6.P Prøver til del 6: Bevis: induksjon, delelighet og primtall
Fire prøver som dekker del 6 (bevis: induksjon, delelighet og primtall) på eksamensnivå, med fulle løsningsforslag.
| Prøve | Tema | Tid | Kapitler |
|---|---|---|---|
| 6.A | Bevisteknikker og case-analyse modulo | ~35 min | 6.1 |
| 6.B | Induksjon — sumformel og delelighet med komplett struktur | ~40 min | 6.2 |
| 6.C | Delelighets-/primtallsarketypene | ~40 min | 6.3 |
| 6.D | Todelt bevis — lemma i a, anvend ved induksjon i b | ~45 min | 6.1–6.4 |
Fire prøver à ~35–45 minutter — kan trygt deles over flere kvelder, én prøve per økt. Det er ikke meningen at du skal ta alle fire på rad. Én prøve, rettet grundig og med selvdiagnosen fylt ut, er mer verdt enn fire prøver rettet raskt.
Slik tar du dem, hvis treningen skal ligne eksamen:
- Sett klokka, og bruk bare det du får bruke 24. november: penn, papir og en enkel kalkulator. Ingen bok, ingen formelsamling, ingen tabeller, ingen egne notater. I bevisdelen har kalkulatoren ingenting å bidra med — alt kommer fra hodet.
- Lukk boka helt. Har du malene ved siden av deg, trener du oppslag, og oppslag er nettopp det hjelpemiddelkode D har fjernet. Induksjonens tre steg og de fem arketypene er former, og former må komme ferdig ut av hukommelsen.
- Skriv fullstendig, som om noen skal rette det. Instruksen på hvert eksamenssett er at alle svar skal begrunnes. I bevisdelen betyr det tre ting særlig: at basissteget står der, at case-analysen er uttømmende, og at teoremet er navngitt.
- Rett etterpå, og fyll ut selvdiagnose-sjekklista under hver fasit.
Om poengene. Hver prøve har oppgitt poeng per oppgave, som en veiledning til hvor mye arbeid som forventes. Tallene er bokas egne — arkivet oppgir ingen karaktergrenser i prosent for dette emnet, og boka oppfinner ingen.
Ingen flervalgsoppgaver. Eksamen i MA1301 har aldri hatt en flervalgsdel, og prøvene her speiler det: alt er begrunnet langsvar.
Forkunnskaper
Alt du trenger, står i Del 6: kap. 6.1 (de fire bevisteknikkene og case-analyse), kap. 6.2 (induksjon, de fire undertypene, sterk induksjon), kap. 6.3 (de fem arketypene) og kap. 6.4 (drillen, med oppskriftene og kontrollpunktene).
Du bør i tillegg ha delelighet og Euklids lemma fra kap. 1.1, Bézout fra kap. 1.2 og kongruensregning fra kap. 1.4 friskt — alle tre brukes i prøvene. Til prøve 6.D får du bruk for binomialkoeffisientene fra kap. 2.2.
Har du ikke lest Del 6 ennå, er prøvene ikke stedet å begynne. Gå til kap. 6.1 og les deg gjennom; prøvene er der for å teste at malene sitter, ikke for å lære dem.
Har du lest Del 6 men er usikker, ta prøve 6.A først. Den bruker bare de fire teknikkene og case-analyse — går det bra der, sitter grunnlaget for resten.
Slik er prøvene bygget
Hver prøve har tre oppgaver, ordnet etter stigende vanskelighet: den første er ren mal-anvendelse, den siste krever at du kjeder sammen flere resultater eller velger teknikk selv.
Fasitene er skrevet som A-besvarelser. Det betyr at hvert mellomsteg står der, at teoremet er navngitt der argumentet hviler på det (Euklids lemma, divisjonsalgoritmen, aritmetikkens fundamentalteorem, Bézout, induksjonsprinsippet), og at kontrollene er utført. Det er ikke pynt — det er hva instruksen «alle svar må begrunnes» krever.
Tre ting går igjen som eksplisitte krav i denne delen:
- Basissteget i hvert induksjonsbevis, med begge sider regnet ut og riktig .
- Uttømmende case-analyse: alle rader modulo , eller en skrevet begrunnelse for hver som mangler.
- Betingelsene i arketypene: -sjekken i arketype 1, at begge faktorer er ekte i arketype 2, i arketype 3, «ikke i listen» i arketype 4, størrelsesargumentet i arketype 5.
Alle tre er dokumenterte fallgruver, og alle tre er egne føringspoeng.
Etter hver fasit står en avkryssbar selvdiagnose. Bruk den.
— naturlig pausepunkt —
Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.
Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.