1.4 Drill: komplekse tall som åpningsoppgave

Hele komplekstall-repertoaret som gjennomført åpningsoppgave — normalform, de Moivre, røtter, likning og faktorisering, med full føring.

90 min

13 oppgaver

Drillkomplekse tall som åpningsoppgave

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Komplekse likninger og reell/kompleks faktorisering

Brukes videre i

1.PPrøver til del 1: Komplekse tall

Dette er hele komplekstall-repertoaret drillet som den gjennomførte åpningsoppgaven.

- Sjanger C åpner 28 av 34 sett — og består oftest av flere delpunkter (1a–1f) som kjeder teknikkene fra kap. 1.1–1.3: polarform, potens, røtter, likning og faktorisering.
- Ofte gjenbrukes et delsvar senere (f.eks. en faktorisering fra 1c dukker opp i et integral lenger ut i settet) — se etter kjedene.
- Åpen bok måler føring og tempo: der polarform gir svaret på tre linjer, taper du tid på å gnu gjennom normalform.

Mål: kjøre hele åpningsoppgaven på rutine, med full føring og riktig svarform hvert sted — så du sikrer de billige poengene tidlig og sparer tid til resten av settet.

Forkunnskaper. Hele Del 1: kap. 1.1 (normalform, polarform, geometri), kap. 1.2 (de Moivre, røtter) og kap. 1.3 (likninger, faktorisering). Denne drillen introduserer ingen ny teori — den setter alt sammen under tidspress. Løs først uten fasit; sjekk deretter føringen.

En MAT111-åpning ser typisk slik ut: «La $z=\dots$ . (a) Skriv på polarform. (b) Regn $z^n$ . (c) Finn alle $n$ -te røtter. (d) Faktoriser … (e) Løs likningen … (f) Beskriv mengden …». Under har du seks løsningsoppskrifter (én per deltype), deretter en fullstendig gjennomregnet eksamens-åpning med sensor-margnotater, og til slutt en oppgavebank på eksamensnivå. Alle svar føres som A-besvarelse: hvert steg vist, sluttsvar markert.

Seks løsningsoppskrifter

Oppskrift 1 — Polarform

(a,b)

Oppskrift 2 — Potens

z^n

z^n=r^n e^{in\theta}

Oppskrift 3 — Alle

n

-te røtter

w=Re^{i\varphi}

Oppskrift 4 — Likning

z^n=c

Oppskrift 5 — Faktorisering

z_0,\bar z_0

Oppskrift 6 — Geometrisk mengde

|z-w|

Gjennomregnet eksamens-åpning (med sensor-margnotater)

✏️Oppgave 1 (a–f) — komplett åpning

La $z=2+2i$ .

(a) Skriv $z$ på polarform.
(b) Bruk (a) til å regne $z^6$ på normalform.
(c) Finn alle løsninger av $u^3=-8$ på normalform.
(d) Faktoriser $u^3+8$ både over $\mathbb{C}$ og over $\mathbb{R}$ .
(e) Løs $v^2-2v+5=0$ .
(f) Beskriv mengden av $w$ med $|w-z|=|w|$ .

(a) Punktet

(2,2)

ligger i første kvadrant.

r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2

, referansevinkel

\arctan\tfrac{2}{2}=\tfrac{\pi}{4}

. Altså

z=2\sqrt2\,e^{i\pi/4}

. (Sensor: kvadrantkontroll vist — full uttelling.)

(b) de Moivre: $z^6=(2\sqrt2)^6 e^{i6\pi/4}$ . Modulus: $(2\sqrt2)^6=(8)^3=512$ . Vinkel: $\tfrac{6\pi}{4}=\tfrac{3\pi}{2}$ (allerede i $[0,2\pi)$ ). Så $z^6=512\,e^{i3\pi/2}=512(0-i)=\boxed{-512i}$ . (Sensor: $r^6$ og vinkelreduksjon markert — poeng selv om normalform-utskrivingen skulle glippe.)

(c) $-8=8e^{i\pi}$ , så $u_k=2e^{i(\pi+2k\pi)/3}$ , $k=0,1,2$ : $u_0=2e^{i\pi/3}=1+\sqrt3\,i$ , $u_1=2e^{i\pi}=-2$ , $u_2=2e^{i5\pi/3}=1-\sqrt3\,i$ . (Sensor: $2k\pi$ -leddet med — alle tre røtter, ikke bare én.)

(d) Røttene fra (c) gir faktoriseringen. Over $\mathbb{C}$ : $u^3+8=(u+2)(u-(1+\sqrt3 i))(u-(1-\sqrt3 i))$ . Over $\mathbb{R}$ : slå sammen konjugatparet $1\pm\sqrt3 i$ : $u^2-2u+4$ ( $\operatorname{Re}=1$ , $|u_0|^2=4$ ). Altså $u^3+8=(u+2)(u^2-2u+4)$ . (Sensor: her ligger en kjede — (c) gjenbrukt direkte i (d), ingen ny regning.)

(e) $D=4-20=-16$ , $\sqrt{D}=4i$ : $v=\tfrac{2\pm4i}{2}=\boxed{1\pm2i}$ . Et konjugatpar, som seg hør og bør for reelle koeffisienter.

(f) $|w-z|$ er avstanden fra $w$ til $z=(2,2)$ , og $|w|=|w-0|$ avstanden til origo. «Like langt fra $(2,2)$ og $(0,0)$ » er midtnormalen til linjestykket mellom dem. Med $w=x+iy$ : $(x-2)^2+(y-2)^2=x^2+y^2\Rightarrow -4x-4y+8=0\Rightarrow \boxed{x+y=2}$ . (Sensor: oversettelsen $|w-z|=$ avstand gir full uttelling; skisse anbefales.)

Oppgavebank på eksamensnivå

📝Oppgave 1

Skriv $z=-4$ på polarform, og $z=6e^{i5\pi/6}$ på normalform.

📝Oppgave 2

Skriv $\dfrac{3-2i}{1+i}$ på normalform.

📝Oppgave 3

Regn $(1-i)^{8}$ på normalform.

📝Oppgave 4

Regn $(\sqrt3-i)^{5}$ på normalform.

📝Oppgave 5

Finn alle løsninger av $z^4=16$ på normalform.

📝Oppgave 6

Finn alle løsninger av $z^3=-27i$ på normalform.

📝Oppgave 7

Løs den bikvadratiske likningen $z^4+5z^2+4=0$ .

📝Oppgave 8

Løs $v^2-2v+2=0$ på normalform.

📝Oppgave 9

Vis at $2+i$ er rot i $p(z)=z^3-5z^2+9z-5$ , og faktoriser $p$ over $\mathbb{C}$ og over $\mathbb{R}$ .

📝Oppgave 10

Faktoriser $z^4-1$ over $\mathbb{C}$ og over $\mathbb{R}$ .

📝Oppgave 11

Finn begge kvadratrøttene av $-5+12i$ .

📝Oppgave 12

Beskriv mengden av $z$ med $|z-1|=|z+3|$ .

📝Oppgave 13

La $z=2+2i$ .

a) Regn $z^3$ på normalform.

b) Bruk a)-svaret til å finne én løsning av $u^3=z^3$ som IKKE er $z$ selv.

Typiske feil (samlet fra Del 1)

- Argument i feil kvadrant — tegn alltid punktet (Oppskrift 1).
- Glemme $2k\pi$ -leddet i røtter (Oppskrift 3) — gir bare én rot.
- Glemme vinkelreduksjon ved høye potenser (Oppskrift 2).
- Bare én faktorisering levert der begge kreves (Oppskrift 5).
- Polarsvar ikke skrevet ut til normalform når det er etterspurt.
- Tidsfellen: lange normalform-utregninger der polarform gir svaret på tre linjer.

Oppsummering

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.