Tilbake
4.3
Alle fag for Høyskole

4.3 Taylorpolynom med Lagrange-restledd og feilinnkapsling

Taylorpolynom til tallnærming pluss aktiv restleddsanalyse: skranker → intervall → fortegn på feilen. En hovedsjanger ved UiB.

65 min
16 oppgaver
Taylorpolynom med Lagrange-restleddfeilinnkapsling
Din fremgang i kapitlet
0 / 16 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Alt her hviler på trygg derivasjon: kap. 3.1 samt Derivasjonsregler (R1 4.1) og Kjerneregelen (R1 4.3) — du kommer til å derivere samme funksjon tre–fire ganger på rad og må holde styr på fortegn og potenser. Sekantsetningen fra kap. 4.1 er slektningen til restleddet: begge plasserer en ukjent cc i et intervall og avgrenser den.

Sist du var her — to regneformer du bruker hele tiden:
ddx xp=p xp−1(ogsa˚ for p=12,13,−1,… ),ddx ln⁡x=1x.\frac{d}{dx}\,x^{p} = p\,x^{p-1} \quad (\text{også for } p = \tfrac12, \tfrac13, -1, \dots), \qquad \frac{d}{dx}\,\ln x = \frac1x.

Kalkulatoren din har ingen  3\sqrt[3]{\ }-krystall innebygd — når den viser 263≈2,9625\sqrt[3]{26} \approx 2{,}9625, har den regnet seg fram med polynomer: gang, legg sammen, ferdig. Det er hele ideen bak Taylorpolynomet: erstatt en vrien funksjon med et polynom som har samme verdi, samme derivert, samme andrederivert, … i ett velvalgt punkt aa, og regn med polynomet i stedet.

Men en tilnærming uten feilkontroll er bare en gjetning. Det som gjør dette til eksamensmatematikk, er Lagrange-restleddet: en eksakt formel for feilen, med én ukjent cc innesperret i et kjent intervall. Sperr inn f(n+1)(c)f^{(n+1)}(c) mellom sin minste og største verdi på intervallet, og du kan levere noe langt sterkere enn et anslag: «den sanne verdien ligger garantert mellom disse to tallene». Det er samme grep som i sekantsetningen — du vet ikke hvor cc er, men du vet hvor mye f(n+1)f^{(n+1)} kan rekke å bli der.

Kapitlet har fire læringsløkker: (1) bygge PnP_n om et pent punkt (≈ 15 min), (2) restleddet og skranke → intervall → fortegn — kjernen (≈ 25 min), (3) skrankevariantene fra arkivet: minste intervall og innkapsling (≈ 15 min), (4) rekursive koeffisienter (≈ 10 min). Ta pause etter løkke 2 — den er kapitlets tyngdepunkt.

Løkke 1: Bygg Taylorpolynomet om et pent punkt

Taylorpolynomet PnP_n om aa
Taylorpolynomet av grad nn til ff om punktet aa er polynomet som kopierer ff og de nn første deriverte i aa:
Pn(x)=∑k=0nf(k)(a)k! (x−a)k=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+⋯+f(n)(a)n!(x−a)n.P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.
Nær aa er Pn(x)P_n(x) en god erstatning for f(x)f(x) — og et polynom kan du regne ut for hånd.
Koeffisienten f(k)(a)k!\displaystyle \frac{f^{(k)}(a)}{k!}

Koeffisienten foran (x−a)k(x-a)^k er den kk-te deriverte i utviklingspunktet delt på kk-fakultet: f(k)(a)k!\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}. Fakulteten kommer av at kk-te-derivasjon av (x−a)k(x-a)^k produserer faktoren k!k! — divisjonen sørger for at Pn(k)(a)=f(k)(a)P_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a). Glemt k!k! i nevneren er sjangerens vanligste regnefeil.

«Pent» utviklingspunkt

Et pent punkt er en aa der ff og de deriverte har eksakte, enkle verdier: a=4,9,16,25a = 4, 9, 16, 25 for x\sqrt{x}; a=8,27a = 8, 27 for x3\sqrt[3]{x}; a=1a = 1 for ln⁡x\ln x; a=0a = 0 for ex,sin⁡x,cos⁡xe^x, \sin x, \cos x. Eksamensoppgaven velger alltid et pent punkt nær tallet som skal tilnærmes — 263\sqrt[3]{26} utvikles om a=27a = 27, ikke om a=0a = 0.

Maclaurinpolynom (a=0a = 0)

Taylorpolynomet om a=0a = 0 kalles Maclaurinpolynomet; da er Pn(x)=∑k=0nf(k)(0)k!xk\displaystyle P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k. Standardutviklingene ex≈1+x+x22\displaystyle e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}, sin⁡x≈x−x36\displaystyle \sin x \approx x - \frac{x^3}{6}, cos⁡x≈1−x22\displaystyle \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} er Maclaurin-tilfeller og gjengangere i teorispørsmål.

✏️Eksempel 1: Bygg $P_2$ for $\sqrt{x}$ om $a = 4$

Finn Taylorpolynomet av grad 2 til f(x)=xf(x) = \sqrt{x} om a=4a = 4.

Deriver og evaluer i a=4a = 4 (skriv x=x1/2\sqrt x = x^{1/2}):

kkf(k)(x)f^{(k)}(x)f(k)(4)f^{(k)}(4)koeffisient f(k)(4)/k!f^{(k)}(4)/k!
0x1/2x^{1/2}2222
112x−1/2\tfrac12 x^{-1/2}14\tfrac1414\tfrac14
2−14x−3/2-\tfrac14 x^{-3/2}−132-\tfrac{1}{32}−164-\tfrac{1}{64}

(Kontrollregning: f′′(4)=−14⋅4−3/2=−14⋅18=−132f''(4) = -\tfrac14 \cdot 4^{-3/2} = -\tfrac14 \cdot \tfrac18 = -\tfrac{1}{32}, og f′′(4)2!=−164\tfrac{f''(4)}{2!} = -\tfrac{1}{64}.)
Sett sammen:
P2(x)=2+x−44−(x−4)264.P_2(x) = 2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64}.
Legg merke til føringen: derivertetabell med eksakte verdier, deretter polynomet — det er hele leveransen i denne deloppgaven. ■\blacksquare
📝Oppgave 1

Finn Taylorpolynomet av grad 2 til f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x} om a=27a = 27.

Løkke 2: Lagrange-restleddet — skranker → intervall → fortegn

Nå til kjernen. Feilen f(x)−Pn(x)f(x) - P_n(x) har en eksakt formel — med én ukjent i.

📜Taylors formel med Lagrange-restledd
La ff være (n+1)(n+1) ganger deriverbar på et intervall som inneholder aa og xx. Da er
f(x)=Pn(x)+Rn(x),Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)! (x−a)n+1f(x) = P_n(x) + R_n(x), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}
for en eller annen cc strengt mellom aa og xx. Restleddet Rn(x)R_n(x) er den eksakte feilen — ikke et anslag. (For n=0n = 0 er dette nøyaktig sekantsetningen: f(x)=f(a)+f′(c)(x−a)f(x) = f(a) + f'(c)(x-a).)
Punktet cc i restleddet
cc er ukjent — men innesperret: den ligger strengt mellom utviklingspunktet aa og evalueringspunktet xx. For 5\sqrt{5} utviklet om a=4a=4 vet du altså c∈(4,5)c \in (4, 5). All feilanalyse består i å utnytte dette fengselet: du vet ikke hvor cc er, men du vet hvor stor f(n+1)(c)f^{(n+1)}(c) kan bli der.
Skrankeanalysen (min/maks av f(n+1)f^{(n+1)})
Finn tall KK og LL med
K≤f(n+1)(t)≤Lfor alle t mellom a og x.K \le f^{(n+1)}(t) \le L \quad \text{for alle } t \text{ mellom } a \text{ og } x.
Er f(n+1)f^{(n+1)} monoton på intervallet (det vanlige tilfellet), er KK og LL rett og slett verdiene i endepunktene — sjekk hvilken ende som gir størst verdi. Multipliser så med (x−a)n+1(n+1)!\displaystyle \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} (pass på fortegnet hvis (x−a)n+1<0(x-a)^{n+1} < 0!) for å sperre inn Rn(x)R_n(x).
Feilintervallet som fanger sann verdi
Har du Rmin⁡≤Rn(x)≤Rmax⁡R_{\min} \le R_n(x) \le R_{\max}, følger
f(x)∈[ Pn(x)+Rmin⁡,    Pn(x)+Rmax⁡ ].f(x) \in \big[\,P_n(x) + R_{\min},\;\; P_n(x) + R_{\max}\,\big].
Dette tallintervallet er leveransen: «den sanne verdien ligger garantert mellom …». Regn Pn(x)P_n(x) som desimaltall, legg til skrankene, og skriv intervallet eksplisitt.
Fortegnet på feilen (for stor / for liten)

Har Rn(x)=f(x)−Pn(x)R_n(x) = f(x) - P_n(x) fast fortegn (fordi f(n+1)f^{(n+1)} har fast fortegn på intervallet og (x−a)n+1(x-a)^{n+1} sitt fortegn er kjent), kan du konkludere uten tall: Rn>0R_n > 0 betyr at Pn(x)P_n(x) er for liten (underestimat), Rn<0R_n < 0 at den er for stor (overestimat). Merk retningen: restleddet måler sann verdi minus polynom.

✏️Eksempel 2 (eksamensnivå): $\sqrt{5}$ med feilintervall

Bruk P2P_2 fra eksempel 1 til å tilnærme 5\sqrt{5}, og bruk Lagrange-restleddet til å angi et minst mulig intervall som garantert inneholder 5\sqrt5. Er tilnærmingen for stor eller for liten?

Tilnærmingen. Med x=5x = 5, a=4a = 4, altså x−a=1x - a = 1:
P2(5)=2+14−164=2,25−0,015625=2,234375.P_2(5) = 2 + \frac14 - \frac{1}{64} = 2{,}25 - 0{,}015625 = 2{,}234375.

Restleddet. f′′′(x)=38x−5/2f'''(x) = \tfrac38 x^{-5/2}, så
R2(5)=f′′′(c)3!⋅13=16⋅38 c−5/2=116 c5/2,c∈(4,5).R_2(5) = \frac{f'''(c)}{3!}\cdot 1^3 = \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{8}\,c^{-5/2} = \frac{1}{16\,c^{5/2}}, \qquad c \in (4,5).

Skrankene (skarpest mulig). c−5/2c^{-5/2} er avtakende i cc, så på (4,5)(4,5) sperres den inn av endepunktene:
116⋅55/2<R2(5)<116⋅45/2=116⋅32=1512.\frac{1}{16 \cdot 5^{5/2}} < R_2(5) < \frac{1}{16 \cdot 4^{5/2}} = \frac{1}{16 \cdot 32} = \frac{1}{512}.
Numerisk: 55/2=255≈55,9025^{5/2} = 25\sqrt5 \approx 55{,}902, så 0,001118<R2(5)<0,0019530{,}001118 < R_2(5) < 0{,}001953.

Intervallet.
5=P2(5)+R2(5)∈(2,234375+0,001118,  2,234375+0,001953)=(2,23549,  2,23633).\sqrt5 = P_2(5) + R_2(5) \in \big(2{,}234375 + 0{,}001118,\; 2{,}234375 + 0{,}001953\big) = \boxed{(2{,}23549,\; 2{,}23633)}.

Fortegnet. R2(5)>0R_2(5) > 0 (positiv derivert tredje orden og (x−a)3=1>0(x-a)^3 = 1 > 0), så P2(5)P_2(5) er for liten.

(Kontroll: 5=2,2360680…\sqrt5 = 2{,}2360680\ldots ligger i intervallet, og er ganske riktig større enn 2,2343752{,}234375.) ■\blacksquare

Intuisjon: legg merke til arbeidsdelingen. P2(5)P_2(5) er ren regning; alt tankearbeidet ligger i restleddet: (1) deriver én gang til enn polynomgraden, (2) sperr cc inn i intervallet, (3) bruk monotonien til f(n+1)f^{(n+1)} til å hente skrankene fra endepunktene, (4) legg skrankene på PnP_n. Rekkefølgen skranker → intervall → fortegn er alltid den samme — det er en algoritme, ikke en inspirasjon.

Og merk formuleringen «minst mulig intervall»: den ber om skarpest mulig skranke, altså de faktiske ekstremverdiene av f(n+1)f^{(n+1)} på intervallet. En grovere, gyldig skranke (f.eks. «c>4c > 4 gir R2<1/512R_2 < 1/512, og R2>0R_2 > 0») gir intervallet (2,234375, 2,236328)(2{,}234375,\ 2{,}236328) — riktig, men ikke minst mulig, og dermed bare delvis uttelling.

📝Oppgave 2

Bruk P2P_2 fra oppgave 1 til å tilnærme 263\sqrt[3]{26}, og angi ved hjelp av Lagrange-restleddet et minst mulig intervall som garantert inneholder 263\sqrt[3]{26}. Avgjør også om tilnærmingen er for stor eller for liten.

📝Oppgave 3
a) Finn Maclaurinpolynomet P3P_3 til f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln(1+x).

b) Bruk det til å tilnærme ln⁡(1,1)\ln(1{,}1), og angi med restleddet et minst mulig intervall som inneholder ln⁡(1,1)\ln(1{,}1).

Løkke 3: Skrankevariantene fra arkivet

To skjerpede varianter går igjen: (H2018-typen) gitt skranker på f′′f'', finn minste mulige intervall for f(b)f(b) — og (V2018-typen) innkapsling av ff mellom to polynomer på et helt intervall.

Minste intervall for f(b)f(b) gitt skranker på f′′f'' (H2018-typen)
Oppgitt f(a)f(a), f′(a)f'(a) og K≤f′′(t)≤LK \le f''(t) \le L på [a,b][a,b]: Taylors formel med n=1n = 1 gir
f(b)=f(a)+f′(a)(b−a)+f′′(c)2(b−a)2,f(b) = f(a) + f'(a)(b-a) + \frac{f''(c)}{2}(b-a)^2,
og innsetting av skrankene for f′′(c)f''(c) gir minste og største mulige verdi av f(b)f(b). Intervallet er skarpt: uten mer informasjon om ff kan det ikke gjøres mindre.
Innkapsling mellom to polynomer (V2018-typen)
En innkapsling er en dobbeltulikhet på et helt intervall:
Pn(x)+G (x−a)n+1  <  f(x)  <  Pn(x)+H (x−a)n+1for alle x i intervallet,P_n(x) + G\,(x-a)^{n+1} \;<\; f(x) \;<\; P_n(x) + H\,(x-a)^{n+1} \qquad \text{for alle } x \text{ i intervallet},
der GG og HH er min⁡f(n+1)(n+1)!\displaystyle \frac{\min f^{(n+1)}}{(n+1)!} og max⁡f(n+1)(n+1)!\displaystyle \frac{\max f^{(n+1)}}{(n+1)!} på intervallet. Det er nøyaktig samme skrankeanalyse som før — men levert som funksjonsulikhet i stedet for ett tallintervall.
✏️Eksempel 3 (H2018-typen): intervall for $f(3)$

Om en to ganger deriverbar funksjon ff vet vi: f(1)=2f(1) = 2, f′(1)=1f'(1) = 1, og 1≤f′′(t)≤21 \le f''(t) \le 2 for alle t∈[1,3]t \in [1,3]. Finn det minste intervallet som garantert inneholder f(3)f(3).

Taylors formel med n=1n = 1, a=1a = 1, x=3x = 3 (altså x−a=2x - a = 2):
f(3)=f(1)+f′(1)⋅2+f′′(c)2⋅22=2+2+2f′′(c)=4+2f′′(c)f(3) = f(1) + f'(1)\cdot 2 + \frac{f''(c)}{2}\cdot 2^2 = 2 + 2 + 2f''(c) = 4 + 2f''(c)
for en c∈(1,3)c \in (1,3).

Sett inn skrankene. 1≤f′′(c)≤21 \le f''(c) \le 2 gir
4+2⋅1  ≤  f(3)  ≤  4+2⋅2,altsa˚f(3)∈[6, 8].4 + 2 \cdot 1 \;\le\; f(3) \;\le\; 4 + 2 \cdot 2, \qquad\text{altså}\qquad \boxed{f(3) \in [6,\ 8].}

Skarphet: begge endene kan faktisk inntreffe (f.eks. gir f(x)=2+(x−1)+12(x−1)2f(x) = 2 + (x-1) + \tfrac12(x-1)^2, som har f′′≡1f'' \equiv 1, nøyaktig f(3)=6f(3) = 6) — så intervallet kan ikke krympes. ■\blacksquare

✏️Eksempel 4 (V2018-typen): innkapsling av $\cos x$
Vis at for alle x∈(0,1)x \in (0,1) gjelder
1−x22+cos⁡124 x4  <  cos⁡x  <  1−x22+x424.1 - \frac{x^2}{2} + \frac{\cos 1}{24}\,x^4 \;<\; \cos x \;<\; 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}.
Maclaurinpolynomet av grad 3 til cos⁡x\cos x er P3(x)=1−x22P_3(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} (koeffisientene til xx og x3x^3 er null siden sin⁡0=0\sin 0 = 0). Taylors formel gir for hver x∈(0,1)x \in (0,1):
cos⁡x=1−x22+R3(x),R3(x)=f(4)(c)4! x4=cos⁡c24 x4\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + R_3(x), \qquad R_3(x) = \frac{f^{(4)}(c)}{4!}\,x^4 = \frac{\cos c}{24}\,x^4
for en c∈(0,x)c \in (0, x), siden f(4)(t)=cos⁡tf^{(4)}(t) = \cos t.

Skrankene på cos⁡c\cos c: for c∈(0,x)⊂(0,1)c \in (0,x) \subset (0,1) er cos⁡\cos strengt avtakende, så
cos⁡1<cos⁡x<cos⁡c<cos⁡0=1.\cos 1 < \cos x < \cos c < \cos 0 = 1.
Spesielt cos⁡1<cos⁡c<1\cos 1 < \cos c < 1, strengt. Multiplisert med x424>0\dfrac{x^4}{24} > 0:
cos⁡124x4<R3(x)<x424.\frac{\cos 1}{24}x^4 < R_3(x) < \frac{x^4}{24}.
Lagt til P3(x)=1−x22P_3(x) = 1 - \tfrac{x^2}{2} på alle sider gir dette nøyaktig påstanden. ■\blacksquare

(Talltest i x=0,5x = 0{,}5: venstre ≈0,87641\approx 0{,}87641, cos⁡0,5≈0,877583\cos 0{,}5 \approx 0{,}877583, høyre ≈0,877604\approx 0{,}877604 ✓.)

📝Oppgave 4

Om en funksjon ff vet vi: f(2)=1f(2) = 1, f′(2)=−1f'(2) = -1, og 0≤f′′(t)≤30 \le f''(t) \le 3 for alle t∈[2,4]t \in [2,4]. Finn det minste intervallet som garantert inneholder f(4)f(4).

Løkke 4: Rekursivt definerte koeffisienter (H2013-typen)

Noen oppgaver gir ikke funksjonen som formel, men som en likning — f.eks. «ff oppfyller f′(x)=1+xf(x)f'(x) = 1 + x f(x) med f(0)=2f(0) = 2». Da kan du ikke slå opp de deriverte: du må produsere dem av likningen, én om gangen.

Rekursivt definerte koeffisienter

Når ff er gitt ved en likning som knytter f′f' (eller f′′f'') til ff og xx: (1) les av f(a)f(a) fra startbetingelsen; (2) sett inn i likningen for å få f′(a)f'(a); (3) deriver hele likningen (produkt-/kjerneregel!) og sett inn igjen for f′′(a)f''(a); (4) gjenta til graden du trenger. Hver ny derivert gjenbruker de forrige verdiene — derav «rekursivt».

✏️Eksempel 5 (H2013-typen): Taylor fra en likning
Funksjonen ff oppfyller
f′(x)=1+x f(x),f(0)=2.f'(x) = 1 + x\,f(x), \qquad f(0) = 2.
Finn Maclaurinpolynomet P3P_3 til ff.
Verdi for verdi fra likningen:

f(0)=2f(0) = 2 (oppgitt).

f′(0)=1+0⋅f(0)=1.f'(0) = 1 + 0 \cdot f(0) = 1.

Deriver likningen (produktregel på xf(x)x f(x)): f′′(x)=f(x)+xf′(x)f''(x) = f(x) + x f'(x), så
f′′(0)=f(0)+0=2.f''(0) = f(0) + 0 = 2.

Deriver igjen: f′′′(x)=f′(x)+f′(x)+xf′′(x)=2f′(x)+xf′′(x)f'''(x) = f'(x) + f'(x) + x f''(x) = 2f'(x) + x f''(x), så
f′′′(0)=2f′(0)=2.f'''(0) = 2 f'(0) = 2.

Koeffisientene: f′′(0)2!=1\dfrac{f''(0)}{2!} = 1 og f′′′(0)3!=26=13\dfrac{f'''(0)}{3!} = \dfrac{2}{6} = \dfrac13:
P3(x)=2+x+x2+x33.■P_3(x) = 2 + x + x^2 + \frac{x^3}{3}. \qquad\blacksquare

📝Oppgave 5

Funksjonen ff oppfyller f′′(x)=x f(x)f''(x) = x\,f(x) med f(0)=1f(0) = 1 og f′(0)=0f'(0) = 0. Finn Maclaurinpolynomet P3P_3 til ff.

P1P_1 = tangenten = ett Newton-steg
P1(x)=f(a)+f′(a)(x−a)P_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a) er tangenten i aa — Taylorpolynomet av grad 1. Løsningen av P1(x)=0P_1(x) = 0 er x=a−f(a)/f′(a)x = a - f(a)/f'(a): ett Newton-steg fra aa (kap. 4.2). Hele Del 4 er dermed én familie: Newton itererer grad-1-Taylor, og restleddet kvantifiserer hvor god selve linariseringen er.

Flere øvingsoppgaver

Drill i hele sjangerbredden: bygg polynom, lever intervall, avgjør fortegn — og variantene.

📝Oppgave 6

Finn Maclaurinpolynomet P3P_3 til f(x)=e−xf(x) = e^{-x}.

📝Oppgave 7

Skriv opp Taylorpolynomet P1P_1 til f(x)=x3+x−3f(x) = x^3 + x - 3 om a=1,5a = 1{,}5, og vis at nullpunktet til P1P_1 er nøyaktig Newton-steget x1x_1 fra kap. 4.2 (eksempel 1 der).

📝Oppgave 8
a) Bruk P3P_3 fra oppgave 6 til å tilnærme e−0,2e^{-0{,}2}.

b) Angi med Lagrange-restleddet et minst mulig intervall som garantert inneholder e−0,2e^{-0{,}2}, og avgjør om tilnærmingen er for stor eller for liten.

📝Oppgave 9

Finn P2P_2 til f(x)=xf(x) = \sqrt{x} om a=9a = 9, bruk det til å tilnærme 8,7\sqrt{8{,}7}, og avgjør med restleddet om tilnærmingen er for stor eller for liten.

📝Oppgave 10
Vis at for alle x>0x > 0 gjelder innkapslingen
x−x22<ln⁡(1+x)<x−x22+x33.x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}.
📝Oppgave 11

(Krevende.) Funksjonen ff oppfyller f′(x)=x+(f(x))2f'(x) = x + \big(f(x)\big)^2 med f(0)=1f(0) = 1.

a) Finn P3P_3 til ff om 00.

b) Forklar hvorfor P1P_1-tilnærmingen av ff nær 00 er nøyaktig tangenten i (0,1)(0, 1).

Begrepsbank til eksamen

Sjanger G-verktøykassen i kortform.

Begrepsbanken gjentar det du nettopp har lest — hopp trygt over ved førstegangslesing.

Taylors formel (kortform)
f(x)=Pn(x)+Rn(x)f(x) = P_n(x) + R_n(x): funksjonen er polynomet pluss en eksakt feil. Pn(x)=∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)k\displaystyle P_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k, Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1\displaystyle R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}, med cc strengt mellom aa og xx.
Restleddets tre faktorer
Rn=f(n+1)(c)⏟sperres inn⋅1(n+1)!⏟kjent⋅(x−a)n+1⏟kjent, sjekk fortegn!R_n = \underbrace{f^{(n+1)}(c)}_{\text{sperres inn}} \cdot \underbrace{\tfrac{1}{(n+1)!}}_{\text{kjent}} \cdot \underbrace{(x-a)^{n+1}}_{\text{kjent, sjekk fortegn!}}. Bare den første er ukjent — og den er fanget mellom min og maks av f(n+1)f^{(n+1)} på intervallet.
Monotoni-trikset for skranker

Er f(n+1)f^{(n+1)} monoton på intervallet mellom aa og xx (typisk potens- eller eksponentialuttrykk), ligger min og maks i endepunktene — skarpest mulige skranker gratis. Skriv én setning om monotonien i føringen.

Algoritmen: skranker → intervall → fortegn

(1) Deriver til orden n+1n+1. (2) Sperr cc inn mellom aa og xx. (3) Endepunktverdier av f(n+1)f^{(n+1)} gir Rmin⁡≤Rn≤Rmax⁡R_{\min} \le R_n \le R_{\max}. (4) f(x)∈[Pn+Rmin⁡, Pn+Rmax⁡]f(x) \in [P_n + R_{\min},\ P_n + R_{\max}]; fast fortegn på RnR_n gir for stor/for liten.

Skarpest mulig skranke

«Minst mulig intervall» = bruk de faktiske ekstremverdiene av f(n+1)f^{(n+1)} på intervallet, ikke en lat, videre skranke. Grov, gyldig skranke: delvis uttelling. Skarp skranke: full.

Utvikling nedover (x<ax < a)

Da er x−a<0x - a < 0, og (x−a)n+1(x-a)^{n+1} er negativ for like nn (oddetallspotens). Fortegnet på RnR_n snur — klassisk felle i 263\sqrt[3]{26}-om-2727-typen. Sjekk potensens fortegn eksplisitt i føringen.

H2018-varianten (skranker på f′′f'')

Gitt f(a)f(a), f′(a)f'(a) og K≤f′′≤LK \le f'' \le L på [a,b][a,b]: f(b)=f(a)+f′(a)(b−a)+f′′(c)2(b−a)2\displaystyle f(b) = f(a) + f'(a)(b-a) + \frac{f''(c)}{2}(b-a)^2; sett inn KK og LL for minste/største mulige f(b)f(b). Intervallet er skarpt.

V2018-varianten (innkapsling)
Pn(x)+G(x−a)n+1<f(x)<Pn(x)+H(x−a)n+1P_n(x) + G(x-a)^{n+1} < f(x) < P_n(x) + H(x-a)^{n+1} på et helt intervall, med G,HG, H = min/maks av f(n+1)(n+1)!\displaystyle \frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}. Samme analyse som tallintervallet — levert som funksjonsulikhet.
H2013-varianten (rekursive koeffisienter)
ff gitt ved likning (f.eks. f′=1+xff' = 1 + xf): les av f(a)f(a), hent f′(a)f'(a) fra likningen, deriver likningen for f′′(a)f''(a), gjenta. Produkt- og kjerneregel på likningen — hver ny verdi gjenbruker de forrige.
Pene punkter (huskeliste)
x\sqrt x: a∈{1,4,9,16,25}a \in \{1, 4, 9, 16, 25\} · x3\sqrt[3]{x}: a∈{1,8,27}a \in \{1, 8, 27\} · ln⁡x\ln x: a=1a = 1 · ex,sin⁡,cos⁡e^x, \sin, \cos: a=0a = 0. Velg det pene punktet nærmest tallet som skal tilnærmes.
P1P_1–tangent–Newton-trekanten
P1P_1 = tangenten i aa; nullpunktet til P1P_1 = ett Newton-steg. Taylor generaliserer tangenten til høyere grad; restleddet måler hvor god linjeriseringen/polynomiseringen er. Del 4s røde tråd.
Restleddet med n=0n = 0 er sekantsetningen
f(x)=f(a)+f′(c)(x−a)f(x) = f(a) + f'(c)(x-a) — Taylors formel med n=0n=0 er nøyaktig MVT fra kap. 4.1. Taylorapparatet er altså en gradvis skjerping av middelverdisetningen.
Presisjonsspråket i fasit

Lever intervaller med «garantert»/«fanger sann verdi», feilfortegn som «for stor/for liten», og avslutt med kontrollsetning der det er naturlig. Kalkulatorverdi kan bekrefte, aldri erstatte, restleddsargumentet.

Gradvalget

Oppgaven angir graden (oftest 1–3). Høyere grad gir mindre feil nær aa — men også en ekstra derivert å regne. Restleddet forteller nøyaktig hva du vinner: feilen skalerer som (x−a)n+1(x-a)^{n+1}.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 5 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.