Tilbake
1.1
Alle fag for Høyskole

1.1 Komplekse tall: normalform, polarform og geometri

Normalform-aritmetikk og polarform begge veier med kvadrantdisiplin — ferdigheten som åpner nesten hvert eneste MAT111-sett.

55 min
13 oppgaver
Komplekse tallnormalformpolarformgeometri
Din fremgang i kapitlet
0 / 13 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på trigonometri og andregradslikninger fra VGS:

- ABC-formelen — andregradslikninger (brukes når diskriminanten blir negativ i kap. 1.3).
- Radianer og vinkelmål og Enhetssirkelen og trigonometriske definisjoner — argumentet til et komplekst tall er en vinkel, og de eksakte verdiene for π/6,π/4,π/3\pi/6,\pi/4,\pi/3 må sitte.
- Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen — cos⁡\cos og sin⁡\sin som koordinater på enhetssirkelen.

Selve det komplekse tallbegrepet bygges her fra grunnen — du trenger ingen forkunnskap om ii.

Ligningen x2=−1x^2=-1 har ingen reell løsning, for et reelt kvadrat er aldri negativt. Vi utvider derfor tallområdet med ett nytt tall, den imaginære enheten ii, som per definisjon oppfyller i2=−1i^2=-1. Da får enhver polynomlikning løsninger (algebraens fundamentalteorem, kap. 1.3), og mye regning i analysen blir enklere.

Et komplekst tall har to ansikter: normalform a+bia+bi (best for addisjon, subtraksjon og å lese av real- og imaginærdel) og polarform reiθr e^{i\theta} (best for multiplikasjon, potenser og røtter, kap. 1.2). Å skifte trygt mellom dem — med kontroll på hvilken kvadrant tallet ligger i — er hele ferdigheten som åpner MAT111-settet.

Vi jobber i tre løkker: (1) normalform-aritmetikk, (2) polarform begge veier, (3) geometriske mengder i planet. Hver løkke går teori → gjennomregnet eksempel → øvingsoppgaver.

Løkke 1 — Normalform: regne med a+bia+bi (~18 min)

Den imaginære enheten ii
Det nye tallet som gjør at negative tall får kvadratrøtter. Per definisjon:

i2=−1,altsa˚ i=−1.i^2=-1,\qquad \text{altså } i=\sqrt{-1}.

Høyere potenser går i en syklus med periode 4: i1=i, i2=−1, i3=−i, i4=1i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i,\ i^4=1, og så om igjen. For å regne ini^n tar du nn modulo 44.

Komplekst tall (normalform)
Et komplekst tall skrives på normalform (kartesisk form) som

z=a+bi,a,b∈R.z=a+bi,\qquad a,b\in\mathbb{R}.

Mengden av alle slike tall kalles C\mathbb{C}. Er b=0b=0 er zz reelt; er a=0a=0 (og b≠0b\ne 0) er zz rent imaginært.

Realdel og imaginærdel
For z=a+biz=a+bi er Re⁡(z)=a\operatorname{Re}(z)=a realdelen og Im⁡(z)=b\operatorname{Im}(z)=b imaginærdelen. Merk at Im⁡(z)\operatorname{Im}(z) er tallet bb — ikke bibi. To komplekse tall er like nettopp når både real- og imaginærdel er like:

a+bi=c+di  ⟺  a=c og b=d.a+bi=c+di\iff a=c\ \text{og}\ b=d.

Addisjon og subtraksjon
Legg sammen (eller trekk fra) real- og imaginærdel hver for seg:

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.(a+bi)\pm(c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i.

Geometrisk er dette vektoraddisjon i planet.

Multiplikasjon
Gang ut som vanlige parenteser og bruk i2=−1i^2=-1:

(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i.(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

Du trenger ikke å pugge formelen — gang ut ledd for ledd og samle real- og imaginærdel til slutt.

✏️Eksempel 1: Multiplikasjon på normalform

Regn ut (3+2i)(1−4i)(3+2i)(1-4i) på normalform.

Vi ganger ut ledd for ledd:

(3+2i)(1−4i)=3⋅1+3⋅(−4i)+2i⋅1+2i⋅(−4i)=3−12i+2i−8i2.(3+2i)(1-4i)=3\cdot 1+3\cdot(-4i)+2i\cdot 1+2i\cdot(-4i)=3-12i+2i-8i^2.

Siden i2=−1i^2=-1 er −8i2=+8-8i^2=+8. Vi samler real- og imaginærdel:

=(3+8)+(−12+2)i=11−10i.=(3+8)+(-12+2)i=\boxed{11-10i}.

📝Oppgave 1

Regn ut (2+3i)(4−i)(2+3i)(4-i) på normalform.

Kompleks konjugat zˉ\bar z
Konjugatet til z=a+biz=a+bi fås ved å bytte fortegn på imaginærdelen:

zˉ=a−bi.\bar z=a-bi.

Geometrisk er zˉ\bar z speilingen av zz om den reelle aksen.

Regneregler for konjugat
Konjugering fordeler seg over de fire regneartene:

z+w‾=zˉ+wˉ,zw‾=zˉ wˉ,(z/w)‾=zˉ/wˉ,zˉ‾=z.\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\quad \overline{zw}=\bar z\,\bar w,\quad \overline{(z/w)}=\bar z/\bar w,\quad \overline{\bar z}=z.

Videre: z+zˉ=2Re⁡(z)z+\bar z=2\operatorname{Re}(z) og z−zˉ=2iIm⁡(z)z-\bar z=2i\operatorname{Im}(z). Et tall er reelt nøyaktig når z=zˉz=\bar z.

Reelle og rent imaginære tall (konjugat-kriterier)

Konjugatet gir enkle kriterier: zz er reelt nøyaktig når z=zˉz=\bar z, og rent imaginært nøyaktig når z=−zˉz=-\bar z (da er Re⁡(z)=0\operatorname{Re}(z)=0). I planet er de reelle tallene den vannrette aksen og de rent imaginære den loddrette. Slike betingelser dukker opp i mengdeoppgaver der både zz og zˉ\bar z inngår.

Modulus (tallverdi) ∣z∣|z|
Modulus er avstanden fra zz til origo i planet:

∣z∣=a2+b2≥0.|z|=\sqrt{a^2+b^2}\ge 0.

Dette generaliserer tallverdien for reelle tall. Merk skillet: ∣z∣|z| er et ikke-negativt reelt tall, mens z2z^2 er komplekst — bland dem aldri.

Nøkkelidentiteten zzˉ=∣z∣2z\bar z=|z|^2
Produktet av et tall og konjugatet er alltid reelt og ikke-negativt:

zzˉ=(a+bi)(a−bi)=a2+b2=∣z∣2.z\bar z=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=|z|^2.

Dette er grepet som gjør nevneren reell i divisjon, og som knytter modulus til konjugering.

Modulus er multiplikativ
Modulus fordeler seg over produkt og kvotient:

∣zw∣=∣z∣ ∣w∣,∣zw∣=∣z∣∣w∣ (w≠0).|zw|=|z|\,|w|,\qquad \Big|\tfrac{z}{w}\Big|=\frac{|z|}{|w|}\ (w\ne 0).

Dette gjør at ∣zn∣=∣z∣n|z^n|=|z|^n — nyttig når du skal ta potenser og røtter i kap. 1.2. Derimot er modulus ikke additiv: generelt er ∣z+w∣≠∣z∣+∣w∣|z+w|\ne|z|+|w|.

Invers z−1z^{-1}
Den multiplikative inversen til z≠0z\ne 0 fås rett fra nøkkelidentiteten:

z−1=1z=zˉzzˉ=zˉ∣z∣2.z^{-1}=\frac1z=\frac{\bar z}{z\bar z}=\frac{\bar z}{|z|^2}.

Dette er divisjon 1/z1/z og et spesialtilfelle av regelen under. Sjekk: z⋅z−1=zzˉ/∣z∣2=1z\cdot z^{-1}=z\bar z/|z|^2=1.

Divisjon via konjugering
For å dele forlenger vi med konjugatet av nevneren — da blir nevneren reell:

zw=zw⋅wˉwˉ=z wˉ∣w∣2.\frac{z}{w}=\frac{z}{w}\cdot\frac{\bar w}{\bar w}=\frac{z\,\bar w}{|w|^2}.

Teller ganges ut som vanlig, og hele brøken deles på det reelle tallet ∣w∣2|w|^2.

✏️Eksempel 2: Divisjon på normalform

Skriv 4+7i2−i\dfrac{4+7i}{2-i} på normalform.

Konjugatet av nevneren er 2−i‾=2+i\overline{2-i}=2+i. Vi forlenger med det:

4+7i2−i=(4+7i)(2+i)(2−i)(2+i).\frac{4+7i}{2-i}=\frac{(4+7i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}.

Nevner: (2−i)(2+i)=22+12=5(2-i)(2+i)=2^2+1^2=5 (nøkkelidentiteten wwˉ=∣w∣2w\bar w=|w|^2).

Teller: (4+7i)(2+i)=8+4i+14i+7i2=8+18i−7=1+18i.(4+7i)(2+i)=8+4i+14i+7i^2=8+18i-7=1+18i.

Altså

4+7i2−i=1+18i5=15+185i=0,2+3,6i.\frac{4+7i}{2-i}=\frac{1+18i}{5}=\boxed{\tfrac15+\tfrac{18}{5}i}=0{,}2+3{,}6i.

📝Oppgave 2

Skriv 5+i1+2i\dfrac{5+i}{1+2i} på normalform.

📝Oppgave 3

La z=5−3iz=5-3i. Finn zˉ\bar z, ∣z∣|z| og zzˉz\bar z.

Løkke 2 — Polarform: z=reiθz=re^{i\theta} begge veier (~22 min)

Det komplekse planet

Vi tegner z=a+biz=a+bi som punktet (a,b)(a,b): realdelen langs den vannrette aksen, imaginærdelen langs den loddrette. Da svarer addisjon til vektoraddisjon, ∣z∣|z| til avstanden fra origo, og konjugering til speiling om den reelle aksen. Å tegne punktet er første steg mot polarform — det avgjør kvadranten.

Argument arg⁡z\arg z
Argumentet er vinkelen fra den positive reelle aksen ut til zz, målt i radianer mot klokka. Det er bare bestemt opp til hele omdreininger: er θ\theta et argument, er θ+2kπ\theta+2k\pi (k∈Zk\in\mathbb{Z}) det også. Origo har intet argument.
Hovedargument

For å få ett bestemt tall velger vi hovedargumentet i intervallet (−π,π](-\pi,\pi] (Adams' konvensjon). Det finner du ved å tegne punktet og lese av vinkelen — ikke ved å sette arctan⁡(b/a)\arctan(b/a) blindt, for arctan⁡\arctan gir alltid svar i (−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2) og bommer på kvadrant 2 og 3.

Polarform og Eulers formel
Med r=∣z∣r=|z| og θ=arg⁡z\theta=\arg z er

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=r eiθ,z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,e^{i\theta},

der den siste likheten er Eulers formel eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. Vi bruker konsekvent den kompakte skrivemåten reiθre^{i\theta}. Her er r≥0r\ge 0 modulus og θ\theta argumentet.

Fra normalform til polarform (oppskrift)

Gitt z=a+biz=a+bi:
1. Tegn punktet (a,b)(a,b) og bestem kvadranten.
2. Regn r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2}.
3. Finn referansevinkelen α=arctan⁡ ⁣(∣b∣/∣a∣)\alpha=\arctan\!\big(|b|/|a|\big), og juster den til riktig kvadrant for å få θ\theta.
4. Skriv z=reiθz=re^{i\theta}.

Kvadrantkontrollen i steg 1 er det som skiller riktig fra galt argument.

✏️Eksempel 3: Normalform → polarform med kvadrantkontroll

Skriv z=−2+2iz=-2+2i på polarform.

Tegn punktet: (−2,2)(-2,2) ligger i andre kvadrant (negativ real, positiv imaginær).

Modulus: r=(−2)2+22=8=22.r=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2.

Argument: referansevinkelen er arctan⁡ ⁣(22)=π4\arctan\!\big(\tfrac{2}{2}\big)=\tfrac{\pi}{4}. I andre kvadrant er θ=π−π4=3π4\theta=\pi-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{4}. (Hadde vi satt arctan⁡ ⁣(2−2)=−π4\arctan\!\big(\tfrac{2}{-2}\big)=-\tfrac{\pi}{4} blindt, havnet vi i feil kvadrant — derfor tegner vi punktet.)

z=22 e i 3π/4.z=\boxed{2\sqrt2\,e^{\,i\,3\pi/4}}.

📝Oppgave 4

Skriv z=−3−3iz=-3-3i på polarform (hovedargument).

📝Oppgave 5

Skriv z=3−iz=\sqrt3-i på polarform.

Fra polarform til normalform
Gitt z=reiθz=re^{i\theta}, bruk Eulers formel og de eksakte trig-verdiene:

z=rcos⁡θ+i rsin⁡θ.z=r\cos\theta+i\,r\sin\theta.

Når oppgaven ber om normalform, må du skrive svaret helt ut på formen a+bia+bi — et svar som blir stående på polarform gir trekk (sensormerknad H2016).

✏️Eksempel 4: Polarform → normalform

Skriv z=3eiπ/6z=3e^{i\pi/6} på normalform.

Med Eulers formel:

z=3(cos⁡π6+isin⁡π6)=3(32+i⋅12)=332+32i.z=3\big(\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}\big)=3\Big(\tfrac{\sqrt3}{2}+i\cdot\tfrac12\Big)=\boxed{\tfrac{3\sqrt3}{2}+\tfrac32 i}.

📝Oppgave 6

Skriv z=4ei 2π/3z=4e^{i\,2\pi/3} på normalform.

Multiplikasjon og divisjon på polarform
Polarform gjør produkt og kvotient til vinkel-regning:

r1eiθ1⋅r2eiθ2=r1r2 ei(θ1+θ2),r1eiθ1r2eiθ2=r1r2 ei(θ1−θ2).r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2\,e^{i(\theta_1+\theta_2)},\qquad \frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}\,e^{i(\theta_1-\theta_2)}.

Modulusene multipliseres/divideres, argumentene adderes/subtraheres. Dette er grunnlaget for de Moivre (kap. 1.2).

✏️Eksempel 5: Produkt via polarform

Bruk polarform til å regne (1+i) (3+i)(1+i)\,(\sqrt3+i), og gi svaret på normalform.

Faktorene på polarform: 1+i=2 eiπ/41+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4} (første kvadrant, r=2r=\sqrt2, θ=π/4\theta=\pi/4), og 3+i=2eiπ/6\sqrt3+i=2e^{i\pi/6} (første kvadrant, r=2r=2, θ=π/6\theta=\pi/6).

Produkt: modulus 2⋅2=22\sqrt2\cdot 2=2\sqrt2, argument π4+π6=5π12\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{12}, altså 22 ei 5π/122\sqrt2\,e^{i\,5\pi/12}.

Ut til normalform er det her raskest å gange ut direkte: (1+i)(3+i)=3+i+3i+i2=(3−1)+(3+1)i.(1+i)(\sqrt3+i)=\sqrt3+i+\sqrt3 i+i^2=(\sqrt3-1)+(\sqrt3+1)i. Begge former er riktige; velg den oppgaven ber om.

Løkke 3 — Geometriske mengder i planet (~15 min)

∣z−w∣|z-w| som avstand

Nøkkelen til alle mengdeoppgaver: ∣z−w∣|z-w| er avstanden mellom punktene zz og ww i planet. Oversett derfor enhver likning i ∣⋅∣|\cdot| til en avstandsbetingelse, så kjenner du geometrien igjen.

Trekantulikheten
For alle komplekse tall gjelder

∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣,|z+w|\le |z|+|w|,

med likhet nettopp når zz og ww peker samme vei ut fra origo. Geometrisk: den ene siden i en trekant er aldri lengre enn summen av de to andre. Nyttig til å avgrense ∣f(z)∣|f(z)| i estimater.

∣z∣=r|z|=r: sirkel om origo

Mengden av zz med ∣z∣=r|z|=r er alle punkter i avstand rr fra origo — en sirkel med sentrum i 00 og radius rr. Ulikheten ∣z∣<r|z|<r gir det åpne indre (en skive).

∣z−a∣=r|z-a|=r: sirkel med sentrum aa

Mengden av zz med ∣z−a∣=r|z-a|=r er punktene i avstand rr fra aa — en sirkel med sentrum aa og radius rr. Skriv a=a1+a2ia=a_1+a_2i; sirkelen har da sentrum (a1,a2)(a_1,a_2).

∣z−a∣=∣z−b∣|z-a|=|z-b|: midtnormal

Mengden av zz som ligger like langt fra aa og fra bb er midtnormalen (den vinkelrette halveringslinja) til linjestykket mellom aa og bb. Sett z=x+iyz=x+iy og kvadrer begge sider for å få linjas likning.

✏️Eksempel 6: Sirkel

Beskriv og skisser mengden av zz med ∣z−3i∣=2|z-3i|=2.

∣z−3i∣|z-3i| er avstanden fra zz til punktet 3i=(0,3)3i=(0,3). Betingelsen «avstand lik 22» gir en sirkel med sentrum (0,3)(0,3) og radius 22.

Kontroll med koordinater: z=x+iyz=x+iy gir ∣x+(y−3)i∣=2|x+(y-3)i|=2, altså x2+(y−3)2=4x^2+(y-3)^2=4 — sirkelen med sentrum (0,3)(0,3) og radius 22. ✓

✏️Eksempel 7: Midtnormal

Beskriv mengden av zz med ∣z−1∣=∣z+i∣|z-1|=|z+i|.

Venstre side er avstanden til 1=(1,0)1=(1,0), høyre side avstanden til −i=(0,−1)-i=(0,-1) (siden z+i=z−(−i)z+i=z-(-i)). Betingelsen «like langt fra (1,0)(1,0) og (0,−1)(0,-1)» er midtnormalen til linjestykket mellom dem.

Med koordinater z=x+iyz=x+iy: (x−1)2+y2=x2+(y+1)2(x-1)^2+y^2=x^2+(y+1)^2. Gang ut:

x2−2x+1+y2=x2+y2+2y+1 ⇒ −2x=2y ⇒ y=−x.x^2-2x+1+y^2=x^2+y^2+2y+1\ \Rightarrow\ -2x=2y\ \Rightarrow\ y=-x.

Mengden er linja y=−xy=-x. Kontroll med z=2−2i=(2,−2)z=2-2i=(2,-2): avstand til (1,0)(1,0) er 1+4=5\sqrt{1+4}=\sqrt5, avstand til (0,−1)(0,-1) er 4+1=5\sqrt{4+1}=\sqrt5 ✓.

📝Oppgave 7

Beskriv mengden av zz med ∣z+2∣=3|z+2|=3.

📝Oppgave 8

Finn og beskriv mengden av zz med ∣z−2∣=∣z−2i∣|z-2|=|z-2i|.

📝Oppgave 9

La z=−2+2iz=-2+2i (fra Eksempel 3). Regn z/zˉz/\bar z og gi svaret på både polar- og normalform.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Oppsummering
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.