7.2 Pytagoreiske tripler: primitiv parametrisering (bør kjenne til)

Primitive pytagoreiske tripler via parametriseringen x=2st, y=s²−t², z=s²+t² med betingelsene s>t, gcd(s,t)=1, ulik paritet — og de klassiske oppgavene «3 deler x eller y» og «finn tripler med gitt katet».

50 min

8 oppgaver

Pytagoreiske triplerprimitiv parametrisering *(bør kjenne til)*

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.1Delelighet, primtall og aritmetikkens fundamentalteorem

Dette er et lavere prioritert kapittel — «bør kjenne til», ikke «må sitte». Pytagoreiske tripler er sjanger K (roterende spesialtema) og forekommer i 3 av 15 sett — 20 %, nemlig 2015h og 2017h pluss eldre årganger. Sjangerbokstavene er bokas forkortelser for oppgavetypene, forklart i kap. 0.1; K er «et roterende spesialtema: kjedebrøk, Pells likning, pytagoreiske tripler eller irrasjonalitet».

Den ærlige eksamensvinkelen: $20$ % er den høyeste frekvensen blant spesialtemaene — høyere enn kjedebrøk ( $\sim 13$ %) og langt høyere enn Pell og irrasjonalitet (som ikke forekommer i kjernekorpuset i det hele tatt). Temaet er periodisk: det kommer omtrent hvert femte sett. (Verifiser mot nyeste tilgjengelige sett — arkivet denne boka bygger på, stopper i 2025.)

Hva det betyr for prioriteringen din:

Situasjon	Råd
Du har god tid	les kapitlet — det er 50 minutter, og det er det høyest frekvente spesialtemaet
Du har 1–2 uker	les det etter Del 1–6, men før kap. 7.1 og kap. 7.3
Du har 3–5 dager	hopp over — men les parametriseringen med de tre betingelsene, det tar tre minutter

Prioritet: bør kjenne til — men det er det spesialtemaet som er verdt mest per minutt, både fordi frekvensen er høyest og fordi oppgavene er korte.
De to oppgavetypene arkivet bruker:

Type	Hva den ber om	Hvor
Finn tripler	«finn alle primitive tripler der én katet er $\dots$ »	løkke 3
Delelighetspåstand	«vis at $3$ deler produktet av katetene»	løkke 4

Den best belagte enkeltfeilen i sjangeren: ufullstendig parametrisering. Parametriseringen har tre betingelser, og glemmer du en av dem, får du ikke-primitive eller dupliserte tripler. Det er dokumentert i arkivets typiske feil, og det er det ene stedet i dette kapitlet der uttelling faktisk går tapt.

Eksamen er hjelpemiddelkode D: ingen bok, ingen formelsamling, ingen tabeller, ingen egne notater — bare en bestemt, enkel kalkulator. Den kan kvadrere og gange, men parametriseringen må komme fra hodet, og betingelsene med den.

Må sitte utenat — og dette er kapitlets kjerne:

$x=2st,\qquad y=s^2-t^2,\qquad z=s^2+t^2$

med ALLE tre betingelsene:

1. $s>t\ge 1$
2. $\gcd(s,t)=1$
3. $s$ og $t$ har ulik paritet (én odde, én partall)

Må også sitte:

- at $x^2+y^2=z^2$ følger av parametriseringen — én linje å kontrollere
- at $\gcd(x,y,z)=1$ er det som gjør trippelen primitiv, og at alle andre tripler er $k$ ganger en primitiv
- at katetene aldri kan være begge odde — det er paritetsargumentet fra kap. 6.1

Utledes på stedet:

- at $x^2+y^2=z^2$ , ved å kvadrere: $(2st)^2+(s^2-t^2)^2=4s^2t^2+s^4-2s^2t^2+t^4=s^4+2s^2t^2+t^4=(s^2+t^2)^2$ . To linjer, og du kan gjøre det som kontroll hver gang.
- $3\mid xy$ , $4\mid xy$ og $5\mid xyz$ — hver ved en case-analyse på $s$ og $t$ modulo $3$ , $2$ eller $5$ . Ført ut i løkke 4, og hver tar tre–fem minutter.
- prosedyren for «finn tripler med gitt katet» — den følger direkte av parametriseringen: er kateten par, løs $2st=$ tallet; er den odde, faktoriser $(s-t)(s+t)=$ tallet. Ført ut i løkke 3.

Selvtest, to minutter: dekk til boka og skriv ned parametriseringen med alle tre betingelsene. Klarer du i tillegg å si hva som går galt hvis du dropper hver av dem, sitter kapitlets kjerne — for det er nettopp der uttelling tapes.

Forkunnskaper

Fra boka: kap. 1.1 (delelighet, relativt primiske tall, faktorisering) og kap. 6.1 (paritetsargumenter og uttømmende case-analyse — begge brukes tungt i løkke 4). Til slutt i kapitlet brukes arketype 1 fra kap. 6.3 for å sette sammen delelighetsresultater.

Ingen av de fire store teoremene (Del 2), RSA (Del 3), Legendre (Del 4), orden (Del 5) eller kjedebrøk (kap. 7.1) brukes her. Kapitlet står helt for seg selv og kan leses uavhengig av resten av Del 7.

Sist du var her. De to resultatene kapitlet bruker mest, ferdig oppfrisket:

Relativt primiske tall. $\gcd(s,t)=1$ betyr at $s$ og $t$ ikke har noen felles primfaktor. Ved Bézout (kap. 1.2) finnes det da $u,v$ med $su+tv=1$ .

Kvadrattall modulo små tall (kap. 6.1):
$n^2\equiv 0\ \text{eller}\ 1\pmod 3,\qquad n^2\equiv 0\ \text{eller}\ 1\pmod 4,\qquad n^2\equiv 1\pmod 8\ (n\ \text{odde}).$
Den første brukes til å vise $3\mid xy$ , og den andre til å vise at katetene ikke kan være begge odde.

Fra videregående kreves bare Pytagoras' setning og litt faktorisering.

Tidsanslag for kapitlet: ~50 minutter lesetid, fordelt på fire løkker à 11–14 minutter. Regner du med penn underveis, legg til omtrent halvparten.

Trekantene med hele sider

$3$ , $4$ , $5$ : en trekant med disse sidene er rettvinklet, siden
$3^2+4^2=9+16=25=5^2.$

Det samme gjelder $5,12,13$ og $8,15,17$ og $7,24,25$ . Men ikke $4,5,6$ ( $16+25=41\ne 36$ ), og ikke $6,7,9$ .

Spørsmålet er: hvilke tripler av hele tall virker? Og svaret er uventet konkret — det finnes en formel som produserer dem alle:
$x=2st,\qquad y=s^2-t^2,\qquad z=s^2+t^2.$

Prøv $s=2$ , $t=1$ : $x=4$ , $y=3$ , $z=5$ — den klassiske. Prøv $s=3$ , $t=2$ : $x=12$ , $y=5$ , $z=13$ . Prøv $s=4$ , $t=1$ : $x=8$ , $y=15$ , $z=17$ .

Formelen treffer hver gang, og den treffer alle — det er hovedresultatet i løkke 2.

Hverdagsankeret: byggeplassen. Skal du sjekke at et hjørne er rett uten vinkelmåler, måler du $3$ meter langs den ene veggen, $4$ langs den andre, og kontrollerer at diagonalen er $5$ . Håndverkere har brukt trikset i tusenvis av år, og grunnen til at det virker med hele tall er nettopp at $(3,4,5)$ er en pytagoreisk trippel. Det er derfor det er praktisk å kjenne noen av dem utenat — $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$ , $(7,24,25)$ , $(20,21,29)$ .

Men merk hva som IKKE er interessant. $(6,8,10)$ er også en trippel, men den er bare $(3,4,5)$ ganget med $2$ . Slike avledede tripler er uendelig mange og trivielle. Det interessante er de primitive — de der sidene ikke har noen felles faktor — og det er de parametriseringen fanger.

Og her er den ene tingen som gjør sjangeren farlig: parametriseringen har tre betingelser på $s$ og $t$ , og de er ikke pynt. Dropper du én, får du duplikater eller ikke-primitive tripler. Det er kapitlets viktigste enkeltpunkt, og det er tema for løkke 2.

— naturlig pausepunkt —

Løkke 1: Tripler, primitive tripler og paritet

~11 minutter.

Først begrepene, og deretter den ene observasjonen som forklarer hvorfor formelen ser ut som den gjør: de to katetene kan ikke være begge odde.

Pytagoreisk trippel

x,y,z

$x$	$y$	$z$	kontroll
$3$	$4$	$5$	$9+16=25$ ✓
$6$	$8$	$10$	$36+64=100$ ✓
$5$	$12$	$13$	$25+144=169$ ✓
$9$	$12$	$15$	$81+144=225$ ✓
$8$	$15$	$17$	$64+225=289$ ✓
$12$	$16$	$20$	$144+256=400$ ✓
$7$	$24$	$25$	$49+576=625$ ✓
$20$	$21$	$29$	$400+441=841$ ✓

Primitiv trippel

(x,y,z)

📜Katetene kan ikke være begge odde

I en primitiv pytagoreisk trippel er nøyaktig én av katetene odde, og hypotenusen er odde.

Bevis, ved uttømmende case-analyse på pariteten (kap. 6.1).

La $(x,y,z)$ være en primitiv trippel. Siden $\gcd(x,y)=1$ , kan ikke begge katetene være partall (da ville $2$ vært en felles divisor). Det gir to gjenstående tilfeller, og vi behandler begge:

Tilfelle 1: begge katetene er odde. Da er, ved kvadratrestene modulo $4$ (kap. 6.1),
$x^2\equiv 1\pmod 4\qquad\text{og}\qquad y^2\equiv 1\pmod 4,$
så
$z^2=x^2+y^2\equiv 1+1=2\pmod 4.$
Men et kvadrattall har rest $0$ eller $1$ modulo $4$ — aldri $2$ . Motsigelse, så dette tilfellet er umulig.

Tilfelle 2: nøyaktig én katet er odde. Da er $x^2+y^2$ en sum av et partallskvadrat og et oddetallskvadrat, altså odde. Så $z^2$ er odde, og dermed er $z$ odde (kontrapositivt: er $z$ et partall, er $z^2$ et partall — kap. 6.1).

Alle tilfeller er dekket, og bare tilfelle 2 er mulig. Altså er nøyaktig én katet odde, og hypotenusen er odde. $\blacksquare$

Kontroll med tabellen fra forrige kort: $(3,4,5)$ — én odde katet ( $3$ ), hypotenus odde ✓. $(5,12,13)$ ✓. $(8,15,17)$ ✓. $(20,21,29)$ ✓. Og de ikke-primitive $(6,8,10)$ og $(12,16,20)$ har begge kateter par — de er skaleringer og faller utenfor teoremet.

Hvorfor teoremet er viktig for resten av kapitlet: det er grunnen til at parametriseringen har formen $x=2st$ , $y=s^2-t^2$ . Den ene kateten er tvunget til å være par, og formelen bygger det inn: $2st$ er alltid par, mens $s^2-t^2$ er odde nøyaktig når $s$ og $t$ har ulik paritet.

Og legg merke til hvor argumentet lå: i at $2$ ikke er en kvadratrest modulo $4$ . Det er samme grep som feller likningen $x^2+y^2=4k+3$ (kap. 6.4) — kvadratrestene modulo $4$ er et av bevisdelens mest brukte verktøy.

✏️Fra parametre til trippel, og kontrollen

a) Regn ut triplene som parametriseringen

x=2st

y=s^2-t^2

z=s^2+t^2

gir for

(s,t)=(2,1)

(3,2)

(4,1)

(4,3)

(5,2)

.
b) Kontrollér i hvert tilfelle at

x^2+y^2=z^2

, og at trippelen er primitiv.

a) Regn ut, par for par.

$(s,t)=(2,1)$ :
$x=2\cdot 2\cdot 1=4,\qquad y=4-1=3,\qquad z=4+1=5.$
Trippelen er $(4,3,5)$ — altså den klassiske $(3,4,5)$ med katetene i bokas rekkefølge.

$(s,t)=(3,2)$ :
$x=2\cdot 3\cdot 2=12,\qquad y=9-4=5,\qquad z=9+4=13.$
Trippelen er $(12,5,13)$ .

$(s,t)=(4,1)$ :
$x=2\cdot 4\cdot 1=8,\qquad y=16-1=15,\qquad z=16+1=17.$
Trippelen er $(8,15,17)$ .

$(s,t)=(4,3)$ :
$x=2\cdot 4\cdot 3=24,\qquad y=16-9=7,\qquad z=16+9=25.$
Trippelen er $(24,7,25)$ .

$(s,t)=(5,2)$ :
$x=2\cdot 5\cdot 2=20,\qquad y=25-4=21,\qquad z=25+4=29.$
Trippelen er $(20,21,29)$ .

b) Kontrollene.

$(s,t)$	$(x,y,z)$	$x^2+y^2$	$z^2$	$\gcd(x,y)$
$(2,1)$	$(4,3,5)$	$16+9=25$	$25$ ✓	$1$ ✓
$(3,2)$	$(12,5,13)$	$144+25=169$	$169$ ✓	$1$ ✓
$(4,1)$	$(8,15,17)$	$64+225=289$	$289$ ✓	$1$ ✓
$(4,3)$	$(24,7,25)$	$576+49=625$	$625$ ✓	$1$ ✓
$(5,2)$	$(20,21,29)$	$400+441=841$	$841$ ✓	$1$ ✓

Alle fem er pytagoreiske tripler, og alle fem er primitive.
Sjekk at betingelsene er oppfylt i alle fem tilfellene — det forklarer hvorfor de ble primitive:

$(s,t)$	$s>t$ ?	$\gcd(s,t)=1$ ?	ulik paritet?
$(2,1)$	✓	✓	$2$ par, $1$ odde ✓
$(3,2)$	✓	✓	$3$ odde, $2$ par ✓
$(4,1)$	✓	✓	$4$ par, $1$ odde ✓
$(4,3)$	✓	✓	$4$ par, $3$ odde ✓
$(5,2)$	✓	✓	$5$ odde, $2$ par ✓

Den generelle kontrollen, utledet på stedet i to linjer. At

x^2+y^2=z^2

alltid gjelder, ser du ved å kvadrere:

x^2+y^2=(2st)^2+\bigl(s^2-t^2\bigr)^2=4s^2t^2+s^4-2s^2t^2+t^4=s^4+2s^2t^2+t^4,

z^2=\bigl(s^2+t^2\bigr)^2=s^4+2s^2t^2+t^4.

De er like ✓. Denne utregningen er verdt å kunne kaldt — den tar to linjer, og den er både bevis og kontroll.

Om føringen — tre ting:

1. Hver trippel er regnet ut med tallene synlige, ikke bare oppgitt.
2. Kontrollen $x^2+y^2=z^2$ er utført for hver, med begge sider regnet ut.
3. Betingelsene på $(s,t)$ er sjekket. Det er den delen som viser at du vet hvorfor triplene ble primitive — og det er egne poeng i denne sjangeren.
Merk at $(4,3,5)$ og $(24,7,25)$ har den par kateten først, i tråd med parametriseringen. Oppgaveteksten kan godt oppgi dem som $(3,4,5)$ og $(7,24,25)$ — rekkefølgen er en konvensjon, ikke et matematisk innhold.

📝Oppgave 1

Regn ut triplene parametriseringen gir for $(s,t)=(3,1)$ og $(5,4)$ . Kontrollér at $x^2+y^2=z^2$ , og avgjør om triplene er primitive. Forklar hva du finner for $(3,1)$ .

📝Oppgave 2

a) Vis at parametriseringen

x=2st

y=s^2-t^2

z=s^2+t^2

alltid gir

x^2+y^2=z^2

.
b) Vis at hypotenusen i en primitiv trippel alltid er odde.

Løkke 2: Parametriseringen og de tre betingelsene

~14 minutter.

Nå hovedresultatet — og særlig hvorfor hver av de tre betingelsene er nødvendig. Det er det ene punktet i kapitlet der uttelling faktisk tapes.

📜Parametriseringen av primitive pytagoreiske tripler

Alle primitive pytagoreiske tripler med

x

par er gitt ved

x=2st,\qquad y=s^2-t^2,\qquad z=s^2+t^2,

der

s

t

er hele tall som oppfyller alle tre:

1. $s>t\ge 1$
2. $\gcd(s,t)=1$
3. $s$ og $t$ har ulik paritet

Og omvendt: hvert slikt par $(s,t)$ gir en primitiv trippel, og ulike par gir ulike tripler.

Parametriseringen med alle tre betingelsene må sitte utenat. Det er kapitlets kjerne, og det er det som må komme fra hodet under kode D.

At det gir en trippel, ser du ved å kvadrere (oppgave 2a). Vi beviser ikke at parametriseringen fanger alle — det er utenfor pensum. Men merk hvor ideen kommer fra, i tre linjer, for det gjør formelen mindre mystisk:

Fra $x^2+y^2=z^2$ med $y,z$ odde er $x^2=z^2-y^2=(z-y)(z+y)$ . Begge faktorene er par, så skriv $z-y=2b$ og $z+y=2a$ . Da er $x^2=4ab$ , altså $(x/2)^2=ab$ — og siden $\gcd(a,b)=1$ (det følger av primitivitet), må både $a$ og $b$ være kvadrattall, etter aritmetikkens fundamentalteorem (kap. 1.1). Sett $a=s^2$ , $b=t^2$ , og du får $z=s^2+t^2$ , $y=s^2-t^2$ , $x=2st$ . ✓

Nå til det viktige: hvorfor hver betingelse er nødvendig.

Betingelse 1 ( $s>t\ge 1$ ) sikrer at $y=s^2-t^2$ er positiv. Er $s=t$ , blir $y=0$ og det er ingen trekant; er $s<t$ , blir $y$ negativ. Og $t\ge 1$ sikrer at $x=2st>0$ .

Betingelse 2 ( $\gcd(s,t)=1$ ) sikrer primitivitet. Har $s$ og $t$ en felles divisor $d>1$ , deler $d^2$ alle tre av $x$ , $y$ , $z$ :
$(s,t)=(4,2)\ \Rightarrow\ (x,y,z)=(16,12,20)=4\cdot(4,3,5),$
altså en skalering. Trippelen er ekte, men ikke primitiv.

Betingelse 3 (ulik paritet) sikrer også primitivitet, men på en annen måte. Er både $s$ og $t$ odde, er
$y=s^2-t^2\ \text{par}\quad\text{og}\quad z=s^2+t^2\ \text{par},$
og $x=2st$ er par — så alle tre er par, og $2$ er en felles divisor:
$(s,t)=(3,1)\ \Rightarrow\ (x,y,z)=(6,8,10)=2\cdot(3,4,5).$
(Både $s$ og $t$ par er alt utelukket av betingelse 2, siden de da har $2$ som felles divisor.)

Til sammen: betingelse 1 gir en ekte trekant, og betingelse 2 og 3 gir primitivitet — hver av dem stenger sin egen vei til en ikke-primitiv trippel.

Og entydigheten: med alle tre betingelsene på plass gir ulike par $(s,t)$ ulike tripler. Det betyr at «finn alle primitive tripler med …» blir en oppgave om å finne alle par $(s,t)$ som passer — og det er en endelig, håndterlig jobb (løkke 3).

De tre betingelsene — og hva som går galt uten dem

s>t\ge 1,\qquad \gcd(s,t)=1,\qquad s\ \text{og}\ t\ \text{av ulik paritet}

Betingelse brutt	Eksempel	Resultat
$s>t$ (her $s=t$ )	$(2,2)$	$y=0$ — ingen trekant
$s>t$ (her $s<t$ )	$(1,2)$	$y=-3$ — negativ katet
$\gcd(s,t)=1$	$(4,2)$	$(16,12,20)=4\cdot(4,3,5)$ — ikke primitiv
ulik paritet	$(3,1)$	$(6,8,10)=2\cdot(3,4,5)$ — ikke primitiv
ulik paritet	$(5,3)$	$(30,16,34)=2\cdot(15,8,17)$ — ikke primitiv

Avledede tripler og skalering

(x,y,z)

Oppgaveteksten sier	Du skal levere
«alle primitive tripler med …»	bare de primitive, ingen skaleringer
«alle tripler med …»	de primitive og skaleringene som passer
«en trippel med …»	én, gjerne den enkleste

✏️Hvorfor hver betingelse er nødvendig

For hvert av parene $(s,t)=(2,2)$ , $(4,2)$ , $(5,3)$ og $(1,3)$ : regn ut hva parametriseringen gir, avgjør om resultatet er en primitiv trippel, og si hvilken betingelse som er brutt.

$(s,t)=(2,2)$ :

x=2\cdot 2\cdot 2=8,\qquad y=4-4=0,\qquad z=4+4=8.

Resultatet er $(8,0,8)$ . Er det en trippel? Formelt gjelder $8^2+0^2=64=8^2$ ✓, men $y=0$ betyr at det ikke er en trekant — kravet i definisjonen er at alle tre er positive.

Brutt betingelse: $s>t$ . Her er $s=t=2$ , og $s>t$ feiler. Det er nøyaktig den betingelsen som sikrer $y=s^2-t^2>0$ .

$(s,t)=(4,2)$ :
$x=2\cdot 4\cdot 2=16,\qquad y=16-4=12,\qquad z=16+4=20.$

Resultatet er $(16,12,20)$ . Er det en trippel? $256+144=400=20^2$ ✓ — ja.

Er den primitiv? $\gcd(16,12)=4\ne 1$ , så nei:
$(16,12,20)=4\cdot(4,3,5).$

Brutt betingelse: $\gcd(s,t)=1$ . Her er $\gcd(4,2)=2$ , og faktoren i trippelen ble $d^2=2^2=4$ — som er mønsteret: brutt primiskhet gir faktoren $\gcd(s,t)^2$ .

(Merk at paritetsbetingelsen også er brutt her — begge er par — men det er en konsekvens av at $\gcd=2$ : to partall har alltid $2$ som felles divisor. Betingelse 2 dekker altså «begge par» automatisk, og betingelse 3 handler i praksis om «begge odde».)

$(s,t)=(5,3)$ :
$x=2\cdot 5\cdot 3=30,\qquad y=25-9=16,\qquad z=25+9=34.$

Resultatet er $(30,16,34)$ . Er det en trippel? $900+256=1156$ , og $34^2=1156$ ✓ — ja.

Er den primitiv? $\gcd(30,16)=2\ne 1$ , så nei:
$(30,16,34)=2\cdot(15,8,17).$

Brutt betingelse: ulik paritet. Både $5$ og $3$ er odde. Merk at $\gcd(5,3)=1$ ✓ og $5>3$ ✓ — de to andre betingelsene er oppfylt, og likevel er trippelen ikke primitiv. Det er hele grunnen til at den tredje betingelsen må stå.

Regningen bak faktoren $2$ : er begge odde, er $s^2$ og $t^2$ begge $\equiv 1\pmod 8$ (kap. 6.1), så
$y=s^2-t^2\equiv 0\pmod 8\quad\text{og}\quad z=s^2+t^2\equiv 2\pmod 8.$
Begge er altså par, og $x=2st$ er par — så $2$ deler alle tre.

$(s,t)=(1,3)$ :
$x=2\cdot 1\cdot 3=6,\qquad y=1-9=-8,\qquad z=1+9=10.$

Resultatet er $(6,-8,10)$ — med negativ katet. Det er ikke en pytagoreisk trippel etter definisjonen (alle tre skal være positive), selv om $36+64=100$ ✓.

Brutt betingelse: $s>t$ . Her er $s=1<3=t$ .

(Bytter du om på $s$ og $t$ , får du $(s,t)=(3,1)$ — som er tilfellet fra oppgave 1, der paritetsbetingelsen feiler. Så $\{1,3\}$ gir ingen primitiv trippel uansett hvilken rekkefølge du velger.)

Oppsummering:

$(s,t)$	resultat	primitiv?	brutt betingelse
$(2,2)$	$(8,0,8)$	nei — ingen trekant	$s>t$
$(4,2)$	$(16,12,20)$	nei — faktor $4$	$\gcd(s,t)=1$
$(5,3)$	$(30,16,34)$	nei — faktor $2$	ulik paritet
$(1,3)$	$(6,-8,10)$	nei — negativ katet	$s>t$

Om føringen — det som gir uttelling i denne typen oppgave:
1. Regningen er utført for hvert par, med tallene synlige.
2. Primitiviteten er avgjort med $\gcd$ , ikke med magefølelse.
3. Den brutte betingelsen er navngitt, og for

(5,3)

er det sagt at de to andre er oppfylt — det er den observasjonen som viser at alle tre betingelsene er uavhengige og nødvendige.
Merk hvorfor $(5,3)$ er det viktigste av de fire eksemplene: der er $s>t$ og $\gcd(s,t)=1$ oppfylt, og bare pariteten svikter. Det er den betingelsen som glemmes oftest, nettopp fordi den ser mest teknisk ut — og det er dokumentert i arkivets typiske feil.

📝Oppgave 3

For hvert par $(s,t)=(6,3)$ , $(7,5)$ og $(6,1)$ : regn ut trippelen, avgjør om den er primitiv, og si hvilke betingelser som er oppfylt og hvilke som er brutt.

Løkke 3: Finn alle tripler med en gitt katet

~13 minutter.

Den ene av de to oppgavetypene arkivet bruker. Prosedyren er kort, men den deler seg i to etter om den gitte kateten er par eller odde.

— naturlig pausepunkt —

Å finne tripler med gitt katet — prosedyren

(s,t)

Hvor mange tripler har en gitt katet

y

$y$	$\tau(y)$	kandidater	overlever	tripler
$21=3\cdot 7$	$4$	$2$	$2$	$(20,21,29)$ , $(220,21,221)$
$35=5\cdot 7$	$4$	$2$	$2$	$(12,35,37)$ , $(612,35,613)$
$45=3^2\cdot 5$	$6$	$3$	$2$	$(28,45,53)$ , $(1012,45,1013)$

✏️Eksamensnivå: alle primitive tripler med kateten 45

Finn alle primitive pytagoreiske tripler der én av katetene er $45$ .

Steg 1: hvilket tilfelle?

45

er odde, så den svarer til

y=s^2-t^2

(tilfelle B). (Den kan ikke være $x=2st$ , som alltid er par.)

Steg 2: faktoriser differansen.
$45=s^2-t^2=(s-t)(s+t).$

Vi trenger alle faktoriseringer $45=u\cdot v$ med $u<v$ — og siden $45$ er odde, er begge faktorene odde, så $\displaystyle s=\frac{u+v}2$ og $\displaystyle t=\frac{v-u}2$ blir automatisk hele tall.

Faktoriseringene av $45=3^2\cdot 5$ :
$45=1\cdot 45=3\cdot 15=5\cdot 9.$

Steg 3: løs for $s$ og $t$ i hvert tilfelle.

Faktorisering $u=1$ , $v=45$ :
$s=\frac{1+45}2=23,\qquad t=\frac{45-1}2=22.$

Faktorisering $u=3$ , $v=15$ :
$s=\frac{3+15}2=9,\qquad t=\frac{15-3}2=6.$

Faktorisering $u=5$ , $v=9$ :
$s=\frac{5+9}2=7,\qquad t=\frac{9-5}2=2.$

Steg 4: sil på de tre betingelsene.

$(s,t)$	$s>t\ge 1$	$\gcd(s,t)=1$	ulik paritet	godkjent?
$(23,22)$	✓	$\gcd(23,22)=1$ ✓	$23$ odde, $22$ par ✓	ja
$(9,6)$	✓	$\gcd(9,6)=3$ ✗	$9$ odde, $6$ par ✓	nei
$(7,2)$	✓	$\gcd(7,2)=1$ ✓	$7$ odde, $2$ par ✓	ja

To par overlever:

(23,22)

(7,2)

.
Steg 5: regn ut triplene.
$(s,t)=(23,22)$ :

x=2\cdot 23\cdot 22=1012,\qquad y=529-484=45,\qquad z=529+484=1013.

Trippelen er $(1012,45,1013)$ .

$(s,t)=(7,2)$ :

$x=2\cdot 7\cdot 2=28,\qquad y=49-4=45,\qquad z=49+4=53.$
Trippelen er $(28,45,53)$ .
Steg 6: kontroller.

Trippel 1: $1012^2+45^2=1\,024\,144+2025=1\,026\,169$ , og $1013^2=1\,026\,169$ ✓.
(Regn $1013^2=1013\cdot 1000+1013\cdot 13=1\,013\,000+13\,169=1\,026\,169$ ✓.)
$\gcd(1012,45)=1$ ✓ (siden $45=3^2\cdot 5$ og $1012=4\cdot 11\cdot 23$ ikke deler noen av dem).

Trippel 2: $28^2+45^2=784+2025=2809$ , og $53^2=2809$ ✓. $\gcd(28,45)=1$ ✓ (siden $28=2^2\cdot 7$ og $45=3^2\cdot 5$ ).

Sluttsvar: det finnes nøyaktig to primitive pytagoreiske tripler med kateten $45$ :
$(28,\ 45,\ 53)\qquad\text{og}\qquad (1012,\ 45,\ 1013).$
Om føringen — de fem tingene som gir uttelling:

1. Tilfellet er identifisert med begrunnelse: « $45$ er odde, så den svarer til $y=s^2-t^2$ ».

2. ALLE faktoriseringer er listet ( $1\cdot 45$ , $3\cdot 15$ , $5\cdot 9$ ). Å glemme én er å miste en trippel — og det er hva «alle» i oppgaveteksten krever.
3. Alle tre betingelsene er sjekket for hvert par, i tabellform. Det er her $(9,6)$ faller ut, og å ikke sile er den best belagte feilen i sjangeren.

4. Triplene er regnet ut med tallene synlige.

5. Kontrollene er utført: $x^2+y^2=z^2$ og $\gcd(x,y)=1$ for begge.
Merk hvorfor svaret ble «nøyaktig to»: $45$ har seks divisorer, som gir tre faktoriseringer med $u<v$ , og én av dem ble silt bort. Antall tripler henger altså sammen med antall divisorer i tallet — og for et odde tall $y$ med $\tau(y)$ divisorer er det $\tau(y)/2$ faktoriseringer å prøve (kap. 5.3).
Og merk størrelsesforskjellen: den ene trippelen har hypotenus $53$ , den andre $1013$ . Faktoriseringen $1\cdot y$ gir alltid den største trippelen, siden $s$ og $t$ da ligger nærmest hverandre i forhold — det er verdt å vite når du skal sjekke om du har regnet riktig.

📝Oppgave 4

Finn alle primitive pytagoreiske tripler der én av katetene er $21$ .

📝Oppgave 5

a) Finn alle primitive pytagoreiske tripler der én av katetene er

60

.
b) Vis at det ikke finnes noen primitiv trippel med kateten

14

Løkke 4: Delelighetspåstandene

~13 minutter.

Den andre av de to oppgavetypene: «vis at $3$ deler produktet av katetene». Alle slike påstander bevises på samme måte — case-analyse på parametrene $s$ og $t$ .

— naturlig pausepunkt —

Delelighetsresultatene for primitive tripler

(x,y,z)

trippel	$xy$	$3\mid xy$	$4\mid xy$	$xyz$	$5\mid xyz$
$(4,3,5)$	$12$	✓	✓	$60$	✓
$(12,5,13)$	$60$	✓	✓	$780$	✓
$(8,15,17)$	$120$	✓	✓	$2040$	✓
$(24,7,25)$	$168$	✓	✓	$4200$	✓
$(20,21,29)$	$420$	✓	✓	$12\,180$	✓

📜Tre deler produktet av katetene

For hver primitiv pytagoreisk trippel

(x,y,z)

gjelder

3\mid xy.

Bevis ved uttømmende case-analyse på $s$ og $t$ modulo $3$ (kap. 6.1).

Skriv $x=2st$ og $y=s^2-t^2$ . Ved divisjonsalgoritmen er $s\equiv 0$ , $1$ eller $2\pmod 3$ , og likeså $t$ . Det gir ni kombinasjoner — men vi kan gruppere dem i tre tilfeller:

Tilfelle 1: $3\mid s$ . Da er $3\mid 2st=x$ , altså $3\mid xy$ . ✓

Tilfelle 2: $3\mid t$ . Da er $3\mid 2st=x$ , altså $3\mid xy$ . ✓

Tilfelle 3: $3\nmid s$ og $3\nmid t$ . Da er, ved kvadratrestene modulo $3$ (kap. 6.1),
$s^2\equiv 1\pmod 3\qquad\text{og}\qquad t^2\equiv 1\pmod 3$
(fordi $1^2=1$ og $2^2=4\equiv 1$ ). Altså
$y=s^2-t^2\equiv 1-1=0\pmod 3,$
så $3\mid y$ , og dermed $3\mid xy$ . ✓

Alle tre tilfellene er dekket, og de dekker alle muligheter (enten deler $3$ minst én av $s,t$ , eller ingen av dem). Altså er $3\mid xy$ for hver primitiv trippel. $\blacksquare$

Kontroll med tabellen: $(4,3,5)$ har $3\mid 3$ ✓ (tilfelle 3, $s=2$ , $t=1$ ). $(12,5,13)$ har $3\mid 12$ ✓ (tilfelle 2, $s=3$ , $t=2$ — altså $3\mid s$ ). $(8,15,17)$ har $3\mid 15$ ✓ ( $s=4$ , $t=1$ , tilfelle 3). $(20,21,29)$ har $3\mid 21$ ✓ ( $s=5$ , $t=2$ , tilfelle 3).

Merk hvor beviset lå: i at $1$ er den eneste ikke-null kvadratresten modulo $3$ . Derfor blir differansen av to slike kvadrater alltid $\equiv 0$ . Det samme grepet gir $5\mid xyz$ — men der er kvadratrestene $\{1,4\}$ , så case-analysen får ett tilfelle mer (oppgave 7).

Og merk at beviset ikke brukte noen av de tre betingelsene. Påstanden $3\mid xy$ gjelder faktisk for alle tripler fra parametriseringen, primitive eller ikke — og siden hver trippel er en skalering av en primitiv, gjelder den for alle pytagoreiske tripler.

✏️Fire deler produktet av katetene — og hvor faktoren sitter

a) Vis at

4\mid x

for hver primitiv pytagoreisk trippel med

x

par.
b) Bruk a) og teoremet om

3\mid xy

til å vise at

12\mid xy

.
c) Vis at arealet av trekanten er et helt tall delelig med

6

Del a)

Skriv $x=2st$ med betingelsene $s>t\ge 1$ , $\gcd(s,t)=1$ og ulik paritet.

Case-analyse på pariteten — og her er det bare to tilfeller, siden ulik paritet er antatt:

Tilfelle 1: $s$ er par, $t$ er odde. Skriv $s=2j$ . Da er
$x=2st=2\cdot 2j\cdot t=4jt,$
altså $4\mid x$ . ✓

Tilfelle 2: $s$ er odde, $t$ er par. Skriv $t=2j$ . Da er
$x=2st=2\cdot s\cdot 2j=4sj,$
altså $4\mid x$ . ✓

Begge tilfeller er dekket (og de dekker alt, siden $s$ og $t$ har ulik paritet — så nøyaktig én av dem er par). Altså
$4\mid x.\qquad\blacksquare$

Kontroll: $(4,3,5)$ har $x=4$ ✓. $(12,5,13)$ : $12=4\cdot 3$ ✓. $(8,15,17)$ : $8$ ✓. $(24,7,25)$ : $24=4\cdot 6$ ✓. $(20,21,29)$ : $20=4\cdot 5$ ✓.

Merk hvor betingelsen brukes. Uten paritetsbetingelsen kunne begge være odde, og da ville $x=2st$ bare vært delelig med $2$ — som i $(6,8,10)$ fra $(s,t)=(3,1)$ , der $4\nmid 6$ . Betingelsen er hele grunnen til at $4$ deler den par kateten.

Del b)

Vi har $4\mid x$ (del a), altså $4\mid xy$ . Og etter teoremet i løkke 4 er $3\mid xy$ .

Nå trenger vi arketype 1 (kap. 6.3): er $\gcd(m,n)=1$ , $m\mid k$ og $n\mid k$ , så er $mn\mid k$ .

Her er $m=4$ , $n=3$ , $k=xy$ , og
$\gcd(4,3)=1$
siden $4=2^2$ og $3$ er ulike primtallspotenser. $\gcd$ -linjen er nødvendig — uten den er arketypen ikke anvendelig.

Altså
$4\cdot 3=12\mid xy.\qquad\blacksquare$

Kontroll: $(4,3,5)$ : $xy=12$ , og $12\mid 12$ ✓. $(12,5,13)$ : $xy=60=12\cdot 5$ ✓. $(8,15,17)$ : $xy=120=12\cdot 10$ ✓. $(24,7,25)$ : $xy=168=12\cdot 14$ ✓. $(20,21,29)$ : $xy=420=12\cdot 35$ ✓.

Del c)

Arealet av en rettvinklet trekant med katetene $x$ og $y$ er
$A=\frac{xy}2.$

At $A$ er et helt tall: fra del a) er $4\mid x$ , spesielt $2\mid x$ , så $xy$ er et partall og $\tfrac{xy}2$ er et helt tall. ✓

At $6\mid A$ : fra del b) er $12\mid xy$ , altså $xy=12m$ for et helt tall $m$ . Da er
$A=\frac{xy}2=\frac{12m}2=6m,$
så $6\mid A$ . $\blacksquare$

Kontroll:

trippel	$A=xy/2$	$A/6$
$(4,3,5)$	$6$	$1$ ✓
$(12,5,13)$	$30$	$5$ ✓
$(8,15,17)$	$60$	$10$ ✓
$(24,7,25)$	$84$	$14$ ✓
$(20,21,29)$	$210$	$35$ ✓

Sluttsvar: a)

4\mid x

, ved case-analyse på pariteten med ulik-paritet-betingelsen brukt; b)

12\mid xy

, via arketype 1 med

\gcd(4,3)=1

; c) arealet er

\tfrac{xy}2

, et helt tall delelig med

6

.
Om føringen — de fire tingene som gir uttelling:
1. Case-analysen i a) er uttømmende, og det er sagt hvorfor to tilfeller er nok («siden

s

t

har ulik paritet»).
2. Betingelsen er brukt eksplisitt, og det er nevnt hva som går galt uten den.
3. $\gcd(4,3)=1$ -linjen står i b). Uten den er sammensettingen ubegrunnet.
4. Kontrollene er ført på flere tripler, ikke bare én.

Merk hvor lite arbeid hele oppgaven var: to case-analyser med to og tre tilfeller, pluss én anvendelse av arketype 1. Det er derfor delelighetspåstandene om tripler er blant de billigste delpunktene i faget — og det er hovedargumentet for å lese dette kapitlet hvis du har tiden.

Og merk sammenhengen bakover: hele løkke 4 er kap. 6.1 og kap. 6.3 anvendt på en ny situasjon. Kan du bevisdelen, kan du denne løkka nesten uten å lese den.

📝Oppgave 6

Vis at hypotenusen $z$ i en primitiv pytagoreisk trippel oppfyller $z\equiv 1\pmod 4$ .

📝Oppgave 7

Vis at $5\mid xyz$ for hver primitiv pytagoreisk trippel.

Hint: case-analyse på $s$ og $t$ modulo $5$ , med kvadratrestene $\{0,1,4\}$ .

📝Oppgave 8

a) Vis at det ikke finnes noen primitiv pytagoreisk trippel der begge katetene er odde.
b) Bruk parametriseringen til å vise at det ikke finnes noen primitiv trippel med hypotenus

z=15

Typiske feil

De fire feilene under er dokumentert i arkivets løsningsforslag som noe fasitene fører imot i denne sjangeren.

- Ufullstendig parametrisering. Den best belagte enkeltfeilen: å bruke $x=2st$ , $y=s^2-t^2$ , $z=s^2+t^2$ uten alle tre betingelsene. Konsekvensen er ikke-primitive tripler (brutt $\gcd$ eller paritet) eller dupliserte oppføringer i lista. Kontrollen: skriv setningen «med $s>t\ge 1$ , $\gcd(s,t)=1$ og ulik paritet» hver gang du bruker parametriseringen, og sil kandidatene i en tabell.

- Å blande primitiv og avledet trippel. «Finn alle primitive tripler med kateten $6$ » har svaret ingen; «finn alle tripler med kateten $6$ » har svaret $(6,8,10)$ . To ulike spørsmål, to ulike svar. Les hva som spørres, og skriv hvilket du besvarer.

- Å glemme en faktorisering. I «finn alle tripler med gitt katet» må alle faktoriseringer listes. For $45$ er det tre ( $1\cdot 45$ , $3\cdot 15$ , $5\cdot 9$ ); glemmer du én, mister du en trippel — og oppgaven ba om «alle». Kontrollen: list divisorene av tallet systematisk før du starter.

- Ufullstendig case-analyse i delelighetspåstandene. I $5\mid xyz$ er det tre hovedtilfeller med fire underkombinasjoner — til sammen syv rader. Tell radene, og skriv dem alle. En glemt rad er den best belagte feilen i hele bevisdelen (kap. 6.1).

Og tre feil som er lette å unngå når du kjenner dem:

- Å forveksle $xy$ og $xyz$ . $3\mid xy$ og $4\mid xy$ gjelder for katetene; $5\mid xyz$ gjelder for alle tre sidene. I $(4,3,5)$ er $xy=12$ ikke delelig med $5$ — femmeren sitter i hypotenusen.
- Å glemme $\gcd$ -linjen ved sammensetting. $12\mid xy$ følger av $3\mid xy$ og $4\mid xy$ fordi $\gcd(3,4)=1$ — arketype 1 (kap. 6.3) krever den linjen.
- Å antas at $x$ er den odde kateten. Boka og parametriseringen har $x=2st$ par og $y$ odde. Oppgaveteksten kan bruke motsatt konvensjon — les nøye, og si hvilken du bruker.

Begrepsbank

Dette er flashcard-stoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget på 50 minutter gjelder kjernestoffet over.

Under kode D er banken eksamensverktøyet, ikke pynt — og dette kapitlet har én ting som absolutt må sitte: parametriseringen med de tre betingelsene. Resten er case-analyser du kan lage på stedet.

Puggerådet: skriv parametriseringen med betingelsene ned tre ganger fra hukommelsen, og prøv deretter å si hva som går galt hvis du dropper hver av dem. Det er hele kapitlets kjerne på fem minutter.

Kort: parametriseringen med tre betingelser

x=2st,\qquad y=s^2-t^2,\qquad z=s^2+t^2

Betingelse	Sikrer	Brytes den, får du
$s>t\ge 1$	$y>0$ , ekte trekant	$y=0$ eller $y<0$
$\gcd(s,t)=1$	primitivitet	faktoren $\gcd(s,t)^2$
ulik paritet	primitivitet	faktoren $2$

Kort: primitiv eller avledet

\gcd(x,y,z)=1

Teksten sier	Du leverer
«alle primitive …»	bare primitive, ingen skaleringer
«alle tripler …»	primitive og skaleringer
«en trippel …»	én, gjerne den enkleste

Kort: finn tripler med gitt katet

x=2st

Kort: delelighetsresultatene

3\mid xy,\qquad 4\mid x,\qquad 5\mid xyz,\qquad z\equiv 1\pmod 4

Påstand	Case-analyse på	Antall rader
$3\mid xy$	$s,t$ modulo $3$	3
$4\mid x$	pariteten til $s,t$	2
$5\mid xyz$	$s,t$ modulo $5$	3 hovedtilfeller + 4 under
$z\equiv 1\pmod 4$	pariteten til $s,t$	2

Kort: paritetsstrukturen i en primitiv trippel

\gcd(x,y)=1

Kort: hvorfor parametriseringen fanger alle

x^2+y^2=z^2

Kort: kontrollene for tripler

x^2+y^2=z^2

Kort: tidsbudsjettet og prioriteringen

N

Oppgavetype	Tid
«Finn alle primitive tripler med kateten $N$ »	~8–10 min
«Vis at $3$ deler produktet av katetene»	~6–8 min
«Vis at det ikke finnes primitiv trippel med …»	~5–7 min
Todelt oppgave (finn tripler + delelighetspåstand)	~15–18 min

Kort: selvdiagnose for pytagoreiske tripler

x^2+y^2=z^2

Repetisjonsoppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

7.2 Pytagoreiske tripler: primitiv parametrisering *(bør kjenne til)*

Forkunnskaper

Trekantene med hele sider

Løkke 1: Tripler, primitive tripler og paritet

Løkke 2: Parametriseringen og de tre betingelsene

Løkke 3: Finn alle tripler med en gitt katet

Løkke 4: Delelighetspåstandene

Del a)

Del b)

Del c)

Begrepsbank

7.2 Pytagoreiske tripler: primitiv parametrisering (bør kjenne til)