5.7 Numerisk integrasjon: trapes og Simpson med feilestimat

Trapes- og Simpson-tilnærming fra formel og fra måletabell, med feilformlene brukt aktivt til å dimensjonere n — en UiB-signatur som ikke finnes i UiO-arkivet.

55 min

15 oppgaver

Numerisk integrasjontrapesSimpson med feilestimat

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Fundamentalteoremet og integraler med variable grenser

Brukes videre i

5.PPrøver til del 5: Integrasjon

Numerisk integrasjon er en UiB-signatur — og feilformlene er poengmaskinen.

- Sjanger J — numerisk integrasjon (bokas merkelapp fra Del 0 for trapes-/Simpson-oppgavene) står i 13 av 34 arkiverte sett (38 %), jevnt fordelt siden 2007. Sjangeren finnes knapt i UiO-arkivet — den er et UiB-særtrekk, så generiske oppgavesamlinger dekker den dårlig.
- *Feilformlene skal brukes kvantitativt: ikke bare siteres, men settes i arbeid — skaff skranken $K$ på intervallet og dimensjonér $n$ for en gitt feilgrense. Det er her poengene deles ut, og der flest mister dem.
- Oppgavene kommer i to drakter: fra formel (en gitt integrand) og fra måletabell (fart, vannføring — tallkolonner uten formel).
- Teorivariantene dukker også opp: forklar metodene, vis at Simpson er eksakt for tredjegradspolynomer, eller konstruer et moteksempel der trapesmetoden slår Simpson (V2020-settet).
- Prioritet: kunne* — standardisert sjanger med fast løsningsmal.

Forkunnskaper. Rammeverket — hva et bestemt integral er, og fundamentalteoremet vi bruker som fasit i kontrollregninger — står i kap. 5.1. Selve metodene møtte du i R2: Numerisk integrasjon; der var feilformlene valgfrie — her er de kjernen. Til

K

-jakten trengs derivasjonsrutine fra kap. 3.5 (maksimum av en funksjon på et intervall).

Sist du var her — R2-versjonen av trapesmetoden:

$T_n = h\Big(\tfrac12 f(x_0) + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1}) + \tfrac12 f(x_n)\Big), \qquad h=\frac{b-a}{n}.$

Mange integraler kan ikke løses med antideriverte — $\int e^{-x^2}dx$ har ingen elementær antiderivert, og en fartslogg fra en test har ingen formel i det hele tatt. Da bytter vi strategi: tilnærm arealet direkte fra funksjonsverdier i noen få punkter. Trapesmetoden binder punktene sammen med rette linjer; Simpsons metode legger parabler gjennom dem, tre og tre.

Men en tilnærming uten feilkontroll er bare en gjetning. Det MAT111 faktisk tester, er feilformlene i arbeid: hvor stor kan feilen være med de delintervallene du har — og hvor mange delintervaller trenger du for en gitt nøyaktighet? Den regningen har fast mal, og malen er dette kapitlets ryggrad.

Fire læringsløkker: (1) trapesmetoden fra formel og tabell, (2) Simpsons metode, (3) feilformlene kvantitativt — $K$ -jakt og dimensjonering av $n$ , (4) teorien: eksakthet for kubiske og moteksempelet der trapes vinner.

Løkke 1 — Trapesmetoden (~13 min)

Hvorfor numerisk integrasjon

\int_a^b f(x)\,dx

Delintervaller og steglengden

h

[a,b]

Nodene

x_i

x_i = a + ih

Trapesformelen

T_n = \frac{h}{2}\Big[f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big].

Trapesvektene

1,2,2,\dots,2,1

T_n

Tilnærming fra måletabell

f

✏️Eksempel 1: trapes fra formel, med verditabell

Bruk trapesmetoden med $n=4$ på $\displaystyle \displaystyle\int_1^2\frac{dx}{x}$ , og sammenlign med den eksakte verdien $\ln 2\approx 0{,}6931$ .

Steglengde:

\displaystyle h=\frac{2-1}{4}=0{,}25

. Verditabell over nodene:

$i$	$x_i$	$f(x_i)=1/x_i$	vekt
0	$1{,}00$	$1{,}000000$	1
1	$1{,}25$	$0{,}800000$	2
2	$1{,}50$	$0{,}666667$	2
3	$1{,}75$	$0{,}571429$	2
4	$2{,}00$	$0{,}500000$	1

T_4 = \frac{0{,}25}{2}\Big[1 + 2(0{,}8) + 2(0{,}666667) + 2(0{,}571429) + 0{,}5\Big] = 0{,}125\cdot 5{,}576190 \approx 0{,}69702.

Eksakt er

\ln 2 = 0{,}69315

, så feilen er

\approx 0{,}0039

— trapesene ligger over fordi

\displaystyle \frac1x

krummer oppover (konveks), og kordene da ligger over grafen.
Sluttsvar:

T_4\approx 0{,}6970

(eksakt

\ln 2\approx 0{,}6931

\blacksquare

📝Oppgave 1

Bruk trapesmetoden med $n=2$ på $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$ , og finn den faktiske feilen mot den eksakte verdien.

Løkke 2 — Simpsons metode (~13 min)

Parabelidéen

(x_{2k},x_{2k+1},x_{2k+2})

Simpsons formel

n

Kravet:

n

må være partall

n

Simpson-vektene

1,4,2,4,\dots,2,4,1

4,2,4,2,\dots

✏️Eksempel 2: Simpson på samme integral

Bruk Simpsons metode med $n=4$ på $\displaystyle \displaystyle\int_1^2\frac{dx}{x}$ , og sammenlign med trapes-resultatet fra eksempel 1.

Samme noder og verdier som i eksempel 1, men Simpson-vekter

1,4,2,4,1

(vektsum

12=3n

✓):

$S_4 = \frac{0{,}25}{3}\Big[1 + 4(0{,}8) + 2(0{,}666667) + 4(0{,}571429) + 0{,}5\Big] = \frac{0{,}25}{3}\cdot 8{,}319048 \approx 0{,}69325.$

Eksakt $\ln 2 = 0{,}69315$ : feilen er $\approx 1{,}1\cdot 10^{-4}$ — rundt 35 ganger mindre enn trapesfeilen $0{,}0039$ , med nøyaktig samme fem funksjonsverdier. Det er parabelidéen i praksis.

Sluttsvar: $S_4\approx 0{,}69325$ . $\blacksquare$

✏️Eksempel 3: Simpson fra måletabell

En drone logger farten (i m/s) hvert sekund under en seks sekunders akselerasjonstest:

$t$ (s)	0	1	2	3	4	5	6
$v(t)$ (m/s)	$0$	$4{,}2$	$7{,}1$	$8{,}6$	$9{,}0$	$8{,}4$	$7{,}0$

Estimer tilbakelagt strekning

\int_0^6 v(t)\,dt

med Simpsons metode.

Målingene er jevnt fordelt med

h=1

, og

n=6

er partall — Simpson kan brukes direkte på kolonnen. Vekter

1,4,2,4,2,4,1

(vektsum

18 = 3n

✓):

$S_6 = \frac{1}{3}\Big[0 + 4(4{,}2) + 2(7{,}1) + 4(8{,}6) + 2(9{,}0) + 4(8{,}4) + 7{,}0\Big] = \frac{1}{3}\big[124{,}0\big] \approx 41{,}3.$

Konklusjon: dronen tilbakela omtrent $41{,}3$ meter i løpet av testen (fart i m/s ganger tid i s gir meter). $\blacksquare$

📝Oppgave 2

Vannføringen i en bekk måles hvert halve sekund i to sekunder (i liter/s): $q(0)=0$ , $q(0{,}5)=3{,}0$ , $q(1)=5{,}2$ , $q(1{,}5)=6{,}6$ , $q(2)=7{,}2$ . Estimer total vannmengde $\int_0^2 q(t)\,dt$ med Simpsons metode.

Løkke 3 — Feilformlene kvantitativt: $K$ -jakt og dimensjonering (~16 min)

Feilskranken for trapesmetoden

|E_T| = \Big|\int_a^b f(x)\,dx - T_n\Big| \le \frac{K(b-a)^3}{12\,n^2}, \qquad K = \max_{[a,b]}|f''|.

K

er maksimum på HELE intervallet

K

Feilskranken for Simpsons metode

|E_S| \le \frac{K(b-a)^5}{180\,n^4}, \qquad K = \max_{[a,b]}\big|f^{(4)}\big|.

Trygg (grov) skranke er lov

K

Dimensjonering av

n

\varepsilon

Avrundingsregelen: opp — og til partall for Simpson

n

Skranke er ikke feil

0{,}0039

✏️Eksempel 4: hele malen på $\int_1^2 dx/x$

For $\displaystyle \displaystyle\int_1^2\frac{dx}{x}$ : a) finn feilskranken for $T_4$ fra eksempel 1; b) hvor mange delintervaller trengs for at trapesmetoden garantert har feil under $5\cdot 10^{-5}$ ? c) Samme spørsmål for Simpson.

a) Skaff $K$ :

f(x)=x^{-1}

gir

f''(x) = 2x^{-3}

. På

[1,2]

2/x^3

positiv og avtagende, så maksimum er i venstre endepunkt:

K = |f''(1)| = 2

. Skranken:

$|E_T| \le \frac{K(b-a)^3}{12n^2} = \frac{2\cdot 1^3}{12\cdot 4^2} = \frac{2}{192} = \frac{1}{96} \approx 0{,}0104.$

(Faktisk feil var $0{,}0039$ — godt innenfor garantien.)

b) Dimensjonér $n$ for trapes:

$\frac{2}{12n^2}\le 5\cdot 10^{-5} \;\Rightarrow\; n^2 \ge \frac{2}{12\cdot 5\cdot 10^{-5}} \approx 3333{,}3 \;\Rightarrow\; n \ge 57{,}7.$

Rund opp: $n = 58$ delintervaller garanterer feil under $5\cdot 10^{-5}$ .

c) Simpson: $f^{(4)}(x) = 24x^{-5}$ , avtagende på $[1,2]$ , så $K = 24$ (i $x=1$ ):

$\frac{24\cdot 1^5}{180n^4}\le 5\cdot 10^{-5} \;\Rightarrow\; n^4 \ge \frac{24}{180\cdot 5\cdot 10^{-5}} \approx 2666{,}7 \;\Rightarrow\; n \ge 7{,}19.$

Rund opp til partall: $n = 8$ . Simpson trenger 8 delintervaller der trapes trenger 58 — $n^4$ -effekten. $\blacksquare$

✏️Eksempel 5: $K$-jakt uten pen fasit — $\int_0^1 e^{-x^2}dx$

Integranden $e^{-x^2}$ har ingen elementær antiderivert. a) Finn en trygg $K$ for trapesmetoden på $[0,1]$ og dimensjonér $n$ for feil høyst $10^{-4}$ . b) Gjør det samme for Simpson.

f(x) = e^{-x^2}

gir

f'(x) = -2xe^{-x^2}

$f''(x) = (4x^2-2)e^{-x^2}.$

Trygg skranke på $[0,1]$ : $|4x^2-2|\le 2$ (siden $0\le x^2\le 1$ gir $-2\le 4x^2-2\le 2$ ) og $e^{-x^2}\le 1$ , så $K=2$ :

$\frac{2\cdot 1}{12n^2}\le 10^{-4} \;\Rightarrow\; n^2\ge \frac{2}{12\cdot 10^{-4}}\approx 1667 \;\Rightarrow\; n\ge 40{,}9 \;\Rightarrow\; n=41.$

b) Fjerdederiverte: $f^{(4)}(x) = (16x^4 - 48x^2 + 12)e^{-x^2}$ . Grov, trygg skranke med trekantulikheten: $|16x^4-48x^2+12|\le 16+48+12 = 76$ og $e^{-x^2}\le 1$ , så $K=76$ :

$\frac{76}{180n^4}\le 10^{-4} \;\Rightarrow\; n^4\ge 4222 \;\Rightarrow\; n\ge 8{,}1 \;\Rightarrow\; n = 10 \text{ (partall)}.$

Kommentar: en skarpere analyse viser at $\max|f^{(4)}| = 12$ (i $x=0$ ), som gir $n\ge 5{,}1$ , altså $n=6$ . Begge svar honoreres — det som kreves, er at skranken er begrunnet og trygg. Grov-men-trygg koster bare noen ekstra delintervaller. $\blacksquare$

📝Oppgave 3

Hvor mange delintervaller trenger trapesmetoden for å beregne $\displaystyle\int_0^1 x^4\,dx$ med garantert feil høyst $0{,}01$ ?

📝Oppgave 4

Hvor mange delintervaller trenger Simpsons metode for $\displaystyle \displaystyle\int_1^2\frac{dx}{x}$ med garantert feil høyst $10^{-6}$ ?

Løkke 4 — Teori: eksakthet for kubiske, og moteksempelet (~13 min)

Presisjonsgrad

n

Simpson er eksakt for tredjegradspolynomer

\le 3

Moteksempel-prinsippet: trapes kan slå Simpson

n

✏️Eksempel 6: eksaktheten verifisert

Vis ved direkte regning at $S_2$ gir eksakt verdi for $\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx$ , og forklar hvorfor det måtte bli slik.

Eksakt:

\displaystyle \int_0^2 x^3dx = \big[\frac{x^4}{4}\big]_0^2 = 4

Simpson med $n=2$ : $h=1$ , noder $0,1,2$ , verdier $0,1,8$ , vekter $1,4,1$ :

$S_2 = \frac{1}{3}\big[0 + 4\cdot 1 + 8\big] = \frac{12}{3} = 4. \checkmark$

Hvorfor: $f(x)=x^3$ har $f^{(4)}\equiv 0$ , så feilskranken $\displaystyle \frac{K(b-a)^5}{180n^4}$ er null med $K=0$ — feilen er tvunget til å være null for alle $n$ . $\blacksquare$

✏️Eksempel 7 (eksamensnivå): moteksempelet der trapes vinner

Konstruer et eksempel der trapesmetoden gir bedre tilnærming enn Simpsons metode med samme $n$ . (V2020-varianten.)

f(x) = \cos(2\pi x)

på

[0,1]

med

n=2

. Eksakt:

$\int_0^1 \cos(2\pi x)\,dx = \Big[\frac{\sin(2\pi x)}{2\pi}\Big]_0^1 = 0.$

Noder $0,\tfrac12,1$ med verdier $\cos 0 = 1$ , $\cos\pi = -1$ , $\cos 2\pi = 1$ ; $h=\tfrac12$ .

Trapes (vekter $1,2,1$ ):
$T_2 = \frac{1/2}{2}\big[1 + 2(-1) + 1\big] = \frac14\cdot 0 = 0 \qquad\text{— eksakt!}$

Simpson (vekter $1,4,1$ ):
$S_2 = \frac{1/2}{3}\big[1 + 4(-1) + 1\big] = \frac16\cdot(-2) = -\frac13.$

Trapesfeilen er $0$ ; Simpson bommer med $\tfrac13$ . Nodene ser bare tre punkter av en hel cosinus-periode — Simpsons parabel gjennom dem er en dyp bue som ikke ligner funksjonen, mens trapesenes feil over og under kansellerer perfekt. Ingen feilformel brytes: skrankene er garantier ovenfra, ikke løfter om hvem som er nærmest. $\blacksquare$

📝Oppgave 5

a) Vis ved direkte regning at

S_2

er eksakt for

\displaystyle\int_0^1\big(x^3 - 2x + 1\big)\,dx

. b) Er trapesmetoden eksakt for samme integral? Regn ut

T_2

og sammenlign.

Typiske feil

- Feilformelen sitert, ikke brukt. Å skrive skranken uten å løse ulikheten for $n$ gir null uttelling på dimensjoneringsspørsmål — malen er skranke $\le\varepsilon$ , løs, rund opp.
- Feil $K$ . $K$ er maksimum av $|f''|$ (hhv. $|f^{(4)}|$ ) på HELE intervallet — begrunn hvor maksimum ligger (monotoni), eller bruk en begrunnet grov overskranke. Endepunktverdi uten begrunnelse er ikke en skranke.
- Odde $n$ i Simpson. $n\ge 4{,}54$ betyr $n=6$ , ikke 5. Parablene trenger delintervall-par.
- Vektrot. Trapes $1,2,\dots,2,1$ (sum $2n$ ); Simpson $1,4,2,\dots,4,1$ (sum $3n$ ). Tell vektsummen som kontroll før du summerer — og ikke bland formlene.
- Runde ned $n$ . Dimensjoneringen gir en nedre grense; å runde ned bryter garantien. Opp, alltid.
- «Simpson er alltid nærmest.» Usant for enkelt- $n$ — se moteksempelet i eksempel 7. Skrankene rangerer garantier, ikke enkeltutfall.

Drilloppgaver

Stigende vanskegrad — verditabell, vektkontroll og full dimensjoneringsmal der det spørres.

📝Oppgave 6

Bruk trapesmetoden med $n=3$ på $\displaystyle\int_0^3\big(x^2+1\big)\,dx$ , og finn den faktiske feilen.

📝Oppgave 7

Kan Simpsons metode brukes med $n=3$ ? Med $n=6$ ? Begrunn, og skriv opp vektene i det gyldige tilfellet.

📝Oppgave 8

Hvor mange delintervaller trenger trapesmetoden for $\displaystyle \displaystyle\int_1^3\frac{dx}{x}$ med garantert feil høyst $0{,}01$ ?

📝Oppgave 9

Samme integral, $\displaystyle \displaystyle\int_1^3\frac{dx}{x}$ : hvor mange delintervaller trenger Simpsons metode for garantert feil høyst $0{,}01$ ?

📝Oppgave 10

For $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ (uten elementær antiderivert): beregn $T_4$ med fire desimaler i verditabellen, og oppgi feilskranken. (Referanseverdi: integralet er $0{,}7468$ på fire desimaler.)

📝Oppgave 11

En medstudent påstår: «Simpsons metode gir alltid minst like god tilnærming som trapesmetoden når begge bruker samme $n$ .» Avgjør påstanden — et rent motargument uten regning godtas ikke.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Bergen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.