4.4 Induksjon på n-te derivert

Induksjon er bevismetoden for påstander som skal gjelde for alle hele tall $n \ge 1$: vis at påstanden holder for $n = 1$, og at hvis den holder for et vilkårlig $n$, så holder den for $n+1$. Da holder den for alle $n \ge 1$ — som dominobrikker der den første faller og hver brikke feller den neste. Formelt: er $P(1)$ sann og $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ for alle $n \ge 1$, så er $P(n)$ sann for alle $n \ge 1$.

Bokstaven $P(n)$ står for selve påstanden med tallet $n$ satt inn — for oss typisk «formelen for $f^{(n)}(x)$ stemmer». Å skrive ned $P(n)$ presist FØR beviset starter er halve jobben: da vet du nøyaktig hva basissteget skal sjekke og hva trinnet skal levere.

Bevisets første leveranse: sjekk påstanden direkte for startverdien (som regel $n = 1$). For $f^{(n)}$-formler betyr det å regne ut $f'(x)$ for hånd og kontrollere at formelen gir det samme med $n = 1$ innsatt — begge sider vises. Et basissteg som bare siterer formelen, er ikke verifisert.

Antakelsen «formelen holder for et vilkårlig, fast $n$» — skrevet helt ut, med formelen synlig. Hypotesen er ikke juks: du antar $P(n)$ kun for å vise at $P(n+1)$ følger. I konklusjonen skal hypotesen være nevnt eksplisitt — «anta at … da er …» — ellers er føringen ufullstendig.

Bevisets motor: utled $P(n+1)$ fra $P(n)$. For $f^{(n)}$-formler er trinnet alltid samme håndgrep: siden $f^{(n+1)} = \big(f^{(n)}\big)'$, deriver den antatte formelen én gang (potens- og kjerneregel), rydd, og kjenn igjen formelens struktur med $n+1$ i stedet for $n$. Et trinn uten faktisk derivasjon — «og slik fortsetter det» — er sjangerens mest dokumenterte hull.

Arbeidsgangen når formelen ikke er oppgitt: regn $f'$, $f''$ og $f'''$ for hånd, still dem opp under hverandre, og les av hvordan hver byggekloss endrer seg fra linje til linje — fortegnet, konstanten, fakulteten, potensen i nevneren. Skriv gjetningen som en formel i $n$, og sjekk den mot ALLE tre linjene før beviset starter. Gjetningen er stillas; induksjonen er bygget.

Faktoren som bokfører at annenhver derivert er positiv og negativ. Startet rekka positivt i $n=1$ (som for $\ln$-typene, der $f' > 0$), er faktoren $(-1)^{n-1}$; startet den negativt, er den $(-1)^n$. Sjekk alltid mot $n = 1$: $(-1)^0 = 1$ (positiv start), $(-1)^1 = -1$ (negativ start) — å velge feil variant her er sjangerens vanligste fortegnsfeil.

Når nevnerpotensen i $f^{(n)}$ er $n$ (som for $\ln(ax+b)$-typen), henter hver ny derivasjon ned eksponenten $n$ — og produserer fakulteten ett hakk bak: $1, 1, 2, 6, 24, \dots$, altså $(n-1)!$. Test mot de tre første linjene: $0! = 1$, $1! = 1$, $2! = 2$. Skriver du $n!$ der det skal stå $(n-1)!$, avslører basissteget det — hvis du faktisk sjekker det.

Deriverer du noe med indre funksjon $ax+b$, spytter kjerneregelen ut én faktor $a$ per derivasjon — etter $n$ derivasjoner: $a^n$. For $\ln(3x+2)$ er det $3^n$, for $\ln(1+2x)$ er det $2^n$. Glemmes kjernefaktoren i trinnet, kollapser hele bokføringen — den er en av de tre tellerne (fortegn, kjernekonstant, fakultet) som ALLE skal oppdateres fra $n$ til $n+1$.

For $f(x) = (x+b)^{-p}$ starter nevnerpotensen på $p$ og klatrer med én per derivasjon: $f^{(n)}$ har nevnerpotens $p+n$. Fakulteten arver tilsvarende forsprang — for $p=2$ hentes faktorene $2, 3, 4, \dots$ ned, som gir $(n+1)!$, ikke $n!$. Moral: fakultets- og potensmønsteret avhenger av STARTNIVÅET; les det av $f', f'', f'''$, aldri av en huskeregel.

Sjangerens klassiker: $\dfrac{d^n}{dx^n}\,\ln x = \dfrac{(-1)^{n-1}\,(n-1)!}{x^n}$ for $n \ge 1$. Alle tre byggeklossene i renskåret form: fortegnsveksling med positiv start, fakultet ett hakk bak, nevnerpotens lik $n$ — og ingen kjernefaktor, siden den indre deriverte er $1$. Verdt å kunne utenat som fasitsjekk for hele familien.

Samme firetrinnsmal på andre påstander: for en delsumformel ($1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2$-typen) er trinnet å legge til ledd nummer $n+1$ på begge sider og rydde; for en rekursiv følge ($a_{n+1}$ gitt ved $a_n$) er trinnet å bruke rekursjonsformelen på hypotesen — typisk for å vise en skranke ($a_n < 2$ for alle $n$) eller monotoni. Dette er verktøyet Del 7 bygger konvergensargumenter med.

(1) Basissteg: regn $f'$ direkte, sammenlign med formelen for $n=1$. (2) Hypotese: «anta formelen for et vilkårlig $n \ge 1$» — skrevet helt ut. (3) Trinn: deriver hypotesen, rydd, kjenn igjen $n+1$-strukturen. (4) Konklusjon: «ved induksjonsprinsippet gjelder formelen for alle $n \ge 1$».

Enhver gjetning og ethvert trinn kontrolleres mot fire bokføringsposter: fortegnet ($(-1)^{n-1}$ eller $(-1)^n$ — test $n=1$), kjernefaktoren ($a^n$ fra indre derivert $a$), fakulteten ($(n-1)!$, $n!$ eller $(n+1)!$ — avhenger av startpotensen) og nevnerpotensen (stiger med én per derivasjon).

Samme firetrinnsmal med annet trinn-håndgrep: delsummer (legg til neste ledd), rekursive følger (bruk rekursjonen på hypotesen — skranke $a_n < M$ og monotoni $a_{n+1} > a_n$). Voksende + begrenset oppad ⇒ konvergent (kompletthetsprinsippet) — Del 7s standardargument.