7.1 Kjedebrøk, konvergenter og Pells likning (bør kjenne til)

Utvikling av √D som periodisk kjedebrøk, beregning av konvergenter pₙ/qₙ med rekursjonsskjemaet, og Pells likning x²−Dy²=1 løst via konvergentene — fast tema 2007–2009, gjenoppsto 2016.

60 min

8 oppgaver

KjedebrøkkonvergenterPells likning *(bør kjenne til)*

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Euklids algoritme frem og baklengs (Bézout)

Dette er et lavere prioritert kapittel — «bør kjenne til», ikke «må sitte». Kjedebrøk er sjanger K (roterende spesialtema) og forekommer i 2 av 15 sett — ~13 %, nemlig i 2016-settet pluss eldre årganger. Pells likning finnes ikke i kjernekorpuset i det hele tatt (

0

15

); den var fast i 2007–2009-æraen, og forsvant. Sjangerbokstavene er bokas forkortelser for oppgavetypene, forklart i kap. 0.1; K er «et roterende spesialtema: kjedebrøk, Pells likning, pytagoreiske tripler eller irrasjonalitet».

Den ærlige eksamensvinkelen, i tre setninger. Kjedebrøk og Pell var faste temaer 2007–2009, forsvant nesten helt, og kjedebrøk gjenoppsto som ett innslag i 2016. Emnebeskrivelsen holder spesialtemaene åpne, og mønsteret kan gjenta seg — men på et gjennomsnittssett er sannsynligheten for en kjedebrøkoppgave rundt én av åtte. (Verifiser mot nyeste tilgjengelige sett — arkivet denne boka bygger på, stopper i 2025.)

Hva det betyr for prioriteringen din:

Situasjon	Råd
Du har god tid før eksamen	les kapitlet — det er 60 minutter, og det gir beredskap
Du har 1–2 uker	les Del 1–6 først, og ta dette som repetisjonsstoff til slutt
Du har 3–5 dager	hopp over dette kapitlet. De fem søylene og bevisdelen er langt mer verdt

Prioritet: bør kjenne til. Det er lavere enn alt annet i boka, og boka sier det tydelig i stedet for å pynte på det.
Men merk to grunner til at kapitlet likevel er verdt tid hvis du har den: (1) kjedebrøkalgoritmen er Euklids algoritme i forkledning — du kan den nesten allerede fra kap. 1.2, og koblingen er skrevet ut i løkke 1; (2) dukker temaet opp, er det som regel ett delpunkt du kan sikre helt med en tabell, mens de tyngre delpunktene i settet krever mer.

Eksamen er hjelpemiddelkode D: ingen bok, ingen formelsamling, ingen tabeller, ingen egne notater — bare en bestemt, enkel kalkulator. Den kan gange og dele med rest, og det er faktisk alt kjedebrøkregning trenger — men den kan ikke sette opp tabellen for deg, og rekursjonen må komme fra hodet.

Må sitte utenat:

- rekursjonsskjemaet for konvergentene:
$p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2},\qquad q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}$
med startverdiene $p_{-1}=1$ , $p_{-2}=0$ , $q_{-1}=0$ , $q_{-2}=1$
- at Pell-løsningen leses av som en konvergent $p_n/q_n$ med $p_n^2-Dq_n^2=1$
- kontrollen $p_n^2-Dq_n^2$ , som du regner i hver rad
- at neste Pell-løsning fås ved å kvadrere: $(x_1+y_1\sqrt D)^2$

Utledes på stedet:

- kjedebrøkalgoritmen for $\sqrt D$ — den er Euklids algoritme anvendt på irrasjonale tall, og du kan lage den fra $a_0=\lfloor\sqrt D\rfloor$ og gjentatt «trekk ut heltallsdelen, inverter resten». Utledningen står skrevet ut i løkke 2, og den tar to minutter når du har sett den én gang.
- kjedebrøken til et rasjonalt tall — den er kvotientene i Euklids algoritme, i rekkefølge. Utledningen står i løkke 1.
- formelen $x_2=x_1^2+Dy_1^2$ , $y_2=2x_1y_1$ for neste Pell-løsning — gang ut $(x_1+y_1\sqrt D)^2$ ; to linjer.

Selvtest, to minutter: dekk til boka og skriv ned rekursjonsskjemaet med startverdiene. Klarer du i tillegg å sette opp de tre første radene i tabellen for $\sqrt 6=[2;\overline{2,4}]$ , sitter kjernen — resten er regning.

Forkunnskaper

Fra boka: kap. 1.2 er den ene som virkelig kreves — Euklids algoritme, divisjonskjeden og hvorfor den stopper. Kjedebrøk er den samme algoritmen, lest på en annen måte, og koblingen er kapitlets røde tråd.

Du får også bruk for kap. 1.1 (divisjonsalgoritmen og heltallsdel) og litt kvadratrotregning fra videregående. Ingen av de fire store teoremene (Del 2), RSA (Del 3), Legendre (Del 4) eller orden (Del 5) brukes her — dette kapitlet står helt for seg selv, og det kan leses uten resten av boka fra Del 2 og utover.

Sist du var her. Det ene resultatet fra kap. 1.2 som kapitlet bygger på, ferdig oppfrisket:

Euklids algoritme (frem). For $a>b>0$ produserer gjentatt divisjon med rest en divisjonskjede
$a=q_1b+r_1,\quad b=q_2r_1+r_2,\quad r_1=q_3r_2+r_3,\quad\dots,\quad r_{k-1}=q_{k+1}r_k+0,$
der restene er strengt avtakende, og den siste ikke-null resten er $\gcd(a,b)$ . Kvotientene $q_1,q_2,q_3,\dots$ er det vi skal bruke — de er nøyaktig leddene i kjedebrøkutviklingen av $a/b$ .

Fra videregående kreves ingenting spesielt.

Tidsanslag for kapitlet: ~60 minutter lesetid, fordelt på fire løkker à 13–17 minutter. Regner du med penn underveis — og det bør du, for dette er et tabellkapittel — legg til omtrent halvparten.

Å nærme seg et tall med brøker

Hvor godt kan du treffe $\sqrt{23}\approx 4{,}7958$ med en brøk som har liten nevner?

Med nevner $1$ er det beste $5$ (avvik $0{,}20$ ). Med nevner opp til $5$ er det beste $\tfrac{24}5=4{,}8$ — og avviket er bare $0{,}0042$ . Med nevner opp til $44$ er det beste $\tfrac{211}{44}$ , med avvik $0{,}00038$ .

De tre brøkene $5$ , $\tfrac{24}5$ og $\tfrac{211}{44}$ er ikke tilfeldige. De er konvergentene til kjedebrøkutviklingen av $\sqrt{23}$ , og de dukker opp av en algoritme som er nesten identisk med Euklids.

Hverdagsankeret: kalenderen. Et år er ikke $365$ dager, men omtrent $365{,}2422$ . Hvordan lager man en kalender av det? Man leter etter en god brøktilnærming til $0{,}2422$ :
$\tfrac 14=0{,}25\quad\text{(den julianske kalenderen: skuddår hvert fjerde år)},$
$\tfrac 7{29}\approx 0{,}2414,\qquad \tfrac 8{33}\approx 0{,}2424.$
Den gregorianske kalenderen bruker i praksis $\tfrac{97}{400}=0{,}2425$ . Alle disse er brøktilnærminger med små nevnere — og det er nøyaktig problemet kjedebrøker løser optimalt.

Og her er den andre bruken, som er den arkivet spør om. Ser du på konvergentene til $\sqrt{23}$ og regner ut $p^2-23q^2$ for hver, får du
$-7,\quad 2,\quad -7,\quad \mathbf{1},\quad -7,\quad 2,\dots$
Den fjerde konvergenten, $\tfrac{24}5$ , gir nøyaktig $1$ :
$24^2-23\cdot 5^2=576-575=1.$
Altså er $(x,y)=(24,5)$ en løsning av
$x^2-23y^2=1,$
som kalles Pells likning. Konvergentene er ikke bare gode tilnærminger — de er løsningsmaskinen for den likningen.

Det er kapitlets to spørsmål: hvordan finner du kjedebrøken og konvergentene (løkke 1–3), og hvordan leser du Pell-løsningen ut av dem (løkke 4).

— naturlig pausepunkt —

Løkke 1: Kjedebrøk fra Euklids algoritme

~15 minutter.

Vi begynner med det rasjonale tilfellet, fordi det er her koblingen til noe du alt kan, ligger. Kjedebrøken til $a/b$ er ingenting annet enn kvotientene i Euklids algoritme, skrevet i rekkefølge — og det skal vi vise, ikke bare påstå.

Kjedebrøk

a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{\ddots+\cfrac{1}{a_n}}}},

Kjedebrøk av et rasjonalt tall — prosedyren

a/b

📜Kjedebrøkleddene er Euklids kvotienter

a>b>0

være hele tall, og la

a=q_1b+r_1,\quad b=q_2r_1+r_2,\quad r_1=q_3r_2+r_3,\quad\dots,\quad r_{k-1}=q_{k+1}r_k+0

være divisjonskjeden fra Euklids algoritme (kap. 1.2). Da er

\frac ab=[q_1;q_2,q_3,\dots,q_{k+1}].

Bevis — og det er kort nok å gjøre på eksamen.

Del den første linjen i divisjonskjeden på $b$ :
$\frac ab=q_1+\frac{r_1}{b}=q_1+\cfrac{1}{\dfrac{b}{r_1}}.$

Del den andre linjen på $r_1$ :
$\frac{b}{r_1}=q_2+\frac{r_2}{r_1}=q_2+\cfrac{1}{\dfrac{r_1}{r_2}}.$

Sett inn:
$\frac ab=q_1+\cfrac{1}{q_2+\cfrac{1}{\dfrac{r_1}{r_2}}}.$

Fortsett nedover kjeden. Hver linje $r_{j-1}=q_{j+1}r_j+r_{j+1}$ gir, delt på $r_j$ ,
$\frac{r_{j-1}}{r_j}=q_{j+1}+\cfrac{1}{\dfrac{r_j}{r_{j+1}}},$
altså nøyaktig ett nytt ledd i kjedebrøken. Siste linje har rest $0$ , så $\dfrac{r_{k-1}}{r_k}=q_{k+1}$ og utviklingen stopper. $\blacksquare$

Hva beviset egentlig sier: kjedebrøken er divisjonskjeden snudd på hodet. Euklids algoritme regner nedover mot $\gcd$ ; kjedebrøken bygger oppover fra samme kvotienter.

Praktisk konsekvens, og grunnen til at dette kapitlet er billigere enn det ser ut: prosedyren du skal bruke, kan du alt. Kjør Euklid, skriv kvotientene i rekkefølge, sett semikolon etter den første. Under kode D er det en stor lettelse: én prosedyre, to bruksområder.

Merk sammenhengen med Bézout. Både Bézout-koeffisientene (kap. 1.2) og kjedebrøkkonvergentene kommer ut av samme divisjonskjede — bare lest i motsatte retninger. Bézout leser baklengs (substitusjonskjeden); konvergentene leses forlengs (rekursjonsskjemaet i løkke 3). Det er samme informasjon, brukt to ganger.

✏️Kjedebrøk fra Euklids algoritme

Finn kjedebrøkutviklingen til $\dfrac{97}{41}$ .

Teknikkvalg. Vi kjører Euklids algoritme på

97

41

, og leser av kvotientene. Ingen ny prosedyre kreves.

Divisjonskjeden frem (kap. 1.2), linje for linje til rest $0$ :
$\begin{aligned} 97&=\mathbf{2}\cdot 41+15\\ 41&=\mathbf{2}\cdot 15+11\\ 15&=\mathbf{1}\cdot 11+4\\ 11&=\mathbf{2}\cdot 4+3\\ 4&=\mathbf{1}\cdot 3+1\\ 3&=\mathbf{3}\cdot 1+0 \end{aligned}$

Siste ikke-null rest er $1$ , så $\gcd(97,41)=1$ — brøken er alt på laveste form.

Les av kvotientene (de fete tallene), i rekkefølge:
$2,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1,\ 3.$

Altså er
$\frac{97}{41}=[2;2,1,2,1,3].$

Kontroll — regn kjedebrøken ut fra innerst og utover:
$[3]=3$
$[1,3]=1+\tfrac 13=\tfrac 43$
$[2,1,3]=2+\tfrac 34=\tfrac{11}4$
$[1,2,1,3]=1+\tfrac 4{11}=\tfrac{15}{11}$
$[2,1,2,1,3]=2+\tfrac{11}{15}=\tfrac{41}{15}$
$[2;2,1,2,1,3]=2+\tfrac{15}{41}=\tfrac{82+15}{41}=\tfrac{97}{41}\ ✓$

Legg merke til hva som dukket opp i kontrollen: tallene $\tfrac{41}{15}$ , $\tfrac{15}{11}$ , $\tfrac{11}4$ , $\tfrac 43$ er nøyaktig restene fra divisjonskjeden, som brøker — $\tfrac{b}{r_1}$ , $\tfrac{r_1}{r_2}$ og så videre. Det er beviset i teoremet, sett fra motsatt kant.

Sluttsvar: $\dfrac{97}{41}=[2;2,1,2,1,3]$ .

Om føringen — de tre tingene som gir uttelling:

1. Divisjonskjeden står ført linje for linje. Den er metoden, og et sluttsvar uten kjeden er et sluttall uten metode. Instruksen på hvert eksamenssett er at alle svar skal begrunnes.
2. Kvotientene er markert eller pekt på. Leseren skal se hvor leddene kommer fra.
3. Kontrollen er utført. Å regne kjedebrøken tilbake tar ett minutt og fanger enhver avskrivningsfeil.

Merk hvor kort dette var: seks divisjoner, som er nøyaktig arbeidsmengden i en vanlig Euklid-oppgave. Kode D-realismen er derfor den samme som i kap. 1.2 — fire til seks linjer, tall opp til fire–fem siffer.

Og merk et lite mønster verdt å kjenne: siste ledd er $3$ , altså $\ge 2$ . Det er alltid mulig å ordne (er siste ledd $1$ , kan du slå det sammen med det forrige: $[\dots,a_n,1]=[\dots,a_n+1]$ ), og med det kravet er kjedebrøken til et rasjonalt tall entydig.

📝Oppgave 1

Finn kjedebrøkutviklingen til $\dfrac{61}{24}$ ved å kjøre Euklids algoritme, og kontrollér svaret ved å regne kjedebrøken tilbake.

📝Oppgave 2

a) Finn kjedebrøkutviklingen til

\dfrac{355}{113}

.
b) Forklar hvorfor et tall har endelig kjedebrøk nøyaktig når det er rasjonalt.

Løkke 2: Kjedebrøken til kvadratrota av D

~17 minutter.

Nå det irrasjonale tilfellet, som er det arkivet spør om. Algoritmen er den samme ideen — trekk ut heltallsdelen, inverter resten — men den stopper aldri, og den blir periodisk.

— naturlig pausepunkt —

Uendelig og periodisk kjedebrøk

[a_0;a_1,a_2,\dots]

Tall	Kjedebrøk	Periodens lengde
$\sqrt 3$	$[1;\overline{1,2}]$	$2$
$\sqrt 6$	$[2;\overline{2,4}]$	$2$
$\sqrt{11}$	$[3;\overline{3,6}]$	$2$
$\sqrt 7$	$[2;\overline{1,1,1,4}]$	$4$
$\sqrt{23}$	$[4;\overline{1,3,1,8}]$	$4$

Kjedebrøkutviklingen av kvadratrota — algoritmen

\sqrt D

📜Utledningen av kvadratrot-algoritmen

Hvor $(m,d,a)$ -formlene kommer fra — utledningen skrevet ut, slik du kan gjøre den på eksamen.

Ideen er den samme som for rasjonale tall: trekk ut heltallsdelen, inverter resten. Det nye er at «resten» nå er et irrasjonalt tall, og at vi må holde det på en form vi kan regne med.

Formen vi holder oss til. Hvert steg i utviklingen har et tall $x_n$ på formen
$x_n=\frac{\sqrt D+m_n}{d_n},$
med $m_n$ og $d_n$ hele tall. Start: $x_0=\sqrt D$ , altså $m_0=0$ og $d_0=1$ ✓.

Steg 1: trekk ut heltallsdelen. Sett $a_n=\lfloor x_n\rfloor$ . Da er
$x_n=a_n+\bigl(x_n-a_n\bigr),$
og resten $x_n-a_n$ ligger strengt mellom $0$ og $1$ .

Steg 2: inverter resten. Sett $x_{n+1}=\dfrac{1}{x_n-a_n}$ . Vi må vise at $x_{n+1}$ har samme form. Regn ut:
$x_n-a_n=\frac{\sqrt D+m_n}{d_n}-a_n=\frac{\sqrt D+m_n-a_nd_n}{d_n}=\frac{\sqrt D-m_{n+1}}{d_n},$
der vi har satt
$\boxed{m_{n+1}=a_nd_n-m_n}$
Altså er
$x_{n+1}=\frac{d_n}{\sqrt D-m_{n+1}}.$

Steg 3: gjør nevneren rasjonal. Gang teller og nevner med $\sqrt D+m_{n+1}$ :
$x_{n+1}=\frac{d_n\bigl(\sqrt D+m_{n+1}\bigr)}{\bigl(\sqrt D-m_{n+1}\bigr)\bigl(\sqrt D+m_{n+1}\bigr)}=\frac{d_n\bigl(\sqrt D+m_{n+1}\bigr)}{D-m_{n+1}^2}.$

Sett
$\boxed{d_{n+1}=\frac{D-m_{n+1}^2}{d_n}}$
Da er
$x_{n+1}=\frac{\sqrt D+m_{n+1}}{d_{n+1}},$
som er samme form som $x_n$ ✓. Og heltallsdelen blir
$\boxed{a_{n+1}=\left\lfloor\frac{\sqrt D+m_{n+1}}{d_{n+1}}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{a_0+m_{n+1}}{d_{n+1}}\right\rfloor}$
der siste likhet holder fordi $\lfloor\sqrt D\rfloor=a_0$ og nevneren er et helt tall. $\blacksquare$

Hva utledningen er verdt. Den tar tre til fire minutter å gjøre på eksamen, og den betyr at du ikke trenger formlene utenat — du trenger bare ideen «trekk ut heltallsdelen, inverter, gjør nevneren rasjonal». Under kode D er det en betydelig lettelse: én idé i stedet for tre formler.

Og legg merke til at dette er Euklids algoritme igjen. Steg 1 er divisjonsalgoritmen (trekk ut kvotienten, behold resten); steg 2 er inverteringen som flytter deg ett hakk videre. Forskjellen fra kap. 1.2 er bare at restene nå er irrasjonale, og derfor aldri blir $0$ .

Periodisiteten, i én setning: fordi $0\le m_n\le a_0$ og $0<d_n\le 2a_0+1$ , finnes det bare endelig mange mulige par $(m_n,d_n)$ . Etter endelig mange steg må et par gjenta seg — og da gjentar hele utviklingen seg. (Grensene på $m_n$ og $d_n$ beviser vi ikke; de er standard.)

Periodens form og symmetri

\sqrt D

✏️Kjedebrøkutviklingen av kvadratrota av 23

Finn kjedebrøkutviklingen til $\sqrt{23}$ .

Steg 1: $a_0$ . Vi trenger

\lfloor\sqrt{23}\rfloor

. Siden

4^2=16<23<25=5^2

, er

a_0=4.

Steg 2: sett opp tabellen med $m_0=0$ , $d_0=1$ , $a_0=4$ , og bruk
$m_{n+1}=a_nd_n-m_n,\qquad d_{n+1}=\frac{23-m_{n+1}^2}{d_n},\qquad a_{n+1}=\left\lfloor\frac{4+m_{n+1}}{d_{n+1}}\right\rfloor.$

Rad $n=0$ : $m_0=0$ , $d_0=1$ , $a_0=4$ .

Rad $n=1$ :
$m_1=a_0d_0-m_0=4\cdot 1-0=4,$
$d_1=\frac{23-4^2}{d_0}=\frac{23-16}{1}=7,$
$a_1=\left\lfloor\frac{4+4}{7}\right\rfloor=\left\lfloor\frac 87\right\rfloor=1.$

Rad $n=2$ :
$m_2=a_1d_1-m_1=1\cdot 7-4=3,$
$d_2=\frac{23-3^2}{d_1}=\frac{23-9}{7}=\frac{14}7=2,$
$a_2=\left\lfloor\frac{4+3}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\frac 72\right\rfloor=3.$

Rad $n=3$ :
$m_3=a_2d_2-m_2=3\cdot 2-3=3,$
$d_3=\frac{23-3^2}{d_2}=\frac{14}2=7,$
$a_3=\left\lfloor\frac{4+3}{7}\right\rfloor=\left\lfloor 1\right\rfloor=1.$

Rad $n=4$ :
$m_4=a_3d_3-m_3=1\cdot 7-3=4,$
$d_4=\frac{23-4^2}{d_3}=\frac 77=1,$
$a_4=\left\lfloor\frac{4+4}{1}\right\rfloor=8.$

Rad $n=5$ :
$m_5=a_4d_4-m_4=8\cdot 1-4=4,\qquad d_5=\frac{23-16}{1}=7,\qquad a_5=\left\lfloor\frac 87\right\rfloor=1.$

Nå gjentar det seg: $(m_5,d_5)=(4,7)=(m_1,d_1)$ . Perioden har lukket seg.

Tabellen samlet:

$n$	$m_n$	$d_n$	$a_n$
$0$	$0$	$1$	$4$
$1$	$4$	$7$	$1$
$2$	$3$	$2$	$3$
$3$	$3$	$7$	$1$
$4$	$4$	$1$	$8$
$5$	$4$	$7$	$1$ ← lik rad $1$

Sluttsvar:

\sqrt{23}=[4;\overline{1,3,1,8}],

med periode

1,3,1,8

av lengde

4

.
Tre kontroller, alle utført:
1. Siste ledd i perioden er $2a_0$ :

8=2\cdot 4

✓ — det er signalet om at perioden slutter der.
2. Alle $d_n$ er hele tall:

1,7,2,7,1

✓ (blir en av dem en brøk, er det regnefeil).
3. Numerisk:

\sqrt{23}\approx 4{,}7958

, og

$[4;1,3,1]=4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac 11}}=4+\cfrac{1}{1+\tfrac 14}=4+\tfrac 45=4{,}8\ ✓$
altså rett i nærheten.
Om føringen — de fire tingene som gir uttelling:

1. $a_0$ er begrunnet med $4^2<23<5^2$ , ikke bare oppgitt.

2. Tabellen er ført rad for rad, med formlene brukt eksplisitt i første rad så leseren ser hva som skjer.
3. Stoppkriteriet er sagt: « $(m_5,d_5)=(m_1,d_1)$ , så perioden har lukket seg.» Uten den setningen ser det ut som du stoppet tilfeldig.
4. Overstrek-notasjonen er brukt riktig — perioden starter etter $a_0$ .
Merk hvor små tallene holdt seg: $m_n\le 4$ og $d_n\le 7$ hele veien. Det er ikke tilfeldig — grensene $0\le m_n\le a_0$ og $0<d_n\le 2a_0+1$ gjelder alltid, og de er grunnen til at algoritmen er regnbar under kode D. Får du store tall i tabellen, har du regnet feil.
Og merk at hele utviklingen tok fem rader med ensifrede tall. Dette er blant de raskeste delpunktene i faget når prosedyren sitter — det er en av grunnene til at kapitlet, tross lav frekvens, er verdt en time hvis du har tiden.

📝Oppgave 3

Finn kjedebrøkutviklingen til $\sqrt 6$ . Bruk tabellen med $m$ , $d$ og $a$ , og si hvor perioden lukker seg.

📝Oppgave 4

Finn kjedebrøkutviklingen til $\sqrt{14}$ , og kontrollér at siste ledd i perioden er $2a_0$ .

Løkke 3: Konvergentene og rekursjonsskjemaet

~14 minutter.

Nå den delen som må sitte utenat: hvordan du gjør leddene $a_0,a_1,a_2,\dots$ om til brøker, uten å regne kjedebrøken ut fra innerst og utover hver gang.

Konvergent

n

$n$	leddene brukt	$C_n$	desimalverdi
$0$	$4$	$\tfrac 41=4$	$4{,}0000$
$1$	$4;1$	$\tfrac 51=5$	$5{,}0000$
$2$	$4;1,3$	$\tfrac{19}4$	$4{,}7500$
$3$	$4;1,3,1$	$\tfrac{24}5$	$4{,}8000$
$4$	$4;1,3,1,8$	$\tfrac{211}{44}$	$4{,}7955$

📜Rekursjonsskjemaet for konvergentene

For en kjedebrøk med ledd

a_0,a_1,a_2,\dots

er konvergentene

C_n=p_n/q_n

gitt ved

\boxed{p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2},\qquad q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}}

med startverdiene

p_{-1}=1,\quad p_{-2}=0,\qquad q_{-1}=0,\quad q_{-2}=1.

Rekursjonsskjemaet må sitte utenat, sammen med startverdiene — det er kapitlets eneste egentlige puggestoff.

Sjekk at startverdiene gir riktig $C_0$ :
$p_0=a_0p_{-1}+p_{-2}=a_0\cdot 1+0=a_0,\qquad q_0=a_0q_{-1}+q_{-2}=a_0\cdot 0+1=1,$
altså $C_0=a_0/1=a_0$ ✓.

Og $C_1$ :
$p_1=a_1p_0+p_{-1}=a_1a_0+1,\qquad q_1=a_1q_0+q_{-1}=a_1,$
altså $C_1=\dfrac{a_0a_1+1}{a_1}$ — som stemmer med $a_0+\dfrac 1{a_1}$ ✓.

Hvordan du bruker det i praksis: en tabell med fire kolonner.

$n$	$a_n$	$p_n$	$q_n$
—	—	$0$	$1$
—	—	$1$	$0$
$0$	$a_0$	…	…

Hver ny rad er «

a_n

ganger forrige, pluss den før det» — i både teller- og nevnerkolonnen. Det er hele regnearbeidet, og det er addisjon og én multiplikasjon per rad.
Den viktigste kontrollen, som du regner i hver rad:

p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=(-1)^{n-1}.

Utledes på stedet, tre linjer (induksjon, kap. 6.2): for

n=0

p_0q_{-1}-p_{-1}q_0=a_0\cdot 0-1\cdot 1=-1=(-1)^{-1}

✓. Antar vi formelen for

n-1

, gir rekursjonen

$p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=(a_np_{n-1}+p_{n-2})q_{n-1}-p_{n-1}(a_nq_{n-1}+q_{n-2})=p_{n-2}q_{n-1}-p_{n-1}q_{n-2},$

som er minus uttrykket for $n-1$ , altså $-(-1)^{n-2}=(-1)^{n-1}$ ✓.
To konsekvenser av kontrollen, verdt å kjenne:

1. $\gcd(p_n,q_n)=1$ — konvergentene er alltid på laveste form. (En felles divisor ville delt $(-1)^{n-1}$ .)
2. Avviket er lite: $\left|C_n-C_{n-1}\right|=\dfrac{1}{q_nq_{n-1}}$ , som blir raskt lite når nevnerne vokser.
Og den mest brukte konsekvensen av alle:

$\left|\alpha-\frac{p_n}{q_n}\right|<\frac{1}{q_nq_{n+1}},$

altså at konvergenten treffer tallet $\alpha$ med en feil som er mindre enn én delt på produktet av to nevnere. Det er derfor konvergentene er de beste brøktilnærmingene — se kap. 7.3.

✏️Konvergenttabellen for kvadratrota av 23

Bruk kjedebrøken $\sqrt{23}=[4;\overline{1,3,1,8}]$ fra eksempel 2 til å regne ut konvergentene $C_0$ til $C_4$ . Kontrollér hver rad.

Leddene er

a_0=4

a_1=1

a_2=3

a_3=1

a_4=8

(og deretter gjentas

1,3,1,8

Sett opp tabellen med startverdiene $p_{-2}=0$ , $p_{-1}=1$ , $q_{-2}=1$ , $q_{-1}=0$ , og bruk
$p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2},\qquad q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}.$

Rad $n=0$ ( $a_0=4$ ):
$p_0=4\cdot 1+0=4,\qquad q_0=4\cdot 0+1=1.$

Rad $n=1$ ( $a_1=1$ ):
$p_1=1\cdot 4+1=5,\qquad q_1=1\cdot 1+0=1.$

Rad $n=2$ ( $a_2=3$ ):
$p_2=3\cdot 5+4=19,\qquad q_2=3\cdot 1+1=4.$

Rad $n=3$ ( $a_3=1$ ):
$p_3=1\cdot 19+5=24,\qquad q_3=1\cdot 4+1=5.$

Rad $n=4$ ( $a_4=8$ ):
$p_4=8\cdot 24+19=211,\qquad q_4=8\cdot 5+4=44.$

Tabellen samlet, med kontrollene:

$n$	$a_n$	$p_n$	$q_n$	$C_n=p_n/q_n$	$p_n^2-23q_n^2$
$0$	$4$	$4$	$1$	$4$	$16-23=-7$
$1$	$1$	$5$	$1$	$5$	$25-23=2$
$2$	$3$	$19$	$4$	$19/4=4{,}75$	$361-368=-7$
$3$	$1$	$24$	$5$	$24/5=4{,}8$	$576-575=\mathbf{1}$
$4$	$8$	$211$	$44$	$211/44\approx 4{,}7955$	$44\,521-44\,528=-7$

Kontroll 1 — determinantformelen

p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=(-1)^{n-1}

:
-

n=1

5\cdot 1-4\cdot 1=1=(-1)^0

✓
-

n=2

19\cdot 1-5\cdot 4=-1=(-1)^1

✓
-

n=3

24\cdot 4-19\cdot 5=96-95=1=(-1)^2

✓
-

n=4

211\cdot 5-24\cdot 44=1055-1056=-1=(-1)^3

✓
Kontroll 2 — vekslingen om $\sqrt{23}\approx 4{,}79583$ :

$C_0=4<\sqrt{23},\quad C_1=5>\sqrt{23},\quad C_2=4{,}75<\sqrt{23},\quad C_3=4{,}8>\sqrt{23},\quad C_4\approx 4{,}7955<\sqrt{23}\ ✓$

Par indeks under, odde indeks over ✓.
Kontroll 3 — $\gcd(p_n,q_n)=1$ : $\gcd(19,4)=1$ , $\gcd(24,5)=1$ , $\gcd(211,44)=1$ ✓.
Sluttsvar: $C_0=4$ , $C_1=5$ , $C_2=\tfrac{19}4$ , $C_3=\tfrac{24}5$ , $C_4=\tfrac{211}{44}$ .
Legg merke til den siste kolonnen. Verdiene $p_n^2-23q_n^2$ er

$-7,\quad 2,\quad -7,\quad \mathbf 1,\quad -7,\dots$
og $C_3=\tfrac{24}5$ gir nøyaktig $1$ . Det betyr at $(x,y)=(24,5)$ løser
$x^2-23y^2=1,$

som er Pells likning for $D=23$ . Det er ikke tilfeldig at det skjedde i rad $3$ — perioden har lengde $4$ , og løsningen kommer i raden rett før perioden er ferdig. Sammenhengen er tema for løkke 4.

Om føringen — tre ting:

1. Startverdiene står oppgitt. Uten dem er de to første radene uforståelige.
2. Hver rad er regnet ut eksplisitt i første omgang, ikke bare ført inn i tabellen.
3. Kontrollkolonnen $p_n^2-Dq_n^2$ er med. Den koster én multiplikasjon per rad, og den er både feilkontroll og — som vi skal se — svaret på Pell-oppgaven.
Merk hvor lite regnearbeid dette var: fem rader med én multiplikasjon og én addisjon i hver kolonne. Rekursjonsskjemaet er hele grunnen til at konvergenter er praktisk regnbare — alternativet, å regne kjedebrøken ut fra innerst og utover for hver $n$ , ville tatt fem ganger så lang tid.

📝Oppgave 5

Bruk $\sqrt 6=[2;\overline{2,4}]$ fra oppgave 3 til å regne ut konvergentene $C_0$ til $C_4$ , med rekursjonsskjemaet. Regn ut $p_n^2-6q_n^2$ i hver rad.

📝Oppgave 6

a) Finn kjedebrøken til

\sqrt{11}

.
b) Regn ut konvergentene

C_0

til

C_3

, og finn den første som gir

p^2-11q^2=1

Løkke 4: Pells likning

~14 minutter.

Og her er hovedbruken. Vi har alt sett svaret dukke opp i kontrollkolonnen tre ganger — nå setter vi navn på det og gjør det til en prosedyre.

— naturlig pausepunkt —

Pells likning

x^2-Dy^2=1,

$D$	minste ikke-trivielle løsning	kontroll
$6$	$(5,2)$	$25-24=1$
$11$	$(10,3)$	$100-99=1$
$23$	$(24,5)$	$576-575=1$

📜Pell-løsningen leses av fra konvergentene

La $D$ ikke være et kvadrattall, og la $p_n/q_n$ være konvergentene til $\sqrt D=[a_0;\overline{a_1,\dots,a_k}]$ med periode $k$ .

Da gjelder:

1. Enhver løsning av $x^2-Dy^2=1$ i positive hele tall er en konvergent, altså $x=p_n$ , $y=q_n$ for en $n$ .
2. Den minste (fundamentale) løsningen finnes i raden $n=k-1$ når $k$ er par, og $n=2k-1$ når $k$ er odde.

(Vi beviser ikke resultatet — det er utenfor pensum. Men merk at punkt 1 følger av at $\left|p_n^2-Dq_n^2\right|$ er lite for konvergenter, og at ingen andre brøker har den egenskapen.)

Prosedyren, og den er det du faktisk skal bruke:

1. Utvikle $\sqrt D$ som kjedebrøk, og finn periodens lengde $k$ .
2. Sett opp konvergenttabellen med rekursjonsskjemaet.
3. Regn $p_n^2-Dq_n^2$ i hver rad — og stopp ved første rad som gir $\mathbf 1$ .
4. Les av $(x,y)=(p_n,q_n)$ , og kontrollér ved innsetting.

Prosedyren gjør punkt 2 i teoremet unødvendig å huske. Du behøver ikke vite om perioden er par eller odde — du regner kontrollkolonnen og stopper når du treffer $1$ . Det er derfor punkt 2 er merket «bør kjenne til» og ikke «må sitte utenat»: den forteller deg hvor mange rader du må regne, men kontrollkolonnen forteller deg når du er ferdig.

Eksempler på hvordan periodelengden slår ut:

$D$	kjedebrøk	$k$	par/odde	løsning i rad
$6$	$[2;\overline{2,4}]$	$2$	par	$n=1$
$11$	$[3;\overline{3,6}]$	$2$	par	$n=1$
$23$	$[4;\overline{1,3,1,8}]$	$4$	par	$n=3$
$14$	$[3;\overline{1,2,1,6}]$	$4$	par	$n=3$
$7$	$[2;\overline{1,1,1,4}]$	$4$	par	$n=3$
$3$	$[1;\overline{1,2}]$	$2$	par	$n=1$

Merk at alle disse har par periode, og da er løsningen i rad

k-1

. Er perioden odde (som for

\sqrt{13}=[3;\overline{1,1,1,1,6}]

med

k=5

), må du gjennom to perioder — og da blir tallene store. Kode D-realistiske oppgaver har par periode, og det er verdt å vite: får du store tall, sjekk om du har regnet perioden riktig.
Den relaterte likningen $x^2-Dy^2=-1$ har løsning nøyaktig når perioden er odde, og løsningen er i rad

k-1

. For

D=6

11

23

(par periode) har den ingen løsning — som du kan se i kontrollkolonnene: verdiene var

-2

-2

-7

, aldri

-1

Å generere flere Pell-løsninger

(x_1,y_1)

$D$	$(x_1,y_1)$	$(x_2,y_2)$	kontroll
$6$	$(5,2)$	$(25+24,\ 20)=(49,20)$	$2401-2400=1$ ✓
$11$	$(10,3)$	$(100+99,\ 60)=(199,60)$	$39\,601-39\,600=1$ ✓
$23$	$(24,5)$	$(576+575,\ 240)=(1151,240)$	$1\,324\,801-1\,324\,800=1$ ✓

✏️Eksamensnivå: Pells likning fra kjedebrøk til to løsninger

a) Finn kjedebrøkutviklingen til

\sqrt 7

.
b) Finn den minste ikke-trivielle løsningen av

x^2-7y^2=1

ved hjelp av konvergentene.
c) Finn den nest minste løsningen.

Del a)

$a_0$ : siden $2^2=4<7<9=3^2$ , er $a_0=2$ .

Tabellen, med $m_{n+1}=a_nd_n-m_n$ , $d_{n+1}=\dfrac{7-m_{n+1}^2}{d_n}$ , $a_{n+1}=\left\lfloor\dfrac{2+m_{n+1}}{d_{n+1}}\right\rfloor$ :

Rad $1$ : $m_1=2\cdot 1-0=2$ , $d_1=\dfrac{7-4}{1}=3$ , $a_1=\left\lfloor\dfrac{2+2}{3}\right\rfloor=1$ .

Rad $2$ : $m_2=1\cdot 3-2=1$ , $d_2=\dfrac{7-1}{3}=2$ , $a_2=\left\lfloor\dfrac{2+1}{2}\right\rfloor=1$ .

Rad $3$ : $m_3=1\cdot 2-1=1$ , $d_3=\dfrac{7-1}{2}=3$ , $a_3=\left\lfloor\dfrac{2+1}{3}\right\rfloor=1$ .

Rad $4$ : $m_4=1\cdot 3-1=2$ , $d_4=\dfrac{7-4}{3}=1$ , $a_4=\left\lfloor\dfrac{2+2}{1}\right\rfloor=4$ .

Rad $5$ : $m_5=4\cdot 1-2=2$ , $d_5=\dfrac{7-4}{1}=3$ — lik rad $1$ , så perioden lukker seg.

$n$	$m_n$	$d_n$	$a_n$
$0$	$0$	$1$	$2$
$1$	$2$	$3$	$1$
$2$	$1$	$2$	$1$
$3$	$1$	$3$	$1$
$4$	$2$	$1$	$4$
$5$	$2$	$3$	← lik rad $1$

\sqrt 7=[2;\overline{1,1,1,4}],

med periode av lengde

k=4

.
Kontroll: siste periodeledd er

4=2a_0=2\cdot 2

✓, og alle

d_n

er hele tall ✓.

Del b)

Konvergenttabellen, med

a_0=2

a_1=1

a_2=1

a_3=1

a_4=4

og startverdiene

p_{-2}=0

p_{-1}=1

q_{-2}=1

q_{-1}=0

$n$	$a_n$	$p_n$	$q_n$	$p_n^2-7q_n^2$
$0$	$2$	$2$	$1$	$4-7=-3$
$1$	$1$	$1\cdot 2+1=3$	$1\cdot 1+0=1$	$9-7=2$
$2$	$1$	$1\cdot 3+2=5$	$1\cdot 1+1=2$	$25-28=-3$
$3$	$1$	$1\cdot 5+3=8$	$1\cdot 2+1=3$	$64-63=\mathbf 1$

Første rad med verdien $1$ er $n=3$ , altså

$(x,y)=(8,3).$
Kontroll ved innsetting:

$8^2-7\cdot 3^2=64-7\cdot 9=64-63=1\ ✓$

Den minste ikke-trivielle løsningen er $(x,y)=(8,3)$ .

(Merk at raden stemmer med teoremet: perioden er $k=4$ , som er par, så løsningen skulle komme i rad $k-1=3$ ✓. Men vi trengte ikke regelen — kontrollkolonnen fortalte oss når vi var ferdige.)

Kontroll av determinantformelen underveis: $n=3$ gir $p_3q_2-p_2q_3=8\cdot 2-5\cdot 3=16-15=1=(-1)^2$ ✓.

Del c)

Vei 1 — kvadrer den fundamentale løsningen.

\bigl(8+3\sqrt 7\bigr)^2=64+48\sqrt 7+9\cdot 7=64+63+48\sqrt 7=127+48\sqrt 7,

altså

(x_2,y_2)=(127,48).

Kontroll ved innsetting:
$127^2-7\cdot 48^2=16\,129-7\cdot 2304=16\,129-16\,128=1\ ✓$

(Med formelen: $x_2=x_1^2+Dy_1^2=64+7\cdot 9=64+63=127$ og $y_2=2x_1y_1=2\cdot 8\cdot 3=48$ — samme svar, og formelen er nettopp utregningen over.)
Vei 2 — fortsett konvergenttabellen. Perioden gjentas, så $a_4=4$ , $a_5=1$ , $a_6=1$ , $a_7=1$ :

$n$	$a_n$	$p_n$	$q_n$	$p_n^2-7q_n^2$
$4$	$4$	$4\cdot 8+5=37$	$4\cdot 3+2=14$	$1369-1372=-3$
$5$	$1$	$1\cdot 37+8=45$	$1\cdot 14+3=17$	$2025-2023=2$
$6$	$1$	$1\cdot 45+37=82$	$1\cdot 17+14=31$	$6724-6727=-3$
$7$	$1$	$1\cdot 82+45=127$	$1\cdot 31+17=48$	$16\,129-16\,128=\mathbf 1$

Samme svar: $(127,48)$ ✓ — i rad $n=7=2k-1$ , altså etter to hele perioder.

Sluttsvar: a) $\sqrt 7=[2;\overline{1,1,1,4}]$ ; b) $(x,y)=(8,3)$ ; c) $(x,y)=(127,48)$ .

Om føringen — de fem tingene som gir uttelling:

1. $a_0$ er begrunnet med kvadrattallene rundt $7$ .
2. Stoppkriteriet for perioden er sagt («rad $5$ er lik rad $1$ »).
3. Kontrollkolonnen $p_n^2-7q_n^2$ er ført i hver rad. Den er både metoden og kontrollen.
4. Løsningen er kontrollert ved innsetting, med tallene skrevet ut. Det er den ene kontrollen som er umulig å gjøre feil.

5. I c) er begge veier vist, og de gir samme svar. Begge er fullgode — kvadreringen er raskere, tabellen er sikrere hvis du er usikker på formelen.
Om tidsbruken: del a) tar ~6 minutter, del b) ~5 minutter, del c) ~3 minutter med kvadreringen (eller ~7 med tabellen). Til sammen under 15 minutter for tre delpunkt — dette er blant de raskeste tre-delpunktsoppgavene i faget når prosedyren sitter. Det er hovedargumentet for å lese kapitlet hvis du har tiden, tross frekvensen på ~13 %.

📝Oppgave 7

a) Finn den minste ikke-trivielle løsningen av

x^2-14y^2=1

, ved hjelp av kjedebrøken

\sqrt{14}=[3;\overline{1,2,1,6}]

fra oppgave 4.
b) Finn den nest minste løsningen ved å kvadrere.

📝Oppgave 8

a) Vis at hvis

(x_1,y_1)

løser

x^2-Dy^2=1

, så gjør

(x_2,y_2)=(x_1^2+Dy_1^2,\ 2x_1y_1)

det også.
b) Forklar hvorfor

x^2-Dy^2=1

ikke har ikke-trivielle løsninger når

D

er et kvadrattall.

Typiske feil

De fire feilene under er dokumentert i arkivets løsningsforslag som noe fasitene fører imot i denne sjangeren. Alle er regne- eller avlesningsfeil — til forskjell fra bevisdelen, der det er strukturen som glipper.

- Feil i heltallsdel-uttrekket. $a_0=\lfloor\sqrt D\rfloor$ må være riktig, og de senere $\displaystyle a_n=\left\lfloor\frac{a_0+m_n}{d_n}\right\rfloor$ likeså. Kontrollen: alle $a_n\ge 1$ for $n\ge 1$ , og alle $d_n$ er hele tall. Blir en $d_n$ en brøk, er det regnefeil i raden over.

- Feil rekursjonsskjema for konvergentene. Den vanligste varianten er å bruke $p_{n-1}$ der $p_{n-2}$ skal stå. Kontrollen er determinantformelen $p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=(-1)^{n-1}$ , som skal gi $\pm 1$ i hver rad. Får du noe annet, er skjemaet feil brukt.

- Regnefeil i tabellen. Feilene forplanter seg nedover, siden hver rad bygger på de to forrige. Kontrollen: regn $p_n^2-Dq_n^2$ i hver rad. Verdiene skal være små (typisk mellom $-2a_0$ og $2a_0$ ) og de skal gjenta seg periodisk. Får du et stort tall, er det feil lenger opp.

- Leser feil konvergent for Pell-løsningen. Å svare $C_2$ når $C_3$ er den riktige, eller å svare $\tfrac{p}{q}$ i stedet for paret $(p,q)$ . Kontrollen er innsetting: $x^2-Dy^2$ skal bli nøyaktig $1$ . Den kontrollen kan ikke lure deg, og den koster tjue sekunder.

Og tre feil som er lette å unngå når du kjenner dem:

- Feil telling av konvergentene. $C_0$ er $a_0$ alene, så $C_3$ bruker fire ledd. Ber oppgaven om $C_3$ , skal du levere den fjerde brøken.
- Å glemme at perioden gjentas. Skal du fortsette tabellen forbi rad $k$ , må du gjenta periodeleddene — ikke stoppe der overstreken slutter.
- Å forveksle $x^2-Dy^2=1$ med $=-1$ . Den siste har løsning bare når perioden er odde, og for $D=6,11,14,23$ (par periode) finnes ingen. Ser du at kontrollkolonnen aldri gir $-1$ , er det ikke fordi du regner feil.

Begrepsbank

Dette er flashcard-stoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget på 60 minutter gjelder kjernestoffet over.

Under kode D er banken eksamensverktøyet, ikke pynt — men merk at dette kapitlet har uvanlig lite som må pugges: rekursjonsskjemaet og kvadreringsgrepet. Resten utledes, og kortene under er derfor mest prosedyre- og kontrollkort.

Prosedyrer pugges ved å kjøres. To nye kjedebrøkutviklinger regnet med lukket bok er mer verdt enn tre gjennomlesninger.

Kort: kjedebrøk av et rasjonalt tall

a

Kort: kjedebrøk av kvadratrota i fem steg

a_0=\lfloor\sqrt D\rfloor

Kontroll	Hva den fanger
alle $d_n$ er hele tall	regnefeil i raden over
$a_n\ge 1$ for $n\ge 1$	feil i heltallsdel-uttrekket
siste periodeledd er $2a_0$	at du stoppet på rett sted
$0\le m_n\le a_0$ , $0<d_n\le 2a_0+1$	at tallene ikke har løpt løpsk

Kort: rekursjonsskjemaet for konvergentene

p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2},\qquad q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}

Kort: konvergentenes tre egenskaper

C_0<\alpha,\quad C_1>\alpha,\quad C_2<\alpha,\quad C_3>\alpha,\dots

konvergent	verdi	avvik
$\tfrac{19}4$	$4{,}75$	$0{,}046$
$\tfrac{24}5$	$4{,}8$	$0{,}0042$
$\tfrac{211}{44}$	$4{,}79545$	$0{,}00038$

Kort: Pells likning i fire steg

x^2-Dy^2=1

$D$	løsning	$D$	løsning
$3$	$(2,1)$	$11$	$(10,3)$
$6$	$(5,2)$	$14$	$(15,4)$
$7$	$(8,3)$	$21$	$(55,12)$
$8$	$(3,1)$	$23$	$(24,5)$

Kort: generer flere Pell-løsninger

x_n+y_n\sqrt D=\bigl(x_1+y_1\sqrt D\bigr)^n

$D$	$(x_1,y_1)$	$(x_2,y_2)$
$6$	$(5,2)$	$(49,20)$
$7$	$(8,3)$	$(127,48)$
$11$	$(10,3)$	$(199,60)$
$14$	$(15,4)$	$(449,120)$
$23$	$(24,5)$	$(1151,240)$

Kort: koblingen til Euklids algoritme

a=q_1b+r_1

Euklid (kap. 1.2)	Kjedebrøk
divisjonskjeden $a=q_1b+r_1$ , …	leddene $[q_1;q_2,q_3,\dots]$
baklengs substitusjon → Bézout	forlengs rekursjon → konvergenter
stopper når resten er $0$	stopper når resten er $0$ (rasjonalt) eller aldri (irrasjonalt)

Kort: kontrollene i sjanger K

d_n

Kort: tidsbudsjettet for en K-oppgave

a_0

Arbeid	Tid
$a_0$ og oppsett av kjedebrøktabellen	~2 min
Kjedebrøkutviklingen (4–6 rader)	~5 min
Konvergenttabellen (4–5 rader)	~4 min
Kontrollkolonnen $p_n^2-Dq_n^2$	~2 min
Avlesning og innsettingskontroll	~2 min

Kort: selvdiagnose for kjedebrøk og Pell

a/b

Repetisjonsoppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

7.1 Kjedebrøk, konvergenter og Pells likning *(bør kjenne til)*

Forkunnskaper

Å nærme seg et tall med brøker

Løkke 1: Kjedebrøk fra Euklids algoritme

Løkke 2: Kjedebrøken til kvadratrota av D

Løkke 3: Konvergentene og rekursjonsskjemaet

Løkke 4: Pells likning

Del a)

Del b)

Del c)

Begrepsbank

7.1 Kjedebrøk, konvergenter og Pells likning (bør kjenne til)