2.3 Kontinuerlige fordelinger: eksponensial, gamma, Weibull — og «oppskriftsfordelingene»

$$f(x) = \frac{1}{b-a} \text{ for } a < x < b, \qquad F(x) = \frac{x-a}{b-a} \text{ for } a \le x \le b.$$

$$E(X) = \frac{a+b}{2}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}.$$

Sannsynligheter blir rene lengdeforhold: $P(X > c) = \dfrac{b - c}{b - a}$. Uniformfordelingen på $(0, 1)$ er dessuten råstoffet for simulering (inversjonsmetoden, kap. 4.1).

$$f(x) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta}, \qquad F(x) = 1 - e^{-x/\beta} \quad (x > 0), \qquad E(X) = \beta, \quad \text{Var}(X) = \beta^2.$$

Halesannsynligheten er spesielt enkel: $P(X > x) = e^{-x/\beta}$. (Enkelte bøker skriver samme fordeling på rate-form $\lambda e^{-\lambda x}$ med $\lambda = 1/\beta$; vi bruker konsekvent forventnings-formen $\beta$, og reserverer $\lambda$ for Poisson-rater.) Legg merke til at standardavviket er lik forventningen: $\text{SD}(X) = \beta$.

$$P(X > s + t \mid X > t) = P(X > s).$$

Med andre ord: en brukt komponent er «like god som ny» — fortiden glemmes. Dette er unikt for eksponensialfordelingen blant de kontinuerlige fordelingene. Egenskapen utledes (ikke slås opp) fra definisjonen av betinget sannsynlighet, som vist i eksempelet under.

$$X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n \sim \text{gamma}(n, \beta), \qquad E(X) = n\beta, \quad \text{Var}(X) = n\beta^2.$$

Tolkning: ventetiden til den $n$-te hendelsen i en Poisson-prosess er gamma. Forventning og varians følger direkte av regnereglene i kap. 2.1 (summen av forventninger, summen av varianser for uavhengige). At summen faktisk er gamma-fordelt vises med MGF-teknikken i kap. 4.1 — her bruker vi resultatet.

$$\text{er } X \sim \text{eksp}(\beta), \text{ så er } \frac{2X}{\beta} \sim \chi^2_2.$$

Dette forhåndsvarselet — at en enkel omskalering av en eksponensiell variabel gir en kjikvadratvariabel med 2 frihetsgrader — er broen til eksponensialens konfidensintervall. Selve utledningen kommer i kap. 4.1–4.2; her er poenget bare å kjenne igjen koblingen.

$$F(x) = 1 - e^{-(x/\theta)^k} \quad (x > 0), \qquad P(X > x) = e^{-(x/\theta)^k}.$$

Her er $\theta > 0$ en skalaparameter og $k > 0$ en formparameter. Sannsynligheter og kvantiler regnes rett fra $F$ (og $1 - F$). Spesialtilfellet $k = 1$ er eksponensialfordelingen. Viktig: for $k \ne 1$ er Weibull ikke minneløs — en brukt komponent er ikke like god som ny, og betingede sannsynligheter må regnes eksplisitt (neste eksempel).

Får du en ukjent kontinuerlig fordeling med oppgitt tetthet $f(x)$ eller fordelingsfunksjon $F(x)$, bruker du fire standardgrep — uansett hva fordelingen heter:

1. Normering: hvis en konstant er ukjent, bestem den fra $\int f(x)\,dx = 1$ over støtten.
2. Sannsynligheter: $P(a < X < b) = F(b) - F(a) = \int_a^b f(x)\,dx$; halesannsynlighet $P(X > x) = 1 - F(x)$.
3. Kvantiler/median: løs $F(x_p) = p$ (for median $p = 0{,}5$).
4. Momenter: $E(X) = \int x f(x)\,dx$, $E(X^2) = \int x^2 f(x)\,dx$, deretter $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.

Det er nøyaktig de samme grepene vi driller i kap. 2.4.

$$\int_{\text{støtte}} f(x)\,dx = 1.$$

Dette er første steg — uten riktig $c$ blir alt etterpå galt. Etter normering følger $F$ ved integrasjon, og sannsynligheter, kvantiler og momenter som over. Selve treningen på dette skjer i kap. 2.4; her etablerer vi bare teknikken.

Spesialtilfelle av gamma, med $\nu$ frihetsgrader; sentral i inferens (varians-KI og -tester). Nøkkelkobling: er $X \sim \text{eksp}(\beta)$, er $2X/\beta \sim \chi^2_2$. Kvantilnotasjon med øvre haleareal: $\chi^2_{\nu,\alpha}$. Utledes i Del 4; her bare kjenne koblingen.

Definert ved fordelingsfunksjonen $F(x) = 1 - e^{-(x/\theta)^k}$, med skala $\theta$ og form $k$. Hale: $P(X>x) = e^{-(x/\theta)^k}$. Regn sannsynligheter og kvantiler rett fra $F$. $k = 1$ gir eksponensial; $k > 1$ gir økende feilrate (slitasje), $k < 1$ avtakende. Ikke minneløs for $k \ne 1$.

Minneløsheten $P(X > s+t \mid X > t) = P(X > s)$ gjelder bare eksponensialfordelingen blant de kontinuerlige. En brukt eksponensiell komponent er «like god som ny». For alle andre levetidsmodeller (Weibull, gamma med $n>1$, Pareto) må betingede sannsynligheter regnes eksplisitt fra $F$ — å bruke minneløshet der er en klassisk feil.

Weibulls formparameter $k$ styrer hvordan feilraten utvikler seg: $k = 1$ konstant rate (eksponensial, minneløs), $k > 1$ økende rate (komponenten slites — betinget levetid synker med alder), $k < 1$ avtakende rate (barnedødelighet — overlevde tidlig svikt). Dette forklarer hvorfor Weibull ikke er minneløs når $k \ne 1$.

For en egendefinert tetthet med ukjent konstant $c$: bestem $c$ fra $\int_{\text{støtte}} f(x)\,dx = 1$. Dette er alltid første steg. Glemmer du normeringen, blir fordelingsfunksjon, sannsynligheter og momenter alle gale. Deretter følger $F$ ved integrasjon fra støttens venstre ende.

Fordelingsfunksjonen er integralet av tettheten fra støttens start: $F(x) = \int_{-\infty}^x f(s)\,ds$. Den er stykkevis: $0$ til venstre for støtten, det integrerte uttrykket inne i støtten, og $1$ til høyre. Å oppgi $F$ komplett (med verdiene 0 og 1 utenfor) er et sensorkrav i sjanger C.

Halesannsynligheten (overlevelsesfunksjonen) er $P(X > x) = 1 - F(x)$. For eksponensial er den $e^{-x/\beta}$, for Weibull $e^{-(x/\theta)^k}$. Halesannsynligheter er nyttige for «minst så lenge»-spørsmål og for betingede levetider (del to haler).

Medianen $m$ løser $F(m) = 0{,}5$; $p$-kvantilen $x_p$ løser $F(x_p) = p$. Løs likningen for $x$ — ikke sett $f(m) = 0{,}5$ (en klassisk feil). For eksponensial gir $F(m) = 0{,}5$ medianen $m = \beta \ln 2 \approx 0{,}693\,\beta$, som er mindre enn forventningen $\beta$ (høyreskjev fordeling).

For en kontinuerlig variabel: $E(X) = \int x f(x)\,dx$ og $E(X^2) = \int x^2 f(x)\,dx$ over støtten, deretter $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. Vis alltid mellomregningen i $E(X^2)$-integralet (sensorkrav) — det er der regnefeilene skjer.

En hale-tetthet av typen $f(x) = c/x^{p}$ for $x > x_0$ (Pareto) modellerer ekstremverdier og store utfall. Normeres fra $\int f = 1$, og $F$, kvantiler og momenter regnes med standardteknikken. Merk: for tunge haler kan $E(X)$ være uendelig hvis $p$ er liten nok — sjekk at momentintegralet konvergerer.

Gumbelfordelingen modellerer maksimalverdier (hundreårsflom, ekstrem vind) og oppgis alltid med tetthet/CDF i oppgaven. Ingen egen formel å pugge: bruk den oppgitte $F$ til sannsynligheter ($P(X > x) = 1 - F(x)$) og kvantiler ($F(x_p) = p$). Et rent «oppskriftsfordeling»-eksempel.

I en Poisson-prosess med rate $\lambda$ er tiden mellom hendelser eksponensialfordelt med forventning $\beta = 1/\lambda$, og tiden til den $n$-te hendelsen er gamma$(n, 1/\lambda)$. Diskret antall (Poisson) og kontinuerlig ventetid (eksponensial/gamma) er samme prosess sett fra to sider.

Eksponensialfordelingen er sterkt høyreskjev: medianen $\beta\ln 2 \approx 0{,}693\,\beta$ er mindre enn forventningen $\beta$, og en lang høyrehale gir av og til svært store verdier. Derfor er det ofte forskjell på «typisk» (median) og «gjennomsnittlig» (forventning) levetid — en tolkning sensor liker å spørre om.

Nøkkelbroen til inferens for eksponensielle data: er $X \sim \text{eksp}(\beta)$, er $2X/\beta \sim \chi^2_2$, og for et utvalg er $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$. Dette er pivotalen som gir eksponensialens konfidensintervall (Del 4 og 6). Merk frihetsgraden: alltid $2n$ (ikke $n$ eller $n-1$) i eksponensialtilfellet.

Beta-fordelingen modellerer en andel eller sannsynlighet mellom 0 og 1 (defektandel, fyllingsgrad). Tettheten $f(x) = c\,x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ på $(0,1)$ oppgis i oppgaven med konstanten $c$ (eller den bestemmes ved normering). Behandles med standardteknikken: normer, integrer til $F$, regn sannsynligheter og momenter.

Uniform på $(0,1)$ har $f(x) = 1$, $F(x) = x$, $E = 0{,}5$ og $\text{Var} = 1/12$. Den er råstoffet i inversjonsmetoden for simulering: setter du $U \sim U(0,1)$ inn i $F^{-1}$, får du en trekning fra en vilkårlig fordeling. Denne broen fullføres i kap. 4.1 og simuleringsdelen.

$$P(X > t + s \mid X > t) = \frac{P(X > t+s)}{P(X > t)}.$$

For eksponensial forenkler dette seg til $P(X > s)$ (minneløshet); for Weibull, gamma og oppskriftsfordelinger må brøken regnes eksplisitt. Gjelder $\{X > t+s\} \subseteq \{X > t\}$, så snittet er den øverste hendelsen.

I eksponensialtilfellet er pivotalens frihetsgrad alltid $2n$: $2\sum X_i/\beta \sim \chi^2_{2n}$. Det er en vanlig feil å bruke $\chi^2_n$ eller $\chi^2_{n-1}$ (som hører til normalfordelingens varians). Husk faktoren 2 fra koblingen $2X/\beta \sim \chi^2_2$ per observasjon.