8.2 Øvingseksamen 1: høstprofil (16 deloppgaver, 5 timer)

Oppgavesettet (16 deloppgaver, 5 timer)

Alle svar skal begrunnes, men begrunnelsene skal være korte. Der et integral skal beregnes, skal det løses med grunnleggende teknikker — ikke ved oppslag.

---

Oppgave 1

a) Skriv $z = -1 + i\sqrt{3}$ på polarform, og beregn $\dfrac{z}{\bar z}$ på normalform.

b) Beregn $(1+i)^{12}$ på normalform.

c) Vis at $z_0 = 2 - i$ er rot i $p(z) = z^3 - 5z^2 + 9z - 5$, og faktoriser $p$ både over $\mathbb{C}$ og over $\mathbb{R}$.

Oppgave 2

Bruk den formelle definisjonen av grenseverdi til å vise at $\lim_{x\to 1}\,(2x^2 + 3x) = 5$.

Oppgave 3

La $f(x) = x^2\cos(1/x^3)$ for $x \neq 0$, og $f(0) = 0$.

a) Vis at $f$ er kontinuerlig i $x = 0$.

b) Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 0$. Finnes $\lim_{x\to 0} f'(x)$?

Oppgave 4

Beregn integralene med grunnleggende teknikker:

a) $\displaystyle\int_1^4 e^{\sqrt{x}}\,dx$

b) $\displaystyle \displaystyle\int \frac{x^2+2}{x(x^2+1)}\,dx$

c) $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\sqrt{2}} \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx$

Oppgave 5

Avgjør om $\displaystyle \displaystyle\int_1^\infty \frac{3+\cos x}{x^2}\,dx$ konvergerer.

Oppgave 6

Området avgrenset av $y = e^{-x^2}$, $y = 0$, $x = 0$ og $x = 1$ dreies om $y$-aksen. Finn volumet av omdreiningslegemet med grunnleggende teknikker.

Oppgave 7

Finn Taylorpolynomet $P_2(x)$ av grad 2 til $f(x) = \sqrt{x}$ om $a = 9$, bruk det til å tilnærme $\sqrt{10}$, og bruk Lagrange-restleddet til å angi et minst mulig intervall som inneholder $\sqrt{10}$. Er tilnærmingen for stor eller for liten?

Oppgave 8

La $g(x) = x^3 + 3x - 3$.

a) Vis at likningen $g(x) = 0$ har nøyaktig én reell løsning, og at den ligger i $(0,1)$.

b) Utfør to Newton-iterasjoner fra $x_0 = 1$, og avgjør med et krumningsargument om $x_2$ er større eller mindre enn løsningen.

Oppgave 9

I et oppdrettsanlegg settes 200 fisk ut i en merd som maksimalt kan bære 2000 fisk. Bestanden $y(t)$ (antall fisk etter $t$ år) antas å vokse med en rate som er proporsjonal både med bestanden og med gjenværende kapasitet:
$$y' = k\,y\,(2000 - y), \qquad y(0) = 200.$$
Etter ett år er bestanden 400 fisk.

a) Løs differensiallikningen og bestem konstantene.

b) Når passerer bestanden 1000 fisk?

Løsningsforslag

Åpne én boks om gangen — og sammenlign føringen din, ikke bare tallene. Under hvert løsningsforslag står det hvor føringspoengene sitter.

---

Etter settet: noter hvilke deloppgaver som røk på føring (ikke matematikk) — og les de tilhørende boksene i kap. 8.1 på nytt. Neste sett: Øvingseksamen 2 (vårprofil).