6.2
Alle fag for Høyskole

6.2 Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

Finn en pivotal, sett kvantiler rundt, løs for parameteren — med eksponensialens χ²₂ₙ-intervall som kronjuvel.

65 min
8 oppgaver
Pivotal-metodeneksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger direkte på standardintervallene og konstruksjonslogikken i kap. 6.1, på kjikvadrat-apparatet for eksponensialdata i kap. 4.2, og på det normaltilnærmede intervallet fra sentralgrenseteoremet i kap. 3.3 (som vi sammenligner mot).

Fra forkunnskapene — de tre pivotalene vi bruker (ferdig oppfrisket):

1. Eksponensialpivotalen (kap. 4.2), kronjuvelen i dette kapitlet: for uavhengige X1,…,Xn∼eksp(β)X_1, \ldots, X_n \sim \text{eksp}(\beta) er
2∑i=1nXiβ=2nXˉβ∼χ2n2(frihetsgrad 2n, ikke n).\frac{2\sum_{i=1}^{n} X_i}{\beta} = \frac{2n\bar{X}}{\beta} \sim \chi^2_{2n} \qquad (\text{frihetsgrad } 2n, \text{ ikke } n).
2. Normal-pivotalene: Xˉ−μS/n∼tn−1\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} og (n−1)S2σ2∼χn−12\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} (grunnlaget for t- og σ2\sigma^2-intervallene i kap. 6.1).
3. Kvantilnotasjonen med øvre haleareal: χν,α2\chi^2_{\nu,\alpha} er tallet der P(χν2>χν,α2)=αP(\chi^2_\nu > \chi^2_{\nu,\alpha}) = \alpha.

Du må kunne løse en dobbeltulikhet og passe på hva som skjer med ulikhetsretningen når du deler på eller inverterer ledd. Ingen ny fordelingsteori — bare pivotalene fra før, snudd til intervaller.

I kap. 6.1 brukte vi ferdige formler fra formelsamlingen. Men hva gjør vi når parameteren er β\beta i en eksponensialfordeling, og formelsamlingen ikke har et ferdig intervall? Da lager vi det selv med pivotal-metoden — den generelle oppskriften bak alle konfidensintervaller.

Vi går i fire løkker. Først pivotal-metoden som en generell trestegs-oppskrift. Så hovedeksemplet: det eksakte kjikvadrat-intervallet for β\beta, utledet fra bunnen. Deretter sammenligningen med det normaltilnærmede intervallet fra CLT — når og hvorfor de avviker. Til slutt KI-transformasjon: hvordan et intervall for β\beta gjøres om til et intervall for en avledet størrelse som medianlevetiden βln⁡2\beta\ln 2. Hver løkke går teori → eksempel → oppgave.

Samlet kjernetid ≈ 65 min. Naturlige pausepunkter er markert mellom løkkene — dette er et tungt kapittel, del det gjerne i to økter.

Pivotal-metoden i tre steg (~14 min)

Pivotal (pivotal størrelse)

En pivotal er en størrelse bygget av dataene og den ukjente parameteren θ\theta, som har en fordeling som ikke inneholder θ\theta (eller andre ukjente). Nettopp fordi fordelingen er fri for θ\theta, kan vi sette faste kvantiler rundt størrelsen og «pakke ut» θ\theta til et intervall.

Eksempel: Xˉ−μσ/n∼N(0,1)\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1) er en pivotal for μ\mu (fordelingen N(0,1)N(0,1) er fri for μ\mu). Motsatt er Xˉ\bar{X} ikke en pivotal, for fordelingen til Xˉ\bar{X} avhenger av μ\mu. Å finne en pivotal er det kreative steget; resten er mekanikk.

Pivotal-metoden (tre steg)
For å konstruere et (1−α)(1-\alpha)-konfidensintervall for en parameter θ\theta:

Steg 1 — finn en pivotal. Finn W=W(X1,…,Xn;θ)W = W(X_1, \ldots, X_n; \theta) med kjent fordeling fri for θ\theta. Standardtilfellene: Xˉ−μS/n∼tn−1\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}; (n−1)S2σ2∼χn−12\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}; 2∑Xiβ∼χ2n2\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta} \sim \chi^2_{2n}.

Steg 2 — sett kvantiler rundt. Velg w1,w2w_1, w_2 (kvantilene i pivotalens fordeling) slik at
P(w1≤W≤w2)=1−α,P(w_1 \le W \le w_2) = 1-\alpha,
typisk med α/2\alpha/2 i hver hale: w1=w_1 = nedre kvantil, w2=w_2 = øvre kvantil.

Steg 3 — løs dobbeltulikheten for θ\theta. Algebraisk isoler θ\theta i midten. Pass på retningen: deler du på et negativt tall eller inverterer (tar den resiproke), snur ulikheten — og da bytter de to endepunktene plass. Resultatet er intervallet.

✏️Eksempel 1: Metoden på et kjent tilfelle (gjenkjenn oppskriften)

Bruk pivotal-metoden på (n−1)S2σ2∼χn−12\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} til å utlede konfidensintervallet for variansen σ2\sigma^2 (det du brukte som ferdig formel i kap. 6.1). Pass spesielt på ulikhetsretningen.

Steg 1 — pivotal. W=(n−1)S2σ2∼χn−12\displaystyle W = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} — fordelingen χn−12\chi^2_{n-1} er fri for σ2\sigma^2, så WW er en pivotal.

Steg 2 — kvantiler. Med α/2\alpha/2 i hver hale:
P ⁣(χn−1, 1−α/22≤(n−1)S2σ2≤χn−1, α/22)=1−α.P\!\left(\chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2} \le \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \le \chi^2_{n-1,\,\alpha/2}\right) = 1-\alpha.
(Den lille kvantilen χn−1,1−α/22\chi^2_{n-1,1-\alpha/2} til venstre, den store χn−1,α/22\chi^2_{n-1,\alpha/2} til høyre.)

Steg 3 — løs for σ2\sigma^2. Her sitter σ2\sigma^2 i nevneren. Vi inverterer hele ulikheten (tar den resiproke av alle tre ledd), og da snur ulikhetstegnene:
1χn−1, 1−α/22≥σ2(n−1)S2≥1χn−1, α/22.\frac{1}{\chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2}} \ge \frac{\sigma^2}{(n-1)S^2} \ge \frac{1}{\chi^2_{n-1,\,\alpha/2}}.
Gang med (n−1)S2(n-1)S^2 og snu leseretningen:
(n−1)S2χn−1, α/22≤σ2≤(n−1)S2χn−1, 1−α/22.\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\,\alpha/2}} \le \sigma^2 \le \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2}}.

Sensornotat: legg merke til hva inverteringen gjorde: den store kvantilen, som stod til høyre i steg 2, endte i nevneren under den nedre grensen. Det er nettopp den ombyttingen som gir det asymmetriske intervallet fra kap. 6.1 — og som er lett å rote til hvis man glemmer at ulikheten snur ved invertering.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — begrepet pivotal.) Avgjør for hver størrelse om den er en pivotal for den angitte parameteren, og begrunn med ett ord om fordelingen.

a) Xˉ−μσ/n\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} for μ\mu (kjent σ\sigma).

b) Xˉ\bar{X} for μ\mu.

c) 2∑Xiβ\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta} for β\beta (eksponensialdata).

Hovedeksempel: eksakt konfidensintervall for β\beta (~18 min)

Eksakt konfidensintervall for β\beta (eksponensialdata)
For uavhengige eksponensialfordelte levetider X1,…,XnX_1, \ldots, X_n med forventning β\beta gir eksponensialpivotalen 2∑Xiβ∼χ2n2\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta} \sim \chi^2_{2n} det eksakte (1−α)(1-\alpha)-konfidensintervallet:

[2∑xiχ2n, α/22,  2∑xiχ2n, 1−α/22].\left[\frac{2\sum x_i}{\chi^2_{2n,\,\alpha/2}},\; \frac{2\sum x_i}{\chi^2_{2n,\,1-\alpha/2}}\right].

«Eksakt» betyr at dekningen er nøyaktig 1−α1-\alpha for alle utvalgsstørrelser — i motsetning til det normaltilnærmede intervallet, som bare er tilnærmet riktig for stor nn. Som i variansintervallet står den store kvantilen (χ2n,α/22\chi^2_{2n,\alpha/2}) under den nedre grensen, fordi β\beta inverteres når vi løser den ut. Frihetsgraden er 2n2n — aldri nn eller n−1n-1.

✏️Eksempel 2: Full utledning og utregning

Levetidene X1,…,X12X_1, \ldots, X_{12} (i tusen timer) til tolv likelydende pumper er uavhengige og eksponensialfordelte med forventning β\beta. Målt sum er ∑xi=96\sum x_i = 96.

a) Utled et eksakt 95 % konfidensintervall for β\beta fra pivotalen 2∑Xiβ∼χ2n2\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta} \sim \chi^2_{2n}.

b) Regn ut intervallet.

a) Utledning. n=12n = 12, så pivotalen er 2∑Xiβ∼χ242\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta} \sim \chi^2_{24}. Med α/2=0,025\alpha/2 = 0{,}025 i hver hale:
P ⁣(χ24, 0,9752≤2∑Xiβ≤χ24, 0,0252)=0,95.P\!\left(\chi^2_{24,\,0{,}975} \le \frac{2\sum X_i}{\beta} \le \chi^2_{24,\,0{,}025}\right) = 0{,}95.
Her sitter β\beta i nevneren. Inverter alle tre ledd (ulikheten snur), og gang med 2∑Xi2\sum X_i:
2∑xiχ24, 0,0252≤β≤2∑xiχ24, 0,9752.\frac{2\sum x_i}{\chi^2_{24,\,0{,}025}} \le \beta \le \frac{2\sum x_i}{\chi^2_{24,\,0{,}975}}.
Den store kvantilen havnet under den nedre grensen — akkurat som i eksempel 1.

b) Utregning. Tabelloppslag i χ242\chi^2_{24}: χ24; 0,0252=39,364\chi^2_{24;\,0{,}025} = 39{,}364 og χ24; 0,9752=12,401\chi^2_{24;\,0{,}975} = 12{,}401. Med 2∑xi=2⋅96=1922\sum x_i = 2 \cdot 96 = 192:
[19239,364,  19212,401]=[4,88,  15,48] (tusen timer).\left[\frac{192}{39{,}364},\; \frac{192}{12{,}401}\right] = [4{,}88,\; 15{,}48] \text{ (tusen timer)}.

Med 95 % tillit ligger forventet levetid mellom ca. 4 880 og 15 480 timer. (Punktestimatet er β^=xˉ=96/12=8\hat{\beta} = \bar{x} = 96/12 = 8 tusen timer — merk at intervallet ikke ligger symmetrisk om 8.)

Sensornotat: skriv 2∑xi=1922\sum x_i = 192 og begge tabelloppslagene eksplisitt. Den store kvantilen (39,36439{,}364) hører til den nedre grensen; bytter du dem, får du nedre > øvre — umulig. Frihetsgrad 2n=242n = 24, ikke 12.

— naturlig pausepunkt —

📝Oppgave 2

Ti kondensatorer har uavhengige, eksponensialfordelte levetider (i tusen timer) med forventning β\beta, og ∑xi=84\sum x_i = 84.

a) Angi fordelingen til 2∑Xiβ\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta}.

b) Utled og regn ut et eksakt 90 % konfidensintervall for β\beta. Bruk χ20; 0,052=31,410\chi^2_{20;\,0{,}05} = 31{,}410 og χ20; 0,952=10,851\chi^2_{20;\,0{,}95} = 10{,}851.

Eksakt vs. normaltilnærmet intervall (~16 min)

Det finnes et alternativt intervall for β\beta som bygger på sentralgrenseteoremet (kap. 3.3) i stedet for den eksakte pivotalen. Siden β^=Xˉ\hat{\beta} = \bar{X} og Var(Xˉ)=β2/n\text{Var}(\bar{X}) = \beta^2/n (fordi Var(Xi)=β2\text{Var}(X_i) = \beta^2), er Xˉ\bar{X} for stor nn tilnærmet normalfordelt, og et normaltilnærmet intervall blir
β^±zα/2 β^n\hat{\beta} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\hat{\beta}}{\sqrt{n}}
(der vi har satt β^\hat{\beta} inn for β\beta i standardfeilen). Dette er symmetrisk om β^\hat{\beta} og lett å regne — men det er bare tilnærmet riktig, og tilnærmingen er dårlig når nn er liten eller fordelingen skjev (og eksponensialfordelingen er skjev).

Hovedbudskapet: det eksakte kjikvadrat-intervallet er å foretrekke. Ved liten nn er det typisk bredere og forskjøvet oppover (asymmetrisk), fordi det respekterer skjevheten i fordelingen. Det er en feil å tro at det smalere, normaltilnærmede intervallet er «riktigere» fordi det er smalere — smalt er ikke det samme som korrekt dekning. Det tilnærmede kan til og med gi en negativ nedre grense, som er meningsløst for en levetid.

✏️Eksempel 3: De to intervallene side om side

Bruk pumpedataene fra eksempel 2 (n=12n = 12, ∑xi=96\sum x_i = 96, β^=8\hat{\beta} = 8). Regn ut det normaltilnærmede 95 % intervallet for β\beta og sammenlign med det eksakte [4,88,  15,48][4{,}88,\; 15{,}48].

Normaltilnærmet intervall. β^=8\hat{\beta} = 8, standardfeil β^/n=8/12=2,309\hat{\beta}/\sqrt{n} = 8/\sqrt{12} = 2{,}309. Med z0,025=1,96z_{0{,}025} = 1{,}96:
8±1,96⋅2,309=8±4,526=[3,47,  12,53].8 \pm 1{,}96 \cdot 2{,}309 = 8 \pm 4{,}526 = [3{,}47,\; 12{,}53].

Sammenligning.

NedreØvreBreddeForm
Eksakt (χ242\chi^2_{24})4,8815,4810,60asymmetrisk om 8
Normaltilnærmet3,4712,539,05symmetrisk om 8

Det eksakte intervallet er bredere (10,60 mot 9,05) og forskjøvet oppover — det fanger at eksponensialfordelingen har en lang høyrehale. Det normaltilnærmede er smalere og symmetrisk, men med bare n=12n = 12 er normaltilnærmingen tvilsom, så den nøyaktige dekningen svikter.
Konklusjon: bruk det eksakte intervallet. At det tilnærmede er smalere, gjør det ikke bedre — tvert imot undervurderer det usikkerheten.
Sensornotat: poenget sensor er ute etter er at smalere ikke betyr riktigere. Skriv eksplisitt at det eksakte foretrekkes, særlig ved liten nn.

📝Oppgave 3

For kondensatordataene i oppgave 2 (n=10n = 10, β^=xˉ=8,4\hat{\beta} = \bar{x} = 8{,}4) skal du sammenligne med det eksakte 90 % intervallet [5,35,  15,48][5{,}35,\; 15{,}48].

a) Regn ut det normaltilnærmede 90 % intervallet β^±z0,05 β^/n\hat{\beta} \pm z_{0{,}05}\,\hat{\beta}/\sqrt{n} med z0,05=1,645z_{0{,}05} = 1{,}645.

b) Hvilket intervall bør rapporteres, og hvorfor er det galt å velge det smaleste utelukkende fordi det er smalt?

KI-transformasjon via monoton funksjon (~14 min)

KI-transformasjon via en monoton funksjon

Ofte er ikke β\beta i seg selv det interessante, men en avledet størrelse g(β)g(\beta) — medianlevetiden βln⁡2\beta\ln 2, en overlevelsessannsynlighet, eller en sjelden hendelse. Nøkkelregelen:

Er [L,U][L, U] et (1−α)(1-\alpha)-konfidensintervall for θ\theta, og gg er en strengt voksende funksjon, så er [g(L), g(U)][g(L),\, g(U)] et (1−α)(1-\alpha)-konfidensintervall for g(θ)g(\theta).

Grunnen er enkel: for voksende gg er utsagnet L≤θ≤UL \le \theta \le U ekvivalent med g(L)≤g(θ)≤g(U)g(L) \le g(\theta) \le g(U), så sannsynligheten 1−α1-\alpha bevares. Er gg strengt avtakende, snur ulikheten, og endepunktene bytter plass: intervallet blir [g(U), g(L)][g(U),\, g(L)]. Sjekk alltid om gg vokser eller avtar før du setter inn — det avgjør rekkefølgen på endepunktene.

✏️Eksempel 4: Intervall for medianlevetiden

For en eksponensialfordeling med forventning β\beta er medianlevetiden m=βln⁡2m = \beta\ln 2 (tiden der halvparten har sviktet). Bruk det eksakte intervallet [4,88,  15,48][4{,}88,\; 15{,}48] for β\beta (fra eksempel 2, i tusen timer) til å konstruere et 95 % konfidensintervall for medianlevetiden.

Sjekk monotoni. g(β)=βln⁡2g(\beta) = \beta\ln 2 er strengt voksende i β\beta (ln⁡2≈0,693>0\ln 2 \approx 0{,}693 > 0), så endepunktene beholder rekkefølgen.

Sett inn. gg på begge ender:
[ 4,88⋅ln⁡2,  15,48⋅ln⁡2 ]=[4,88⋅0,6931,  15,48⋅0,6931]=[3,38,  10,73] (tusen timer).[\,4{,}88 \cdot \ln 2,\; 15{,}48 \cdot \ln 2\,] = [4{,}88 \cdot 0{,}6931,\; 15{,}48 \cdot 0{,}6931] = [3{,}38,\; 10{,}73] \text{ (tusen timer)}.

Med 95 % tillit ligger medianlevetiden mellom ca. 3 380 og 10 730 timer.

Sensornotat: det eneste ekstra steget er å gange begge endepunktene med ln⁡2\ln 2. Fordi gg er voksende, forblir 4,88 den nedre og 15,48 den øvre grensen. Hadde gg vært avtakende (f.eks. en overlevelsessannsynlighet som funksjon av rate), måtte endepunktene byttet plass.

📝Oppgave 4

For pumpene i eksempel 2 er sannsynligheten for at én pumpe overlever t=2t = 2 (tusen timer) lik R=e−t/β=e−2/βR = e^{-t/\beta} = e^{-2/\beta}. Bruk det eksakte 95 % intervallet [4,88,  15,48][4{,}88,\; 15{,}48] for β\beta.

a) Er g(β)=e−2/βg(\beta) = e^{-2/\beta} voksende eller avtakende i β\beta? Begrunn kort.

b) Konstruer et 95 % konfidensintervall for overlevelsessannsynligheten RR.

Begrepsbank

De sentrale begrepene og formlene i kapitlet, samlet som repetisjonskort.

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Standardpivotalene (tre å kunne)

De tre pivotalene som dekker nesten alle eksamensoppgaver: (1) Xˉ−μS/n∼tn−1\displaystyle \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} (for μ\mu, ukjent σ\sigma); (2) (n−1)S2σ2∼χn−12\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} (for σ2\sigma^2); (3) 2∑Xiβ∼χ2n2\displaystyle \frac{2\sum X_i}{\beta} \sim \chi^2_{2n} (for β\beta, eksponensialdata). Alle har fordelinger fri for parameteren.

Invertering: ulikheten snur

Når parameteren sitter i nevneren og du inverterer (tar den resiproke av) en dobbeltulikhet, snur alle ulikhetstegn, og de to endepunktene bytter plass. Derfor havner den store kvantilen under den nedre grensen i σ2\sigma^2- og β\beta-intervallene. Sjekk alltid: nedre grense må være mindre enn øvre.

Eksakt vs. normaltilnærmet KI

Det eksakte kjikvadrat-intervallet for β\beta har nøyaktig dekning 1−α1-\alpha for alle nn. Det normaltilnærmede β^±zα/2β^/n\hat{\beta} \pm z_{\alpha/2}\hat{\beta}/\sqrt{n} bygger på CLT og er bare tilnærmet riktig for stor nn. Ved liten nn er det eksakte bredere og å foretrekke; smalt betyr ikke riktigere dekning.

Avtakende transformasjon: bytt plass

Ved KI-transformasjon g(θ)g(\theta): er gg strengt avtakende, snur ulikheten og endepunktene bytter plass — intervallet blir [g(U),g(L)][g(U), g(L)], ikke [g(L),g(U)][g(L), g(U)]. Eksempel: en størrelse som avtar med β\beta. Sjekk fortegnet på g′g' (eller resonner) før innsetting.

Avledet størrelse: medianlevetid

For eksponensial er medianlevetiden m=βln⁡2m = \beta\ln 2 (tiden der F(m)=1/2F(m) = 1/2). Siden g(β)=βln⁡2g(\beta) = \beta\ln 2 er voksende, får man KI for medianen ved å gange begge endepunktene i β\beta-intervallet med ln⁡2≈0,693\ln 2 \approx 0{,}693. Samme grep gir intervaller for kvantiler og hundreårs-hendelser.

Frihetsgrad 2n2n (eksponensialpivotalen)

I eksponensialtilfellet er frihetsgraden 2n2n — ikke nn og ikke n−1n-1 — fordi hver av de nn observasjonene bidrar med et χ22\chi^2_2-ledd (2Xi/β∼χ222X_i/\beta \sim \chi^2_2). Dette er den vanligste enkeltfeilen. Kontrast: t-intervallet bruker n−1n-1, σ2\sigma^2-intervallet bruker n−1n-1.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.