4.2 Drill: eksponensialens kjikvadrat-apparat

Den hyppigste vanskelige gjengangeren i hele arkivet: vis at $2X/\beta \sim \chi^2_2$, løft til $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ — og gjør det på autopilot.

80 min

10 oppgaver

Drilleksponensialens kjikvadrat-apparat

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Transformasjonsteknikkene og ordningsvariable

Brukes videre i

4.PPrøver til del 4: Transformasjoner og ordningsvariable 6.2Pivotal-metoden: eksakte intervaller når normalapparatet ikke strekker til

*Dette er bokas signaturdrill — den hyppigste vanskelige gjengangeren i hele arkivet.

- Transformasjonen $2X/\beta \sim \chi^2_2$ og pivotalen $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ går igjen i minst 9 sett (Nov18, Mai21, Mai22, Aug22, Des22, Aug23, Aug24, Des25, Mai26). En pivotal er en størrelse bygget av data og en ukjent parameter, som har en fordeling uten ukjente parametre — akkurat det som skal til for å lage et konfidensintervall.
- Prioritet: perfekt (det høyeste nivået) — dette er A-kandidatens signaturferdighet og broen til de eksakte konfidensintervallene i Del 6 og de eksakte testene i Del 7.
- Samme oppskrift gjenbrukes på Weibull-, Gumbel- og Pareto-data: en potens- eller log-transformasjon gjør dem om til eksponensial(1) først, deretter kjører du apparatet.

Hvor poengene sitter (fra løsningsforslagene): i ulikhetshåndteringen i CDF-steget, i MGF-entydigheten når du identifiserer summen, og fremfor alt i frihetsgradene: $2n$ , ikke $n$ . Des23 tester eksplisitt forskjellen på frihetsgrader når $\hat{\beta}$ erstatter $\beta$ .

Formelsamlingen (hjelpemiddelkode C) har $\chi^2$ -kvantiltabellen — men utledningen* av at pivotalen er $\chi^2_{2n}$ må du gjøre selv. Det er ren teknikk, ikke oppslag.

Forkunnskaper: Dette drillkapitlet forutsetter de tre teknikkene fra kap. 4.1: fordelingsfunksjonsteknikken (CDF-metoden), MGF-produktregelen med entydighetsargumentet, og — som råstoff — eksponensial- og kjikvadratfordelingen fra kap. 2.3 (husk at

2X/\beta \sim \chi^2_2

ble forhåndsvarslet der; her utleder vi det).

Du bør kunne at $\chi^2_2$ er en eksponensialfordeling med forventning 2 (så $F_{\chi^2_2}(y) = 1 - e^{-y/2}$ ), og at MGF-en til eksponensial $(\beta)$ er $(1 - \beta t)^{-1}$ mens MGF-en til $\chi^2_\nu$ er $(1 - 2t)^{-\nu/2}$ . Ingen ny teori — bare tempo og presisjon på den samme utledningen, på mange varianter.

Løsningsoppskriften (fire trinn)

Uansett hvordan oppgaven er kledd, følger kjikvadrat-apparatet samme fire trinn:

1. Vis $2X/\beta \sim \chi^2_2$ med CDF-metoden. For $X \sim \text{eksp}(\beta)$ , sett $Y = 2X/\beta$ . Da er, for $y > 0$ ,
$F_Y(y) = P\!\left(\frac{2X}{\beta} \le y\right) = P\!\left(X \le \frac{\beta y}{2}\right) = 1 - e^{-(\beta y/2)/\beta} = 1 - e^{-y/2}.$
Dette er fordelingsfunksjonen til en eksponensial med forventning 2, altså $\chi^2_2$ . Pass på ulikhetsretningen — $g(x) = 2x/\beta$ er voksende, så ulikheten snur ikke.

2. Løft til summen med MGF-produktregelen. Hver $2X_i/\beta \sim \chi^2_2$ har MGF $(1 - 2t)^{-1}$ . For uavhengige $X_1, \ldots, X_n$ :
$M_{2\sum X_i/\beta}(t) = \prod_{i=1}^{n}(1 - 2t)^{-1} = (1 - 2t)^{-n},$
som er MGF-en til $\chi^2_{2n}$ . Ved entydighet: $2\sum_{i=1}^{n} X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ . Frihetsgradene er $2n$ , ikke $n$ — det er faktoren 2 fra hver observasjon.

3. Generaliser via potens-/log-løft. Er dataene Weibull med $F(x) = 1 - e^{-(x/\theta)^k}$ , så er $(X/\theta)^k \sim \text{eksp}(1)$ — potens-transformér først, så er du tilbake til eksponensialtilfellet: $2\sum (X_i/\theta)^k \sim \chi^2_{2n}$ . Samme grep for Gumbel og Pareto med et oppgitt hint om transformasjonen.

4. Pek fremover. Dette er nettopp pivotalen som gir et eksakt konfidensintervall for $\beta$ i kap. 6.2 og en eksakt test i Del 7-kjeden — fordi $\chi^2_{2n}$ ikke inneholder den ukjente $\beta$ . Utledningen du driller her, er selve broen inn i inferensen.

✏️Gjennomregnet eksamenscase (med sensornotater)

Levetidene $X_1, \ldots, X_{12}$ (i tusen timer) til et kretskort er uavhengige og eksponensialfordelte med forventning $\beta$ .

a) Vis ved fordelingsfunksjonsteknikken at $2X_1/\beta$ er kjikvadratfordelt med 2 frihetsgrader.

b) Angi med begrunnelse fordelingen til $2\sum_{i=1}^{12} X_i/\beta$ .

c) Forklar med én setning hvorfor denne størrelsen er en pivotal.

a) CDF-metoden (trinn 1). La

Y = 2X_1/\beta

. Funksjonen

g(x) = 2x/\beta

er voksende, så ulikheten snur ikke. For

y > 0

F_Y(y) = P\!\left(\frac{2X_1}{\beta} \le y\right) = P\!\left(X_1 \le \frac{\beta y}{2}\right) = 1 - e^{-(\beta y/2)/\beta} = 1 - e^{-y/2}.

Dette er fordelingsfunksjonen til en eksponensial med forventning 2, som er

\chi^2_2

. Altså

2X_1/\beta \sim \chi^2_2

> Sensornotat: poenget sitter i overgangen $P(2X_1/\beta \le y) = P(X_1 \le \beta y/2)$ — vis at $g$ er voksende, så leseren ser at ulikheten ikke snur. Legg merke til at $\beta$ kanselleres i eksponenten; det er derfor størrelsen blir parameterfri.

b) MGF-produktregelen (trinn 2). Hver $2X_i/\beta \sim \chi^2_2$ med MGF $(1 - 2t)^{-1}$ , og variablene er uavhengige, så
$M_{2\sum X_i/\beta}(t) = \prod_{i=1}^{12}(1 - 2t)^{-1} = (1 - 2t)^{-12}.$
Dette er MGF-en til $\chi^2_{24}$ . Ved entydighet (MGF-en bestemmer fordelingen): $2\sum_{i=1}^{12} X_i/\beta \sim \chi^2_{24}$ .

> Sensornotat: frihetsgraden er $2n = 2 \cdot 12 = 24$ , ikke $n = 12$ . Dette er den vanligste enkeltfeilen. Og entydighetsargumentet må stå eksplisitt — ellers har du bare regnet ut en funksjon.

c) Størrelsen $2\sum X_i/\beta$ er en pivotal fordi den er bygget av data og $\beta$ , men fordelingen $\chi^2_{24}$ ikke inneholder $\beta$ (eller andre ukjente) — nettopp det som lar oss snu den til et konfidensintervall for $\beta$ i kap. 6.2.

— naturlig pausepunkt — nå driller du selv, på nye varianter.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — kjernesteget.) $X$ er eksponensialfordelt med forventning $\beta$ . La $Y = 2X/\beta$ .

a) Er $g(x) = 2x/\beta$ voksende eller avtakende? Hva betyr det for ulikheten?

b) Regn ut $F_Y(y) = P(2X/\beta \le y)$ og vis at den er $1 - e^{-y/2}$ .

c) Hvilken fordeling er dette?

📝Oppgave 2

Det er kjent at $2X_i/\beta \sim \chi^2_2$ for hver av $n = 8$ uavhengige eksponensiale.

a) Hvilken fordeling har $2\sum_{i=1}^{8} X_i/\beta$ ?

b) Hva blir frihetsgraden hvis $n = 20$ i stedet?

📝Oppgave 3

Ventetidene $X_1, \ldots, X_6$ mellom feil på en fiberkabel er uavhengige og eksponensialfordelte med forventning $\beta$ .

a) Vis kort at $2X_1/\beta \sim \chi^2_2$ .

b) Bruk MGF-produktregelen til å identifisere fordelingen til $2\sum_{i=1}^{6} X_i/\beta$ , med eksplisitt entydighetsargument.

📝Oppgave 4

X

er eksponensialfordelt med forventning

\beta

, og

2X/\beta \sim \chi^2_2

. Bruk at

\chi^2_2

har fordelingsfunksjon

F(y) = 1 - e^{-y/2}

a) Finn $P(2X/\beta > 3)$ .

b) Finn $P(2X/\beta > 5)$ .

c) (Sanity-sjekk.) Uttrykk hendelsen $\{2X/\beta > 3\}$ som en hendelse om $X$ , og bekreft at svaret i a) også kan fås direkte fra $P(X > 3\beta/2)$ .

📝Oppgave 5

Vindstyrken $X$ (i m/s) på en offshore-plattform er Weibull-fordelt med $F(x) = 1 - e^{-(x/\theta)^k}$ , med kjent form $k$ og skala $\theta$ . La $W = (X/\theta)^k$ .

a) Vis ved CDF-metoden at $W \sim \text{eksp}(1)$ .

b) Hvilken fordeling har da $2W$ ?

📝Oppgave 6

n

vindturbin-lagre har Weibull-fordelte levetider med kjent form

k

og skala

\theta

F(x) = 1 - e^{-(x/\theta)^k}

. Du har allerede vist at

(X_i/\theta)^k \sim \text{eksp}(1)

a) Angi fordelingen til $2\sum_{i=1}^{n}(X_i/\theta)^k$ , med begrunnelse.

b) Med $n = 10$ : hva blir frihetsgraden?

📝Oppgave 7

Bruddstyrkene $X_1, \ldots, X_{15}$ (i kN) til offshore-bolter er uavhengige og eksponensialfordelte med forventning $\beta$ .

a) Utled fra bunnen av at $2X_1/\beta \sim \chi^2_2$ (vis CDF-steget).

b) Angi med fullt MGF-argument fordelingen til $V = 2\sum_{i=1}^{15} X_i/\beta$ .

c) Uttrykk $\bar{X}$ ved $V$ , og bruk det til å argumentere for at $2n\bar{X}/\beta \sim \chi^2_{2n}$ .

📝Oppgave 8

En oppskriftsfordeling: nedbørstoppene $X$ (over et referansenivå $x_0 = 1$ ) følger en Pareto-fordeling med $F(x) = 1 - x^{-\alpha}$ for $x > 1$ , med kjent $\alpha > 0$ . La $W = \alpha \ln X$ .

a) Vis ved CDF-metoden at $W \sim \text{eksp}(1)$ .

b) Angi fordelingen til $2\sum_{i=1}^{n}\alpha \ln X_i$ for et uavhengig utvalg.

📝Oppgave 9

En oppskriftsfordeling: ekstreme temperaturer $X$ følger en Gumbel-fordeling med $F(x) = e^{-e^{-(x-a)/b}}$ for alle reelle $x$ , med kjente $a$ og $b > 0$ . La $W = e^{-(X-a)/b}$ .

a) Er $g(x) = e^{-(x-a)/b}$ voksende eller avtakende? Vis ved CDF-metoden at $W \sim \text{eksp}(1)$ .

b) Angi fordelingen til $2\sum_{i=1}^{n} e^{-(X_i-a)/b}$ .

📝Oppgave 10

(Frihetsgrad-fellen, Des23-stil.) For et utvalg $X_1, \ldots, X_n$ av eksponensiale med forventning $\beta$ er $\hat{\beta} = \bar{X}$ maximum-likelihood-estimatoren (kap. 5.2).

a) Skriv $2n\bar{X}/\beta$ ved hjelp av $\sum X_i$ , og angi fordelingen.

b) En student skriver at $2n\bar{X}/\hat{\beta} \sim \chi^2_{2n}$ . Forklar hvorfor det er meningsløst, og hva frihetsgraden i pivotalen faktisk avhenger av.

Typiske feil

- Frihetsgrad $n$ i stedet for $2n$ . Pivotalen er $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$ — hver observasjon bidrar med $\chi^2_2$ , så summen har $2n$ frihetsgrader. Dette er den vanligste enkeltfeilen i hele apparatet.
- Slurve med ulikhetsretningen i CDF-steget. For $Y = 2X/\beta$ er $g$ voksende (ulikheten snur ikke); for avtakende løft (som Gumbel-transformasjonen $e^{-(X-a)/b}$ ) snur den, og du får et komplement.
- Hoppe over MGF-entydighetsargumentet. Å regne ut $(1-2t)^{-n}$ er ikke nok — du må si at MGF-en bestemmer fordelingen for å konkludere $\chi^2_{2n}$ .
- Glemme potens-/log-løftet for Weibull, Gumbel og Pareto. Apparatet gjelder eksponensiale data. Transformér først til eksponensial ( $(X/\theta)^k$ , $\alpha \ln X$ , $e^{-(X-a)/b}$ ), så kjør kjikvadrat-koblingen.
- Sette estimatet inn i pivotalen. $2n\bar{X}/\hat{\beta}$ med $\hat{\beta} = \bar{X}$ blir konstanten $2n$ — pivotalen krever den ukjente $\beta$ i nevneren.

Oppskrifts- og formelkort

De fem kortene du bør kunne på autopilot — selve kjikvadrat-apparatet.

Kortene er flashcard-/repetisjonsstoff — de gjentar oppskriften. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder drillen.

Oppskriftskort: kjikvadrat-apparatet i fire trinn

2X/\beta \sim \chi^2_2

Formelkort:

2X/\beta \sim \chi^2_2

per observasjon

X \sim \text{eksp}(\beta)

Formelkort:

2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}

— frihetsgrad

2n

X_1, \ldots, X_n \sim \text{eksp}(\beta)

Formelkort: potens-/log-løftet

F(x) = 1 - e^{-(x/\theta)^k}

Feilkort: pivotalen krever ukjent

\beta

\chi^2_{2n}

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.