7.4 Drill: den store kjeden — ML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

Bokas ryggrad-drill: hele storoppgaven fra modelldefinisjon til styrkeberegning som ÉN sammenhengende fortelling — slik den står i praktisk talt hvert sett siden 2016.

95 min

9 oppgaver

Drillden store kjedenML → egenskaper → pivotal-KI → test → styrke

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.3Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget 6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til 5.4Drill: ML-utledning med estimatorvurdering (sjanger G)

Brukes videre i

7.PPrøver til del 7: Hypotesetesting

Dette er bokas tyngste kapittel — og eksamens tyngste oppgave. «Den store oppgaven» mot slutten av settet er nesten alltid én sammenhengende kjede: definer modell → utled ML-estimator → egenskaper → konfidensintervall (ofte via en pivotal) → hypotesetest (ofte med styrke). Samme historie hele veien.

- Kjeden går igjen i praktisk talt hvert sett siden 2016, og teller 30–40 % av poengene. Prioritet: høyeste — behersker du kjeden, sitter en stor del av karakteren.
- Kontekstene er ingeniør- og naturvitenskapsnære: levetider, vindmålinger, flomhøyder, batterikapasitet, lakseoppdrett. Fordelingen varierer (eksponensial er hyppigst), men ritualet er alltid det samme.
- Sjangermessig er dette G + H + I i kjede — G er «utled estimatoren», H er «konstruer/utled intervallet», I er «full hypotesetest». Bokstavene er bare kodenavn for oppgavetyper; her kommer alle tre etter hverandre på samme data.

Hvor poengene sitter: i at du (1) skriver modelldefinisjonen eksplisitt (« $X_i$ iid med tetthet …»), (2) fører hvert ledd som en egen liten test, og (3) ikke mister tråden — samme estimat brukes videre nedover kjeden. Under tidspress er det nettopp trådtapet og frihetsgradene ( $2n$ for eksponensial!) som velter besvarelser. Vi driller hele kjeden som én fortelling.

Dette kapitlet er langt (kjernetid ≈ 95 min). Del det gjerne over tre økter — pausepunktene er markert. Ved håndskriving på papir, regn ca. 1,5× tiden.

Forkunnskaper: Kjeden samler trådene fra hele boka. Du trenger:

- ML-metoden fra kap. 5.2 (likelihood, log-likelihood, derivér og sett lik null);
- forventningsretthet og varians til estimatorer fra kap. 5.1;
- pivotal og eksakt konfidensintervall fra kap. 6.2, særlig eksponensialens $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ ;
- hele testritualet fra kap. 7.1 og kap. 7.2;
- styrke og dimensjonering fra kap. 7.3;
- eksponensial- og Weibull-fordelingen fra kap. 4.2 og kap. 5.4.

Sist du var her — de fire resultatene kjeden hviler på (ferdig oppfrisket):

1. Eksponensialfordelingen (forventningsparametrisert): $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\beta}e^{-x/\beta}$ for $x > 0$ , med $E(X) = \beta$ og $\text{Var}(X) = \beta^2$ .
2. ML for eksponensial: log-likelihooden $\displaystyle \ell(\beta) = -n\ln\beta - \frac{1}{\beta}\sum x_i$ gir $\displaystyle \hat{\beta} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum X_i$ .
3. Eksponensialens pivotal: $\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta} \sim \chi^2_{2n}$ — merk frihetsgraden $2n$ , ikke $n$ eller $n-1$ .
4. Forventningsrett: en estimator $\hat{\theta}$ er forventningsrett hvis $E(\hat{\theta}) = \theta$ ; blant forventningsrette foretrekkes den med minst varians.

Du trenger å kunne derivere og integrere polynomer og eksponensialfunksjoner, og slå opp $\chi^2$ -, $t$ - og normalkvantiler.

Løsningsoppskrift for hele kjeden

Enhver kjedeoppgave følger de samme sju leddene. Skriv dem som en sjekkliste i margen på eksamen, og kryss av underveis — da mister du ikke tråden.

1. Modelldefinisjon. «La $X_i$ = [den målte størrelsen], $i = 1, \ldots, n$ , uavhengige og identisk fordelte med [fordeling og tetthet], der [parameteren] er ukjent.» Dette ene er sensorkrav 1 — et eget poeng, og fundamentet for alt videre.
2. ML-estimatoren (fra 5.2): skriv likelihooden $L(\theta) = \prod f(x_i;\theta)$ , ta logaritmen $\ell(\theta) = \sum \ln f(x_i;\theta)$ , derivér, sett $\ell'(\theta) = 0$ og løs. Sjekk gjerne at det er et maksimum ( $\ell'' < 0$ ).
3. Egenskaper (fra 5.1): er $\hat{\theta}$ forventningsrett ( $E(\hat{\theta}) = \theta$ )? Hva er variansen $\text{Var}(\hat{\theta})$ ? Dette avgjør kvaliteten og trengs for CLT-intervallet.
4. Konfidensintervall (fra 6.2): finn en pivotal — en størrelse med kjent fordeling uavhengig av parameteren (for eksponensial: $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ ) — og snu ulikheten til et eksakt intervall. Alternativt et CLT-basert intervall $\hat{\theta} \pm z_{\alpha/2}\,\text{SE}$ til sammenligning.
5. Hypotesetest (fra 7.1) i samme parameter: sett opp $H_0$ / $H_1$ , velg observator (gjerne pivotalen selv, som gir en eksakt test), tallfest, konkluder i ord.
6. Styrke / dimensjonering (fra 7.3): regn styrken ved en sann verdi, eller finn $n$ for ønsket styrke.
7. Konklusjoner i ord hele veien. Hvert ledd avsluttes med en setning som knytter tallet til konteksten — et rent tall gir sjelden full uttelling.

Rød tråd: estimatet fra ledd 2 er det samme tallet du bruker i ledd 3–6. Bytter du det ut halvveis (bruker $\bar{x}$ ett sted og noe annet et annet sted), rakner kjeden. Behold tråden.

Gjennomregnet eksamenscase (eksponensial-levetid)

✏️Eksamenscase: Tid mellom alarmutløsninger

Tiden mellom alarmutløsninger i et prosessanlegg antas eksponensialfordelt med forventning $\beta$ (i timer). Man observerer $n = 15$ mellomtider med sum $\sum x_i = 96$ timer.

a) Definer modellen og utled ML-estimatoren $\hat{\beta}$ . Regn ut estimatet.

b) Vis at $\hat{\beta}$ er forventningsrett, og oppgi variansen.

c) Bruk pivotalen $\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta} \sim \chi^2_{2n}$ til et eksakt 95 %-konfidensintervall for $\beta$ .

d) Leverandøren hevder at $\beta \ge 8$ timer. Test påstanden på 5 %-nivå.

e) Finn styrken dersom den sanne $\beta = 5$ , og kommenter om 15 observasjoner er nok.

a) Modell og ML. La

X_i

= tid mellom alarm

i-1

i

i = 1, \ldots, 15

, uavhengige og identisk eksponensialfordelte med tetthet

\displaystyle f(x) = \frac{1}{\beta}e^{-x/\beta}

x > 0

\beta

ukjent.

$L(\beta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\beta}e^{-x_i/\beta} = \beta^{-n}\exp\!\left(-\tfrac{1}{\beta}\textstyle\sum x_i\right), \qquad \ell(\beta) = -n\ln\beta - \tfrac{1}{\beta}\textstyle\sum x_i.$
Derivér og sett lik null: $\displaystyle \ell'(\beta) = -\frac{n}{\beta} + \frac{\sum x_i}{\beta^2} = 0 \Rightarrow \hat{\beta} = \frac{1}{n}\sum X_i = \bar{X}$ . Estimatet: $\hat{\beta} = 96/15 = 6{,}4$ timer.

> Sensornotat (ledd 1–2): modelldefinisjonen og selve derivasjonen er hvert sitt poeng. Skriv tettheten eksplisitt — ikke bare «eksponensialfordelt».

b) Forventningsretthet og varians. $\displaystyle E(\hat{\beta}) = E(\bar{X}) = \frac{1}{n}\sum E(X_i) = \frac{1}{n}\cdot n\beta = \beta$ — forventningsrett. Variansen: $\displaystyle \text{Var}(\hat{\beta}) = \text{Var}(\bar{X}) = \frac{\text{Var}(X)}{n} = \frac{\beta^2}{n} = \frac{\beta^2}{15}$ .

> Sensornotat (ledd 3): bruk $\text{Var}(X) = \beta^2$ for eksponensial (ikke $\beta$ ). Variansen faller som $1/n$ — estimatoren er konsistent.

c) Eksakt KI. Pivotalen $\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta} \sim \chi^2_{2n} = \chi^2_{30}$ . Da er, med $\chi^2_{30;\,0{,}975} = 16{,}791$ (nedre) og $\chi^2_{30;\,0{,}025} = 46{,}979$ (øvre),
$P\!\left(\chi^2_{30;\,0{,}975} \le \frac{2\sum X_i}{\beta} \le \chi^2_{30;\,0{,}025}\right) = 0{,}95 \;\Rightarrow\; \beta \in \left[\frac{2\sum x_i}{\chi^2_{30;\,0{,}025}},\ \frac{2\sum x_i}{\chi^2_{30;\,0{,}975}}\right].$
Med $2\sum x_i = 192$ : nedre $= 192/46{,}979 = 4{,}09$ , øvre $= 192/16{,}791 = 11{,}43$ . 95 %-KI: $[4{,}09,\ 11{,}43]$ timer.

> Sensornotat (ledd 4): frihetsgraden er $2n = 30$ , og den store kvantilen havner i nedre endepunkt (fordi vi deler på den). Å snu det er en klassisk feil.

d) Test. Vi vil sjekke om dataene taler mot påstanden $\beta \ge 8$ ; det bekymringsfulle er at levetiden er kortere: $H_0: \beta = 8$ mot $H_1: \beta < 8$ (ensidig nedover). Bruk pivotalen som testobservator: under $H_0$ er $\displaystyle \frac{2\sum X_i}{8} \sim \chi^2_{30}$ . Tallfest: $\displaystyle \frac{192}{8} = 24{,}0$ . Liten $\beta$ gir liten observator, så vi forkaster i nedre hale: forkast hvis observatoren $< \chi^2_{30;\,0{,}95} = 18{,}493$ . Siden $24{,}0 > 18{,}493$ , forkaster vi ikke $H_0$ . (p-verdi $= P(\chi^2_{30} < 24{,}0) = 0{,}23$ .)

Konklusjon i ord: selv om estimatet $\hat{\beta} = 6{,}4$ ligger under 8, er avviket ikke statistisk sikkert med 15 observasjoner — det er ikke grunnlag for å hevde at $\beta < 8$ .

> Sensornotat (ledd 5): å bruke pivotalen som testobservator gir en eksakt test (ingen normaltilnærming). Retningen: $H_1: \beta < 8 \Rightarrow$ nedre hale $\Rightarrow$ kvantil $\chi^2_{30;\,0{,}95}$ .

e) Styrke. Forkastningsregelen er observator $< 18{,}493$ , altså $\displaystyle \frac{2\sum X_i}{8} < 18{,}493 \Leftrightarrow 2\sum X_i < 147{,}9$ . Under en sann $\beta = 5$ er $\displaystyle \frac{2\sum X_i}{5} \sim \chi^2_{30}$ , så
$\text{styrke} = P(2\textstyle\sum X_i < 147{,}9 \mid \beta = 5) = P\!\left(\chi^2_{30} < \frac{147{,}9}{5}\right) = P(\chi^2_{30} < 29{,}59) = 0{,}51.$

Kommentar: styrken er bare ≈ 0,51 — selv om den sanne levetiden skulle falle helt til 5 timer (en stor forverring fra 8), ville testen bare oppdage det i omtrent halvparten av tilfellene. 15 observasjoner er ikke nok til en pålitelig test; for høyere styrke trengs vesentlig flere mellomtider.

— naturlig pausepunkt —

> Sensornotat (ledd 6–7): styrken regnes eksakt via samme pivotal, nå under den sanne $\beta$ . Legg merke til den røde tråden: $2\sum x_i = 192$ og forkastningsgrensen $18{,}493$ er brukt konsistent i (c), (d) og (e).

Oppskriftskort

De fem kortene under komprimerer kjeden til repetisjonsformat.

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet og oppgavene.

Oppskriftskort: kjedens sju ledd

X_i

Formelkort: ML-ritualet

L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)

Formelkort: eksponensialens pivotal og KI

\beta

Oppskriftskort: eksakt test via pivotalen

H_0: \beta = \beta_0

Oppskriftskort: hold tråden

2n

Kjedeoppgaver på eksamensnivå

Økt 1 — eksponensial, andel, normal (~30 min)

📝Oppgave 1

Levetiden til en pumpekomponent antas eksponensialfordelt med forventning $\beta$ (i tusen driftstimer). Man observerer $n = 20$ levetider med $\sum x_i = 140$ .

a) Skriv modelldefinisjonen og utled ML-estimatoren $\hat{\beta}$ ; regn estimatet.

b) Gi et eksakt 95 %-KI for $\beta$ via pivotalen $\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta} \sim \chi^2_{2n}$ . Bruk $\chi^2_{40;\,0{,}025} = 59{,}342$ og $\chi^2_{40;\,0{,}975} = 24{,}433$ .

c) Produsenten hevder $\beta \ge 10$ . Test på 5 %-nivå med en eksakt test. Bruk $\chi^2_{40;\,0{,}95} = 26{,}509$ .

📝Oppgave 2

En produksjonslinje kasserer en ukjent andel $p$ av enhetene. Blant $n = 180$ enheter kasseres $x = 27$ .

a) Sett opp modellen ( $X$ = antall kasserte) og utled ML-estimatoren for $p$ ; regn estimatet.

b) Gi et tilnærmet 95 %-KI for $p$ (Wald: $\hat{p} \pm z_{0{,}025}\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ ).

c) Leverandøren hevder kasseringsandelen er høyst $0{,}10$ . Test på 5 %-nivå om den er høyere.

📝Oppgave 3

Bruddstyrken til en sveisetype antas $N(\mu, \sigma^2)$ med begge parametre ukjente. Et utvalg på $n = 16$ gir $\bar{x} = 52{,}0$ kN og $s = 3{,}2$ kN.

a) Oppgi ML-estimatene for $\mu$ og $\sigma^2$ (du trenger ikke utlede dem på nytt), og forklar hvorfor vi likevel bruker $s^2$ med divisor $n-1$ videre.

b) Gi et 95 %-KI for $\mu$ . Bruk $t_{15;\,0{,}025} = 2{,}131$ .

c) En kunde krever forventet bruddstyrke over $50$ kN. Test på 5 %-nivå. Bruk $t_{15;\,0{,}05} = 1{,}753$ .

— naturlig pausepunkt (slutt økt 1) —

Økt 2 — gamma, Poisson, Weibull-løft (~30 min)

📝Oppgave 4

Ventetiden til den tredje partikkelen i en detektor antas gammafordelt med kjent form $k = 3$ og ukjent skala $\theta$ , tetthet $\displaystyle f(x) = \frac{1}{\Gamma(k)\theta^k}x^{k-1}e^{-x/\theta}$ , $E(X) = k\theta$ . Man har $n = 10$ målinger med $\sum x_i = 180$ .

a) Utled ML-estimatoren for $\theta$ (form $k$ kjent), og regn estimatet.

b) Det kan vises at $\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\theta} \sim \chi^2_{2nk}$ . Gi et eksakt 95 %-KI for $\theta$ . Bruk $\chi^2_{60;\,0{,}025} = 83{,}298$ og $\chi^2_{60;\,0{,}975} = 40{,}482$ .

c) Forklar hvorfor frihetsgraden er $2nk$ og ikke $2n$ .

📝Oppgave 5

Antall driftsstans per måned i et anlegg antas Poisson-fordelt med ukjent rate $\lambda$ . Over $n = 12$ måneder registreres til sammen $\sum x_i = 54$ stans.

a) Utled ML-estimatoren for $\lambda$ og regn estimatet.

b) Gi et tilnærmet 95 %-KI for $\lambda$ via CLT ( $\hat{\lambda} \pm z_{0{,}025}\sqrt{\hat{\lambda}/n}$ ), og forklar hvor $\sqrt{\hat{\lambda}/n}$ kommer fra.

c) Historisk var raten $\lambda_0 = 4$ . Test på 5 %-nivå om raten har økt, med normaltilnærming. (Kontroller til slutt at en eksakt Poisson-test gir samme retning: $P(S \ge 54 \mid \text{Poisson}(48)) = 0{,}211$ .)

📝Oppgave 6

Vindhastigheten $Y$ (m/s) ved en turbin antas Weibull-fordelt med kjent formparameter $k = 2$ og skala $\beta$ : $F(y) = 1 - e^{-(y/\beta)^2}$ , $y > 0$ . Man har $n = 12$ målinger med $\sum y_i^2 = 240$ .

a) Vis at transformasjonen $W = Y^2$ er eksponensialfordelt, og finn forventningen $\theta = E(W)$ uttrykt ved $\beta$ .

b) Bruk eksponensial-maskineriet på $w_i = y_i^2$ til å finne ML-estimatet for $\theta$ , og deretter for $\beta$ .

c) Gi et eksakt 95 %-KI for $\theta$ . Bruk $\chi^2_{24;\,0{,}025} = 39{,}364$ og $\chi^2_{24;\,0{,}975} = 12{,}401$ .

— naturlig pausepunkt (slutt økt 2) —

Økt 3 — to datakilder, estimatorvalg, full kjede med styrke (~35 min)

📝Oppgave 7

To identiske pumper antas å ha samme eksponensialfordelte levetid med forventning $\beta$ . Pumpe A gir $n_1 = 10$ levetider med $\sum x_i = 58$ ; pumpe B gir $n_2 = 8$ levetider med $\sum y_j = 54$ (samme enhet, tusen timer).

a) Utled ML-estimatoren for $\beta$ når begge datakilder brukes samlet, og regn estimatet.

b) Hva blir frihetsgraden i pivotalen $\displaystyle \frac{2(\sum X_i + \sum Y_j)}{\beta} \sim \chi^2_{?}$ , og hvorfor?

c) Gi et eksakt 95 %-KI for $\beta$ . Bruk $\chi^2_{36;\,0{,}025} = 54{,}437$ og $\chi^2_{36;\,0{,}975} = 21{,}336$ .

📝Oppgave 8

For iid eksponensiale levetider med forventning $\beta$ vurderer en ingeniør to forventningsrette estimatorer: gjennomsnittet $\hat{\beta}_1 = \bar{X}$ og skalert minimum $\hat{\beta}_2 = n\cdot X_{(1)}$ , der $X_{(1)} = \min_i X_i$ .

a) Vis at begge er forventningsrette. (Bruk at $X_{(1)}$ er eksponensialfordelt med forventning $\beta/n$ .)

b) Variansene er $\text{Var}(\hat{\beta}_1) = \beta^2/n$ og $\text{Var}(\hat{\beta}_2) = \beta^2$ . Hvilken estimator er best, og med hvilken faktor?

c) Hva sier dette om å bruke bare den første (raskeste) levetiden i stedet for alle?

📝Oppgave 9

Tiden mellom flomtopper i et vassdrag antas eksponensialfordelt med forventning $\beta$ (i år). Man har $n = 20$ mellomtider med $\sum x_i = 170$ .

a) Utled $\hat{\beta}$ og regn estimatet, og oppgi variansen $\text{Var}(\hat{\beta})$ .

b) Gi et eksakt 95 %-KI for $\beta$ . Bruk $\chi^2_{40;\,0{,}025} = 59{,}342$ , $\chi^2_{40;\,0{,}975} = 24{,}433$ .

c) En dimensjoneringsnorm antar $\beta \ge 12$ år mellom flommer. Test på 5 %-nivå om mellomtiden er kortere. Bruk $\chi^2_{40;\,0{,}95} = 26{,}509$ .

d) Finn styrken dersom den sanne $\beta = 7$ år, og kommenter beslutningsrisikoen. (Bruk $P(\chi^2_{40} < 45{,}44) = 0{,}744$ .)

Typiske feil

Kjeden faller sammen på de samme punktene under tidspress:

- Feil frihetsgrad i eksponensial-pivotalen. Det er $\mathbf{2n}$ , aldri $n$ eller $n-1$ . (Til sammenligning: normal varians $n-1$ , gamma $2nk$ , regresjon $n-2$ .)
- Feil endepunkt i KI-et. Den store kvantilen $\chi^2_{2n;\,\alpha/2}$ havner i det nedre endepunktet (vi deler på den). Snur du det, blir intervallet meningsløst (nedre > øvre).
- Feil retning på $H_1$ . Retningen følger av hva som skal påvises. For eksponensial: kort levetid → liten observator → nedre hale.
- Miste tråden. Estimatet fra ML skal brukes videre i egenskaper, KI, test og styrke. Ikke bytt det ut halvveis.
- Regne styrken under $H_0$ . Styrken regnes under den sanne parameterverdien ( $\beta_1$ , $\mu_1$ ), ikke under $H_0$ .
- Konklusjon uten ord. Hvert ledd — estimat, KI, test, styrke — avsluttes med en setning i kontekst. Et rent tall gir sjelden full uttelling.
- Bruke ML-variansen ( $\div n$ ) i en test av forventningen. Til t-test og KI brukes den forventningsrette $S^2$ ( $\div (n-1)$ ).

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.