, med det du trenger fra hver kilde:

- kap. 7.1 — forholdstesten (og at L=1L=1 er uavgjort), pp-rekkene, den harmoniske og den alternerende harmoniske rekken, og Leibniz' feilskranke ∣S−SN∣≤bN+1|S-S_N|\le b_{N+1}.
- kap. 4.3 — Taylorpolynomet PnP_n om et punkt aa og Lagrange-restleddet; Taylorrekken er grensen av akkurat disse polynomene.
- Uendelige rekker og konvergens (R2 1.5) — den geometriske rekken og konvergensbegrepet fra videregående.

Sist du var her — to formler du trenger i dag:

L=lim⁡n→∞∣an+1an∣  (L<1⇒konv., L>1⇒div., L=1⇒uavgjort),Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1.L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \ \ (L<1 \Rightarrow \text{konv.},\ L>1 \Rightarrow \text{div.},\ L=1 \Rightarrow \text{uavgjort}), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.

I kap. 7.1 hadde hver rekke faste tall-ledd. Nå slipper vi en variabel inn i leddene: ∑an(x−a)n\sum a_n(x-a)^n er en potensrekke — et «polynom av uendelig grad». For noen verdier av xx konvergerer den, for andre ikke, og det første spørsmålet er alltid: for hvilke xx? Svaret viser seg å ha en påfallende pen form: et intervall, symmetrisk om sentrum, der bare endepunktene krever egen behandling.

Det andre spørsmålet er dypere: kan en kjent funksjon være en potensrekke? Kap. 4.3 stoppet Taylorutviklingen ved grad nn og målte feilen med restleddet. Lar vi graden løpe, får vi Taylorrekken — og restleddet avgjør om rekken faktisk treffer funksjonen: Rn→0R_n\to 0 er billetten.

Tre læringsløkker: (1) potensrekker og konvergensradius, (2) Taylorrekker og konvergens mot ff, (3) standardrekkene og tallnærming. ~50 min — ta pauser mellom løkkene.

Løkke 1 — Potensrekker og konvergensradius (~18 min)

Potensrekke
En potensrekke er en rekke der leddene inneholder potenser av x−ax-a:

∑n=0∞an(x−a)n=a0+a1(x−a)+a2(x−a)2+⋯\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + \cdots

Den er et «polynom av uendelig grad»: for hver fast verdi av xx blir den en vanlig tallrekke, som konvergerer eller divergerer etter reglene fra kap. 7.1. Rekken definerer dermed en funksjon av xx — på den delen av tallinjen der den konvergerer.

Sentrum aa og koeffisientene ana_n

Tallet aa er potensrekkens sentrum (utviklingspunkt) — punktet rekken er «bygget rundt», og der den alltid konvergerer trivielt (alle ledd unntatt a0a_0 blir null). Tallene ana_n er koeffisientene. Med a=0a=0 får rekken den enkleste formen ∑anxn\sum a_nx^n. Merk notasjonen: ana_n (koeffisient) og aa (sentrum) er ulike størrelser — konteksten skiller dem.

Konvergensradius RR
Konvergensradien RR er tallet som skiller konvergens fra divergens rundt sentrum: potensrekken konvergerer (absolutt) for alle xx med ∣x−a∣<R|x-a| < R og divergerer for alle xx med ∣x−a∣>R|x-a| > R. To ytterpunkter er tillatt: R=∞R=\infty (rekken konvergerer for alle xx) og R=0R=0 (bare i sentrum x=ax=a). Navnet er geografisk presist: konvergensområdet er en «sirkel» med radius RR om sentrum — på tallinjen et intervall.
📜Konvergensradius via forholdstesten
Bruk forholdstesten fra kap. 7.1 på potensrekken med xx som fri parameter:

L(x)=lim⁡n→∞∣an+1(x−a)n+1an(x−a)n∣=∣x−a∣⋅lim⁡n→∞∣an+1an∣.L(x) = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-a)^{n+1}}{a_n(x-a)^n}\right| = |x-a|\cdot\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.

Kall koeffisientgrensen cc. Testen krever L(x)<1L(x)<1, altså ∣x−a∣<1c|x-a| < \dfrac{1}{c} — det gir

R=1c(med R=∞ na˚r c=0 og R=0 na˚r c=∞).R = \frac{1}{c} \qquad (\text{med } R=\infty \text{ når } c=0 \text{ og } R=0 \text{ når } c=\infty).

Intuisjon: langt fra sentrum vokser potensfaktoren (x−a)n(x-a)^n raskere enn koeffisientene klarer å dempe; radien er balansepunktet. Merk: i endepunktene x=a±Rx = a\pm R blir L=1L=1 — forholdstesten er uavgjort der, og det er derfor endepunktene alltid må undersøkes separat.

Konvergensintervall og endepunktssjekken
Konvergensintervallet er den fullstendige mengden av xx der rekken konvergerer: intervallet fra a−Ra-R til a+Ra+R, der hvert av de to endepunktene kan være med eller ikke. Forholdstesten sier ingenting om dem (L=1L=1) — så føringsstandarden er fast: sett inn hvert endepunkt for seg og avgjør den tallrekken som oppstår med testene fra kap. 7.1. Alle fire fasonger forekommer: (a−R, a+R)(a-R,\,a+R), [a−R, a+R)[a-R,\,a+R), (a−R, a+R](a-R,\,a+R] og [a−R, a+R][a-R,\,a+R].
✏️Eksempel 1: Konvergensradius og -intervall med endepunktssjekk

Finn konvergensradius og konvergensintervall for ∑n=1∞(x−1)nn 2n\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x-1)^n}{n\,2^n}.

Forholdstesten (med xx som parameter):

L(x)=lim⁡n→∞∣(x−1)n+1(n+1)2n+1⋅n 2n(x−1)n∣=∣x−1∣⋅lim⁡n→∞n2(n+1)=∣x−1∣2.L(x) = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}\cdot\frac{n\,2^n}{(x-1)^n}\right| = |x-1|\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2(n+1)} = \frac{|x-1|}{2}.

Konvergens for L<1L<1: ∣x−1∣<2|x-1|<2, så konvergensradien er R=2R=2, og kandidatintervallet går fra −1-1 til 33.

Endepunktene sjekkes separat (forholdstesten gir L=1L=1 der):

- x=3x=3: rekken blir ∑2nn 2n=∑1n\displaystyle \displaystyle\sum\frac{2^n}{n\,2^n} = \sum\frac{1}{n} — den harmoniske rekken, som divergerer (pp-rekke med p=1p=1).
- x=−1x=-1: rekken blir ∑(−2)nn 2n=∑(−1)nn\displaystyle \displaystyle\sum\frac{(-2)^n}{n\,2^n} = \sum\frac{(-1)^n}{n} — den alternerende harmoniske rekken, som konvergerer etter Leibniz (bn=1n\displaystyle b_n = \frac1n er positiv, avtakende, mot null).

Konklusjon: R=2R = 2 og konvergensintervallet er [−1, 3)[-1,\,3) — venstre endepunkt med, høyre ikke. Legg merke til føringen: radius fra forholdstesten, deretter to separate endepunktsundersøkelser med navngitte tester.

📝Oppgave 1

Finn konvergensradius og konvergensintervall for ∑n=1∞n xn4n\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{n\,x^n}{4^n}.

📝Oppgave 2

Finn konvergensradien til hver rekke:

a) ∑n=0∞xnn!\displaystyle \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

b) ∑n=0∞n! xn\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!\,x^n

Løkke 2 — Taylorrekker og konvergens mot ff (~16 min)

Taylorrekke
Taylorrekken til en uendelig mange ganger deriverbar funksjon ff om punktet aa er potensrekken med Taylorkoeffisientene fra kap. 4.3:

∑k=0∞f(k)(a)k!(x−a)k\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

— altså grensen man får ved å la Taylorpolynomene PnP_n vokse i grad uten stopp: delsummene av Taylorrekken ER nettopp Pn(x)P_n(x). Merk at definisjonen bare skriver opp rekken; om den konvergerer, og om den i så fall konvergerer mot f(x)f(x), er egne spørsmål.

Maclaurinrekke

Taylorrekken om a=0a=0 kalles Maclaurinrekken: ∑k=0∞f(k)(0)k!xk\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k. Alle standardrekkene i løkke 3 (exe^x, sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x, ln⁡(1+x)\ln(1+x)) er Maclaurinrekker — samme navnekonvensjon som for Maclaurinpolynomene i kap. 4.3.

Restfølgen Rn(x)R_n(x) og konvergens mot ff

For hver grad nn er Rn(x)=f(x)−Pn(x)R_n(x) = f(x) - P_n(x) feilen i Taylorpolynomet — Lagrange-formen fra kap. 4.3 gir Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1\displaystyle R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. At Taylorrekken konvergerer mot ff i punktet xx, betyr per definisjon at delsummene Pn(x)P_n(x) nærmer seg f(x)f(x), altså at restfølgen går mot null: Rn(x)→0R_n(x)\to 0 når n→∞n\to\infty. Restleddet er dermed broen mellom Del 4s endelige polynomer og Del 7s uendelige rekker.

📜Restleddskriteriet
Hvis Rn(x)→0R_n(x) \to 0 når n→∞n\to\infty, så konvergerer Taylorrekken til ff om aa mot f(x)f(x):

f(x)=∑k=0∞f(k)(a)k!(x−a)k.f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.

Utledning: Pn(x)=f(x)−Rn(x)→f(x)−0P_n(x) = f(x) - R_n(x) \to f(x) - 0 — delsummene går mot f(x)f(x), og det er definisjonen av at rekken har sum f(x)f(x).

Føringskravet: å skrive «f(x)=f(x) = rekken» uten et Rn→0R_n\to 0-argument er å påstå konklusjonen uten begrunnelse — det er den dokumenterte hovedfeilen i sjangeren. Standardargumentet: skaff en skranke ∣f(n+1)(c)∣≤Mn|f^{(n+1)}(c)|\le M_n på intervallet og vis at Mn∣x−a∣n+1(n+1)!→0M_n\dfrac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}\to 0; her hjelper det å vite at ∣x∣n+1(n+1)!→0\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to 0 for alle faste xx (fakulteten vinner til slutt over enhver potens — samme lærdom som i oppgave 2).

✏️Eksempel 2: Taylorrekken til $e^x$ konvergerer mot $e^x$ — for alle $x$

Skriv opp Maclaurinrekken til f(x)=exf(x)=e^x, og vis med restleddet at den konvergerer mot exe^x for alle xx.

Rekken. Alle deriverte av exe^x er exe^x, så f(k)(0)=1f^{(k)}(0)=1 for alle kk:

∑k=0∞xkk!=1+x+x22!+x33!+⋯\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

(Oppgave 2a ga R=∞R=\infty — rekken konvergerer for alle xx. Men mot hva? Det er restleddets jobb.)

Restleddsargumentet. Fiksér xx. Lagrange-restleddet med a=0a=0 er

Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)! xn+1=ec(n+1)! xn+1,c strengt mellom 0 og x.R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,x^{n+1} = \frac{e^{c}}{(n+1)!}\,x^{n+1}, \qquad c \text{ strengt mellom } 0 \text{ og } x.

Skranke: siden cc ligger mellom 00 og xx, er ec≤e∣x∣e^c \le e^{|x|} (eksponentialfunksjonen er voksende). Dermed

∣Rn(x)∣≤e∣x∣⋅∣x∣n+1(n+1)!⟶0(n→∞),|R_n(x)| \le e^{|x|}\cdot\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \longrightarrow 0 \quad (n\to\infty),

fordi ∣x∣n+1(n+1)!→0\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to 0 for hvert fast xx — fakulteten i nevneren vokser til slutt raskere enn potensen i telleren — mens faktoren e∣x∣e^{|x|} er en konstant når xx er fiksert.

Konklusjon: Rn(x)→0R_n(x)\to 0 for alle xx, så etter restleddskriteriet er

ex=∑k=0∞xkk!for alle x.■e^x = \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} \quad\text{for alle } x. \qquad\blacksquare

Merk føringens tre ledd: restleddet skrevet opp, cc sperret inne og f(n+1)(c)f^{(n+1)}(c) skranket, og grensen →0\to 0 begrunnet. Det er samme skrankedisiplin som i kap. 4.3 — bare med nn som løper.

📝Oppgave 3

Skriv opp Maclaurinrekken til f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x, og vis med restleddet at den konvergerer mot sin⁡x\sin x for alle xx.

Løkke 3 — Standardrekkene og tallnærming (~16 min)

Standardrekken for exe^x
ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯ ,gyldig for alle x (R=∞).e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, \qquad \text{gyldig for alle } x \ (R=\infty).

Utledet i eksempel 2. Den mest brukte av standardrekkene — og kilden til tallnærminger av typen e−1/2e^{-1/2} (oppgave 7).

Standardrekkene for sin⁡x\sin x og cos⁡x\cos x
sin⁡x=∑k=0∞(−1)kx2k+1(2k+1)!=x−x33!+x55!−⋯ ,cos⁡x=∑k=0∞(−1)kx2k(2k)!=1−x22!+x44!−⋯\sin x = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots, \qquad \cos x = \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

Begge gjelder for alle xx (R=∞R=\infty; restleddsargumentet bruker ∣f(n+1)∣≤1|f^{(n+1)}|\le 1, jf. oppgave 3). Husketriks: sin⁡\sin er odde og har oddetallspotensene; cos⁡\cos er jevn og har de jevne — og begge veksler fortegn.

Standardrekken for ln⁡(1+x)\ln(1+x)
ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1xnn=x−x22+x33−⋯ ,gyldig for −1<x≤1.\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \qquad \text{gyldig for } -1 < x \le 1.

Her er radien endelig (R=1R=1), og endepunktene oppfører seg ulikt — akkurat som eksempel 1: i x=1x=1 konvergerer rekken (alternerende harmonisk, og summen er faktisk ln⁡2\ln 2), i x=−1x=-1 divergerer den (harmonisk). Rekken starter på n=1n=1 — det finnes ikke noe konstantledd, siden ln⁡1=0\ln 1 = 0.

Den geometriske rekken som potensrekke
Den geometriske rekken fra kap. 7.1, lest med xx som kvotient, er den enkleste standardrekken:

11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+⋯ ,∣x∣<1 (R=1).\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + \cdots, \qquad |x|<1 \ (R=1).

Nytteverdien: innsetting. Bytt xx ut med −2x-2x, x2x^2 osv., og du får nye potensrekker gratis — uten å regne en eneste derivert (oppgave 8).

Tallnærming med delsum og feilskranke

Oppskriften for å tilnærme et tall med en standardrekke: (1) velg rekke og sett inn xx-verdien; (2) summer de første leddene (delsummen SNS_N); (3) tallfest feilen. Er rekken alternerende med avtakende ledd, gir Leibniz-skranken fra kap. 7.1 svaret gratis: ∣S−SN∣≤bN+1|S - S_N| \le b_{N+1} — første utelatte ledd. En tilnærming uten feilskranke er et ufullstendig svar — samme leveransekrav som i restleddsoppgavene i kap. 4.3.

✏️Eksempel 3: Tallnærming av $\ln(1{,}2)$ med feilskranke

Bruk standardrekken for ln⁡(1+x)\ln(1+x) til å tilnærme ln⁡(1,2)\ln(1{,}2) med tre ledd, og tallfest feilen.

Innsetting. x=0,2x = 0{,}2 ligger i gyldighetsområdet (−1,1](-1,1]:

ln⁡(1,2)=0,2−0,222+0,233−0,244+⋯\ln(1{,}2) = 0{,}2 - \frac{0{,}2^2}{2} + \frac{0{,}2^3}{3} - \frac{0{,}2^4}{4} + \cdots

Delsummen av de tre første leddene:

S3=0,2−0,02+0,0083=0,2−0,02+0,0026‾≈0,18267.S_3 = 0{,}2 - 0{,}02 + \frac{0{,}008}{3} = 0{,}2 - 0{,}02 + 0{,}002\overline{6} \approx 0{,}18267.

Feilskranken. Rekken er alternerende med avtakende ledd (potensene 0,2n/n0{,}2^n/n krymper), så Leibniz-skranken gjelder:

∣ln⁡(1,2)−S3∣≤b4=0,244=0,00164=0,0004.|\ln(1{,}2) - S_3| \le b_4 = \frac{0{,}2^4}{4} = \frac{0{,}0016}{4} = 0{,}0004.

Fortegnet på feilen: første utelatte ledd er negativt, så S3S_3 er et overestimat — den sanne verdien ligger i [S3−0,0004, S3][S_3 - 0{,}0004,\ S_3].

Konklusjon: ln⁡(1,2)=0,1827±0,0004\ln(1{,}2) = 0{,}1827 \pm 0{,}0004 — garantert i intervallet [0,1822, 0,1827][0{,}1822,\ 0{,}1827]. (Kontroll: ln⁡(1,2)=0,18232…\ln(1{,}2) = 0{,}18232\ldots ✓ — helt i venstre ende, som ventet når feilen har fast fortegn.)

📝Oppgave 4

Bruk standardrekken for sin⁡x\sin x til å tilnærme sin⁡(0,3)\sin(0{,}3) med to ledd, og tallfest feilen med Leibniz-skranken.

Flere øvingsoppgaver

Stigende drill: radius/intervall først, deretter standardrekke-manøvrene. Endepunktssjekken skal med i hver intervall-oppgave.

📝Oppgave 5

Finn konvergensradius og konvergensintervall for ∑n=1∞(2x)nn\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(2x)^n}{n}.

📝Oppgave 6

Finn konvergensradius og konvergensintervall for ∑n=1∞(x+3)nn2 2n\displaystyle \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(x+3)^n}{n^2\,2^n}.

📝Oppgave 7

Bruk standardrekken for exe^x til å tilnærme e−1/2=1ee^{-1/2} = \dfrac{1}{\sqrt e} med fire ledd (til og med x3x^3-leddet), og tallfest feilen med Leibniz-skranken.

📝Oppgave 8

Bruk den geometriske rekken til å finne en potensrekke for f(x)=11+2xf(x) = \dfrac{1}{1+2x} om 00, og bestem konvergensradien og konvergensintervallet.

📝Oppgave 9

En medstudent skriver: «Forholdstesten ga meg L=∣x−1∣2<1L = \dfrac{|x-1|}{2} < 1 for ∣x−1∣<2|x-1|<2. Siden testen er oppfylt for alle xx opp mot 33, konvergerer rekken ∑(x−1)nn2n\displaystyle \sum\frac{(x-1)^n}{n2^n} også i x=3x=3.» Pek på feilen, og gi riktig konklusjon i x=3x=3 med riktig begrunnelse.

Radius vs. intervall (fella)

To ulike svar på to ulike spørsmål: konvergensradien er et tall (R=2R=2), konvergensintervallet er en mengde ([−1,3)[-1,3)). Radien følger av forholdstesten alene; intervallet krever i tillegg endepunktssjekken. Blandes de — «radius [−1,3)[-1,3)» — er det en kategorifeil som røper at endepunktslogikken ikke sitter.

De tre konvergensmønstrene

En potensrekke konvergerer alltid i nøyaktig én av tre fasonger: (i) bare i sentrum (R=0R=0, f.eks. ∑n!xn\sum n!x^n), (ii) på hele tallinjen (R=∞R=\infty, f.eks. exe^x-, sin⁡\sin- og cos⁡\cos-rekkene), eller (iii) på et intervall med endelig radius RR der hvert endepunkt kan være med eller ikke (f.eks. ln⁡(1+x)\ln(1+x)-rekken: (−1,1](-1,1]). Noe fjerde — konvergens på spredte flekker — finnes ikke.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.