1.2 de Moivre: potenser og n-te røtter

$$z^n=\big(re^{i\theta}\big)^n=r^n\,e^{in\theta}.$$

Modulusen opphøyes ($r\mapsto r^n$), argumentet multipliseres ($\theta\mapsto n\theta$). Dette følger av at argumentene adderes ved multiplikasjon (kap. 1.1).

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$$

Denne formen brukes til å utlede trigonometriske identiteter (se kap. 1.2, løkke 3).

For å regne $z^n$:
1. Skriv $z=re^{i\theta}$ (polarform, kvadrantkontroll).
2. Bruk de Moivre: $z^n=r^n e^{in\theta}$.
3. Reduser vinkelen $n\theta$ modulo $2\pi$ til hovedintervallet.
4. Skriv ut til normalform hvis oppgaven ber om det.

Siden $e^{i\theta}$ har periode $2\pi$, er $e^{i\varphi}=e^{i(\varphi-2\pi m)}$ for ethvert heltall $m$. Ved høye potenser blir $n\theta$ ofte stor — trekk fra hele multipler av $2\pi$ til vinkelen ligger i $(-\pi,\pi]$ (eller $[0,2\pi)$). Uten reduksjon får du et uleselig argument.

de Moivre gjelder også for $n<0$: $z^{-n}=r^{-n}e^{-in\theta}=\dfrac{1}{r^n}e^{-in\theta}$. Spesielt er $z^{-1}=\tfrac1r e^{-i\theta}$ — modulus inverteres, argument speiles.

En $n$-te rot av $w$ er et tall $z$ med $z^n=w$. For $w\ne 0$ har likningen $z^n=w$ nøyaktig $n$ forskjellige komplekse løsninger (algebraens fundamentalteorem, kap. 1.3). Å «finne en rot» er ikke nok — oppgaven ber om alle $n$.

$$z_k=R^{1/n}\,e^{\,i(\varphi+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.$$

Alle har samme modulus $R^{1/n}$ (den reelle $n$-te roten av $R$), mens argumentet er $(\varphi+2k\pi)/n$. $2k\pi$-leddet er det som gir alle røttene — glemmer du det, får du bare én.

Alle $n$ røttene har samme modulus $R^{1/n}$, den reelle positive $n$-te roten av $R=|w|$. En vanlig feil er å skrive $R/n$ i stedet — det er $R^{1/n}$ (for $R=16,\ n=4$: $16^{1/4}=2$, ikke $4$).

For $k=0,1,\dots,n-1$ gir formelen $n$ forskjellige argumenter (de skiller seg med multipler av $\tfrac{2\pi}{n}<2\pi$). Fra $k=n$ gjentar de seg. Derfor er det nøyaktig $n$ røtter — verken flere eller færre.

Alle røttene fås ved å rotere prinsipalroten gjentatte ganger med vinkelen $\tfrac{2\pi}{n}$: $z_k=z_0\,\omega^k$ der $\omega=e^{i2\pi/n}$. Å finne én rot og gange med enhetsrøttene er ofte raskere enn å regne hver for seg.

Roten for $k=0$, altså $z_0=R^{1/n}e^{i\varphi/n}$, kalles prinsipalroten. De øvrige fås ved å legge til $\tfrac{2\pi}{n}$ på argumentet gjentatte ganger — start i prinsipalroten og gå rundt.

De $n$ røttene ligger jevnt fordelt på en sirkel med sentrum i origo og radius $R^{1/n}$, med konstant vinkelavstand $\tfrac{2\pi}{n}$. De danner hjørnene i en regulær $n$-kant. Denne bildeforståelsen gjør at du kan skissere og kontrollere svaret.

Alternativ til normalform-metoden: skriv $w=Re^{i\varphi}$; da er de to kvadratrøttene $\pm\sqrt{R}\,e^{i\varphi/2}$. De skiller seg med $\pi$ i argument (motsatte punkter på sirkelen). Bruk polarform når $w$ er gitt polart, normalform-metoden når $w=a+bi$.

Spesialtilfellet $n=2$: $z^2=w$ har to røtter som er hverandres motsatte, $\pm z_0$. Du kan finne dem på polarform, eller på normalform: sett $z=a+bi$, løs $a^2-b^2=\operatorname{Re}(w)$ og $2ab=\operatorname{Im}(w)$ sammen med $a^2+b^2=|w|$.

$$z_k=e^{\,i\,2k\pi/n},\qquad k=0,\dots,n-1.$$

De ligger jevnt fordelt på enhetssirkelen, med $z_0=1$ som en av dem. For eksempel er de sjette enhetsrøttene $e^{ik\pi/3}$, $k=0,\dots,5$.

Skriv $\omega=e^{i2\pi/n}$. Da er alle $n$-te enhetsrøtter potenser av $\omega$: $1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}$. Generelt er røttene til $z^n=w$ prinsipalroten $z_0$ ganget med enhetsrøttene: $z_k=z_0\,\omega^k$.

For $n\ge 2$ er summen av alle $n$-te enhetsrøtter $0$: $\;1+\omega+\omega^2+\dots+\omega^{n-1}=0$. (Geometrisk rekke med sum $\tfrac{\omega^n-1}{\omega-1}=0$ siden $\omega^n=1$.) Nyttig kontroll.

Er $w$ reelt, kommer de ikke-reelle $n$-te røttene i konjugatpar: med $z$ er også $\bar z$ en rot. For odde $n$ finnes dessuten nøyaktig én reell rot; for like $n$ ingen (hvis $w<0$) eller to (hvis $w>0$). Dette kobler direkte til faktoriseringen i kap. 1.3.

Røttene $z_0,\dots,z_{n-1}$ gir den fullstendige faktoriseringen over $\mathbb{C}$: $z^n-w=(z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_{n-1})$. Dette er utgangspunktet for reell faktorisering i kap. 1.3, der konjugatpar slås sammen til reelle kvadratiske faktorer.

En likning på formen $z^4+pz^2+q=0$ løses ved substitusjonen $u=z^2$: løs andregradslikningen $u^2+pu+q=0$ for $u$, og ta deretter kvadratrot: $z=\pm\sqrt{u}$ for hver $u$-verdi. Det gir de fire løsningene.

Ved å gange ut $(\cos\theta+i\sin\theta)^n$ og sammenligne real- og imaginærdel med $\cos n\theta+i\sin n\theta$, får du identiteter for $\cos n\theta$ og $\sin n\theta$. For $n=3$ gir realdelen $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$.

Tar du i stedet imaginærdelen i $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$, får du en identitet for $\sin n\theta$. For $n=3$: $\sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ (etter innsetting av $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$).