Tilbake
1.3
Alle fag for Høyskole

1.3 Komplekse likninger og reell/kompleks faktorisering

Andregradslikninger med negativ diskriminant, konjugatrotsetningen og veien fra kjent rot til full faktorisering over både $\mathbb{C}$ og $\mathbb{R}$.

55 min
10 oppgaver
Komplekse likningerreell/kompleks faktorisering
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Bygger på kap. 1.1–1.2 (konjugat, modulus, nn-te røtter). I tillegg trenger du Polynomer og polynomdivisjon (divisjonsalgoritmen) og ABC-formelen (andregradslikninger). Konjugatet zˉ\bar z og identiteten zzˉ=∣z∣2z\bar z=|z|^2 fra kap. 1.1 er sentrale her.

Over de reelle tallene kan z2−4z+13z^2-4z+13 ikke faktoriseres — diskriminanten er negativ. Over de komplekse tallene kan ethvert polynom faktoriseres fullstendig i lineære faktorer (algebraens fundamentalteorem). Dette kapitlet knytter sammen tre ting: å løse likninger med komplekse røtter, konjugatrotsetningen (som gjør at reelle polynomer får røttene i konjugatpar), og veien fra en kjent rot til full faktorisering over både C\mathbb{C} og R\mathbb{R}.

Tre løkker: (1) andregradslikninger og konjugatrotsetningen, (2) faktorisering over C\mathbb{C} og R\mathbb{R}, (3) fra kjent rot til komplett faktorisering via polynomdivisjon. Hver løkke: teori → eksempel → oppgave.

Løkke 1 — Andregradslikninger og konjugatrotsetningen (~18 min)

Andregradsformelen over C\mathbb{C}
For az2+bz+c=0az^2+bz+c=0 (a≠0a\ne0, reelle eller komplekse koeffisienter) gjelder samme formel som over R\mathbb{R}:

z=−b±b2−4ac2a.z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Forskjellen er at kvadratroten nå alltid finnes — også når b2−4ac<0b^2-4ac<0.

Diskriminanten og fortegnet

Tallet D=b2−4acD=b^2-4ac (for reelle a,b,ca,b,c) styrer løsningene: D>0D>0 gir to reelle røtter, D=0D=0 én dobbel reell, og D<0D<0 to komplekse konjugerte røtter −b2a±i∣D∣2a\tfrac{-b}{2a}\pm i\tfrac{\sqrt{|D|}}{2a}.

Kvadratrot av negativt reelt tall

Når D<0D<0 skriver vi D=−∣D∣=i∣D∣\sqrt{D}=\sqrt{-|D|}=i\sqrt{|D|}. For eksempel −36=6i\sqrt{-36}=6i. Det er dette som setter ii inn i andregradsformelen og gir komplekse røtter.

Røtter i konjugatpar

For et andregradspolynom med reelle koeffisienter og D<0D<0 er de to røttene hverandres konjugat: z0=α+βiz_0=\alpha+\beta i og zˉ0=α−βi\bar z_0=\alpha-\beta i. De har lik realdel og motsatt imaginærdel.

✏️Eksempel 1: Andregradslikning med negativ diskriminant

Løs z2−4z+13=0z^2-4z+13=0, og gi røttene på normalform.

Diskriminanten: D=(−4)2−4⋅1⋅13=16−52=−36<0D=(-4)^2-4\cdot1\cdot13=16-52=-36<0, så vi venter to komplekse konjugerte røtter.

z=4±−362=4±6i2=2±3i.z=\frac{4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i.

Røttene er z=2+3i  og  z=2−3i\boxed{z=2+3i\ \text{ og }\ z=2-3i} — et konjugatpar. Kontroll (sum =4=4, produkt =(2)2+(3)2=13=(2)^2+(3)^2=13) stemmer med −b/a=4-b/a=4 og c/a=13c/a=13. ✓

📝Oppgave 1

Løs z2+2z+5=0z^2+2z+5=0 på normalform.

Konjugatrotsetningen
Har et polynom p(z)p(z) bare reelle koeffisienter, og er z0z_0 en rot, så er også zˉ0\bar z_0 en rot. Komplekse røtter opptrer altså alltid i konjugatpar. (Forutsetningen om reelle koeffisienter er avgjørende.)
Bevisidé for konjugatrotsetningen

Har pp reelle koeffisienter, er p(z)‾=p(zˉ)\overline{p(z)}=p(\bar z) (konjugering fordeler over sum og produkt, og lar reelle koeffisienter i fred). Er p(z0)=0p(z_0)=0, så er p(zˉ0)=p(z0)‾=0ˉ=0p(\bar z_0)=\overline{p(z_0)}=\bar 0=0 — altså er zˉ0\bar z_0 også rot. ∎

Når setningen IKKE gjelder

Konjugatrotsetningen krever reelle koeffisienter. For polynomer med komplekse koeffisienter, som z2−izz^2-iz, gjelder den ikke — der er 00 og ii røtter, og iˉ=−i\bar i=-i er ikke rot. Sjekk alltid at koeffisientene er reelle før du bruker setningen.

📝Oppgave 2

Vis at 3−i3-i er rot i p(z)=z2−6z+10p(z)=z^2-6z+10, og skriv opp den andre roten uten mer regning.

Løkke 2 — Faktorisering over C\mathbb{C} og over R\mathbb{R} (~20 min)

Algebraens fundamentalteorem

Ethvert polynom av grad n≥1n\ge1 (med komplekse koeffisienter) har nøyaktig nn røtter i C\mathbb{C}, regnet med multiplisitet. Vi bruker teoremet slik: gradtall == antall røtter, så et gradtall-nn-polynom faktoriserer i nn lineære faktorer over C\mathbb{C}.

Faktorsetningen
z0z_0 er en rot i p(z)p(z) hvis og bare hvis (z−z0)(z-z_0) er en faktor: p(z)=(z−z0)q(z)p(z)=(z-z_0)q(z) for et polynom qq av én grad lavere. Dette er broa mellom røtter og faktorer.
Multiplisitet

Er (z−z0)m(z-z_0)^m en faktor i pp, men ikke (z−z0)m+1(z-z_0)^{m+1}, sier vi at z0z_0 er en rot med multiplisitet mm. Når vi teller «nn røtter», telles hver med sin multiplisitet.

Ledende koeffisient i faktoriseringen

Faktoriseringen har alltid en konstant aa foran — den ledende koeffisienten til pp. For et normert polynom (ledende koeffisient 11) er a=1a=1 og faller bort, men for f.eks. 2z2−4z+102z^2-4z+10 må du beholde 22: 2(z−(1+2i))(z−(1−2i))2(z-(1+2i))(z-(1-2i)).

Reelt polynom av oddegrad har en reell rot

Siden ikke-reelle røtter i et reelt polynom kommer i par, må et polynom av odde grad ha et odde antall reelle røtter — spesielt minst én. Derfor har hvert tredjegradspolynom med reelle koeffisienter alltid minst én reell rot (nyttig når du leter etter en startfaktor).

Faktorisering over C\mathbb{C}
Med røttene z1,…,znz_1,\dots,z_n (med multiplisitet) og ledende koeffisient aa:

p(z)=a (z−z1)(z−z2)⋯(z−zn).p(z)=a\,(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n).

Alle faktorer er lineære. Dette er den fullstendige faktoriseringen over C\mathbb{C}.

Reell kvadratisk faktor fra et konjugatpar
Et konjugatpar z0,zˉ0z_0,\bar z_0 multipliseres til en reell kvadratisk faktor:

(z−z0)(z−zˉ0)=z2−2Re⁡(z0) z+∣z0∣2.(z-z_0)(z-\bar z_0)=z^2-2\operatorname{Re}(z_0)\,z+|z_0|^2.

Koeffisientene −2Re⁡(z0)-2\operatorname{Re}(z_0) og ∣z0∣2|z_0|^2 er reelle. Dette er grepet som gir reell faktorisering.

Faktorisering over R\mathbb{R}

Et polynom med reelle koeffisienter faktoriserer over R\mathbb{R} i lineære faktorer (fra de reelle røttene) og irreduserbare kvadratiske faktorer (ett per konjugatpar). Ingen faktor av grad ≥3\ge3 trengs.

Irreduserbart kvadratisk polynom

Et reelt andregradspolynom z2+pz+qz^2+pz+q er irreduserbart over R\mathbb{R} når diskriminanten p2−4q<0p^2-4q<0 — det har ingen reelle røtter og kan ikke splittes videre uten komplekse tall. Slike faktorer er byggesteinene i reell faktorisering.

✏️Eksempel 2: Faktorisering over $\mathbb{C}$ og $\mathbb{R}$

Løs z3=8z^3=8, og faktoriser z3−8z^3-8 både over C\mathbb{C} og over R\mathbb{R}.

Røttene: 8=8ei08=8e^{i0}, så zk=2ei2kπ/3z_k=2e^{i2k\pi/3}, k=0,1,2k=0,1,2: z0=2z_0=2, z1=2ei2π/3=−1+3 iz_1=2e^{i2\pi/3}=-1+\sqrt3\,i, z2=2ei4π/3=−1−3 iz_2=2e^{i4\pi/3}=-1-\sqrt3\,i. (Merk konjugatparet z1,z2z_1,z_2.)

Over C\mathbb{C} (tre lineære faktorer):

z3−8=(z−2)(z−(−1+3 i))(z−(−1−3 i)).z^3-8=(z-2)\big(z-(-1+\sqrt3\,i)\big)\big(z-(-1-\sqrt3\,i)\big).

Over R\mathbb{R}: slå konjugatparet sammen: (z−(−1+3i))(z−(−1−3i))=z2−2Re⁡(z1)z+∣z1∣2=z2+2z+4(z-(-1+\sqrt3 i))(z-(-1-\sqrt3 i))=z^2-2\operatorname{Re}(z_1)z+|z_1|^2=z^2+2z+4 (her Re⁡(z1)=−1\operatorname{Re}(z_1)=-1, ∣z1∣2=1+3=4|z_1|^2=1+3=4). Altså

z3−8=(z−2)(z2+2z+4).z^3-8=(z-2)(z^2+2z+4).

Kontroll: z2+2z+4z^2+2z+4 har D=4−16<0D=4-16<0, altså irreduserbar ✓, og utregning gir z3−8z^3-8 ✓.

📝Oppgave 3

Faktoriser z3+8z^3+8 over C\mathbb{C} og over R\mathbb{R}.

📝Oppgave 4

Faktoriser z4+4z^4+4 over C\mathbb{C} og over R\mathbb{R}.

Løkke 3 — Fra kjent rot til komplett faktorisering (~17 min)

Polynomdivisjon

For å dele p(z)p(z) på en faktor d(z)d(z) bruker vi divisjonsalgoritmen (samme oppstilling som for reelle polynomer): p(z)=d(z) q(z)+r(z)p(z)=d(z)\,q(z)+r(z) med deg⁡r<deg⁡d\deg r<\deg d. Er d(z)d(z) en faktor, blir resten r(z)=0r(z)=0, og q(z)q(z) er restfaktoren.

Verifikasjon ved innsetting og gjenmultiplikasjon

Etter polynomdivisjon er det billig forsikring å gange faktorene sammen igjen og sjekke at du får pp tilbake — eller å sette en kjent rot inn i restfaktoren. Regnefeil i polynomdivisjonen er en vanlig kilde til poengtap.

Strategi: fra ett konjugatpar til reell faktor

Er z0z_0 (ikke-reell) en kjent rot i et reelt polynom, er zˉ0\bar z_0 det også. Multipliser dem til den reelle kvadratiske faktoren z2−2Re⁡(z0)z+∣z0∣2z^2-2\operatorname{Re}(z_0)z+|z_0|^2, og del pp på den for å finne restfaktoren — det gir resten av røttene direkte.

Komplett faktorisering (gradkontroll)

En faktorisering er komplett når summen av faktorenes grader er lik deg⁡p\deg p, og ingen faktor kan splittes videre (over det aktuelle tallområdet). Over C\mathbb{C} betyr det nn lineære faktorer; over R\mathbb{R} at hver kvadratisk faktor har negativ diskriminant. Tell alltid gradene som sluttkontroll.

Strategivalg: andregradsformel vs. polarform

Er likningen en ren zn=cz^n=c, bruk rotformelen fra kap. 1.2 (polarform). Er den et generelt andregradsuttrykk az2+bz+c=0az^2+bz+c=0, bruk andregradsformelen. For høyere grad: finn/gis én rot, del ut faktoren, og reduser til et andregradspolynom.

Sum og produkt av røtter (Vieta)

For z2+bz+c=(z−z1)(z−z2)z^2+bz+c=(z-z_1)(z-z_2) er z1+z2=−bz_1+z_2=-b og z1z2=cz_1z_2=c. For et konjugatpar: sum =2Re⁡(z0)=2\operatorname{Re}(z_0) og produkt =∣z0∣2=|z_0|^2 — nettopp koeffisientene i den reelle faktoren. Nyttig som rask kontroll.

✏️Eksempel 3: Vis rot → begge faktoriseringer

Vis at 1+2i1+2i er rot i p(z)=z3−5z2+11z−15p(z)=z^3-5z^2+11z-15, og finn faktoriseringen både over C\mathbb{C} og over R\mathbb{R}.

Vis roten: p(1+2i)p(1+2i). Her er (1+2i)2=1+4i+4i2=−3+4i(1+2i)^2=1+4i+4i^2=-3+4i og (1+2i)3=(1+2i)(−3+4i)=−3+4i−6i+8i2=−11−2i(1+2i)^3=(1+2i)(-3+4i)=-3+4i-6i+8i^2=-11-2i. Sett inn:

p(1+2i)=(−11−2i)−5(−3+4i)+11(1+2i)−15=(−11−2i)+(15−20i)+(11+22i)−15=0 ✓.p(1+2i)=(-11-2i)-5(-3+4i)+11(1+2i)-15=(-11-2i)+(15-20i)+(11+22i)-15=0\ ✓.

Konjugatrotsetningen: koeffisientene er reelle, så 1+2i‾=1−2i\overline{1+2i}=1-2i er også rot. Konjugatparet gir den reelle faktoren

(z−(1+2i))(z−(1−2i))=z2−2Re⁡(1+2i) z+∣1+2i∣2=z2−2z+5.(z-(1+2i))(z-(1-2i))=z^2-2\operatorname{Re}(1+2i)\,z+|1+2i|^2=z^2-2z+5.

Finn restfaktoren ved polynomdivisjon:   z3−5z2+11z−15=(z2−2z+5)(z−3)\;z^3-5z^2+11z-15=(z^2-2z+5)(z-3). (Kontroll: gang ut igjen, eller sjekk at z=3z=3 gir p(3)=27−45+33−15=0p(3)=27-45+33-15=0 ✓.)

Over R\mathbb{R}:   p(z)=(z−3)(z2−2z+5).\;p(z)=(z-3)(z^2-2z+5).

Over C\mathbb{C}: split den reelle kvadratiske faktoren:   p(z)=(z−3)(z−(1+2i))(z−(1−2i)).\;p(z)=(z-3)(z-(1+2i))(z-(1-2i)).

📝Oppgave 5

Vis at 1−i1-i er rot i p(z)=z3−6z2+10z−8p(z)=z^3-6z^2+10z-8, og finn begge faktoriseringene.

📝Oppgave 6

Faktoriser z4−16z^4-16 over R\mathbb{R} og over C\mathbb{C}.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Oppsummering
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.