8.3 Øvingseksamen 2: vårprofil (13 deloppgaver, 5 timer)

Oppgavesettet (13 deloppgaver, 5 timer)

Alle svar skal begrunnes, men begrunnelsene skal være korte. Der et integral skal beregnes, skal det løses med grunnleggende teknikker — ikke ved oppslag.

---

Oppgave 1

a) Skriv $w = \dfrac{3+2i}{1-2i}$ på normalform, og finn $|w|$.

b) Finn alle løsninger av $z^3 = 8i$, og skriv dem på normalform. Angi hvilken som er prinsipalroten.

Oppgave 2

Beregn $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} (1+2x)^{3/x}$ med full føring.

Oppgave 3

La $f(x) = \ln(x^2 + 4x + 5)$ for $x \ge -2$.

a) Vis at $f$ er én-til-én på $[-2, \infty)$, og finn en formel for $f^{-1}$ med tilhørende definisjonsmengde.

b) La $g(x) = x^3 + 4x + 1$. Beregn $(g^{-1})'(6)$.

Oppgave 4

a) Vis at punktet $(1, 2)$ ligger på kurven $x^2 + xy + y^2 = 7$, og finn likningen for tangenten til kurven i dette punktet.

b) En drone stiger rett opp med konstant fart $3$ m/s fra et punkt på bakken $40$ m fra en observatør. Hvor raskt endrer avstanden mellom observatøren og dronen seg i det øyeblikket dronen er $30$ m over bakken?

Oppgave 5

La $F(x) = \displaystyle\int_0^{x^2} \sqrt{1+t^3}\,dt$. Forklar hvorfor $F$ er veldefinert for alle $x$, finn $F'(x)$, og avgjør hvor $F$ er voksende.

Oppgave 6

a) En syklists fart måles hvert sekund: $v(0)=0$, $v(1)=4{,}2$, $v(2)=6{,}8$, $v(3)=8{,}1$ og $v(4)=8{,}8$ (m/s). Bruk trapesmetoden med disse målingene til å anslå tilbakelagt strekning de fire første sekundene.

b) Trapesmetoden skal brukes på $\displaystyle\int_0^2 e^{-x^2}\,dx$. Bruk feilformelen $|E_T| \le \dfrac{K(b-a)^3}{12n^2}$ til å bestemme hvor mange delintervaller som trengs for at feilen garantert er høyst $0{,}01$.

Oppgave 7

La $f(x) = x\,e^{-x}$ for $x \ge 0$. Vis at $f$ har et globalt maksimum på $[0, \infty)$, og finn det. (Husk at eksistensen skal begrunnes.)

Oppgave 8

Beregn $\displaystyle \displaystyle\int \frac{e^x}{e^{2x} + 3e^x + 2}\,dx$ med grunnleggende teknikker.

Oppgave 9

En tank inneholder $200$ liter rent vann. Fra $t = 0$ pumpes saltvann med konsentrasjon $2$ g/L inn med $2$ L/min; blandingen holdes jevnt omrørt og tappes ut med samme hastighet, $2$ L/min. La $y(t)$ være saltmengden i tanken (gram) etter $t$ minutter. Sett opp en differensiallikning for $y$, løs den med integrerende faktor, avgjør når saltmengden passerer $200$ g, og beskriv hva som skjer på lang sikt.

Løsningsforslag

Én boks per deloppgave. Sammenlign på føringsnivå — boksene peker på hvor poengene sitter.

---

Etter settet: sjangrene her (L, K, FTC, J) er vårsettenes markører — røk noen av dem, ligger drillen i kap. 3.3, kap. 3.4, kap. 5.1 og kap. 5.7. Siste sett: Øvingseksamen 3 (teoritung).