2.4
Alle fag for Høyskole

2.4 Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)

Standardtreningen i kontinuerlig sannsynlighet: fra oppgitt tetthet til normering, CDF, kvantiler og momenter — på eksamenstempo.

80 min
10 oppgaver
Drillden egendefinerte tettheten (sjanger C)
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette drillkapitlet forutsetter teorien i kap. 2.3 («oppskriftsfordeling»-beredskapen, normering, FF, kvantiler, momenter) og de kontinuerlige grunnbegrepene fra kap. 2.1 (tetthet, F′=fF' = f, EE, Var\text{Var}). Betinget sannsynlighet fra kap. 1.3 brukes i betingede-sannsynlighet-stegene.

Matematisk må du kunne integrere polynomer og potenser (∫xn dx=xn+1n+1\int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}, også for negative n≠−1n \ne -1), sette inn grenser (også uendelig for hale-tettheter), og løse enkle likninger for kvantiler. Ingen ny teori introduseres her — bare drill.

Løsningsoppskriften (seks trinn)

Uansett hvordan tettheten ser ut, følger sjanger C-oppgaven samme seks trinn. Lær rekkefølgen utenat, så du aldri stopper opp på eksamen:

1. Normer. Er det en ukjent konstant cc, bestem den fra ∫støttef(x) dx=1\int_{\text{støtte}} f(x)\,dx = 1. Alltid først — uten riktig cc blir resten galt.

2. Utled F(x)F(x) — stykkevis. Integrer opp: F(x)=∫startxf(s) dsF(x) = \int_{\text{start}}^{x} f(s)\,ds. Skriv FF komplett: 00 til venstre for støtten, uttrykket inne i støtten, og 11 til høyre. (For hale-tettheter på (x0,∞)(x_0, \infty) starter integralet i x0x_0.)

3. Regn sannsynligheter og betingede sannsynligheter fra FF. P(a<X<b)=F(b)−F(a)P(a < X < b) = F(b) - F(a); P(X>x)=1−F(x)P(X > x) = 1 - F(x); betinget P(X>b∣X>a)=1−F(b)1−F(a)P(X > b \mid X > a) = \dfrac{1 - F(b)}{1 - F(a)} (for b>ab > a).

4. Finn kvantiler/median. Løs F(xp)=pF(x_p) = p for xpx_p (median: p=0,5p = 0{,}5). Løs likningen for xx — ikke sett f=0,5f = 0{,}5.

5. Regn momentene med mellomregning. E(X)=∫xf(x) dxE(X) = \int x f(x)\,dx, E(X2)=∫x2f(x) dxE(X^2) = \int x^2 f(x)\,dx, deretter Var(X)=E(X2)−[E(X)]2\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2. Vis hvert integral (sensorkrav).

6. Pek fremover. Den inverse F−1F^{-1} (fra trinn 4) er råstoffet i inversjonsmetoden for simulering (Del 9): trekk U∼U(0,1)U \sim U(0,1) og sett inn F−1(U)F^{-1}(U). Verdt å vite at kvantilregningen du gjør her, gjenbrukes der.

✏️Gjennomregnet eksamenscase (med sensornotater)

Slitasjeandelen XX på et borehode (mellom 0 og 1) har tetthet f(x)=c x3f(x) = c\,x^3 for 0<x<10 < x < 1 og 0 ellers.

a) Bestem cc.

b) Utled F(x)F(x).

c) Finn medianen og P(X>0,8∣X>0,5)P(X > 0{,}8 \mid X > 0{,}5).

d) Finn E(X)E(X) og Var(X)\text{Var}(X).

a) Normering (trinn 1).
∫01c x3 dx=c[x44]01=c4=1  ⇒  c=4.\int_0^1 c\,x^3\,dx = c\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{c}{4} = 1 \;\Rightarrow\; c = 4.

Sensornotat: normeringen må stå først og eksplisitt. Hopper du over den, faller alle senere svar.

b) Fordelingsfunksjon (trinn 2), stykkevis.
F(x)=∫0x4s3 ds=[s4]0x=x4,0≤x≤1,F(x) = \int_0^x 4s^3\,ds = \left[s^4\right]_0^x = x^4, \quad 0 \le x \le 1,
med F(x)=0F(x) = 0 for x<0x < 0 og F(x)=1F(x) = 1 for x>1x > 1.

Sensornotat: de tre delene (0, uttrykk, 1) må med for full uttelling.

c) Median og betinget (trinn 3–4). Median: F(m)=m4=0,5⇒m=0,51/4≈0,841F(m) = m^4 = 0{,}5 \Rightarrow m = 0{,}5^{1/4} \approx 0{,}841.
Betinget, med {X>0,8}⊆{X>0,5}\{X > 0{,}8\} \subseteq \{X > 0{,}5\}:
P(X>0,8∣X>0,5)=1−F(0,8)1−F(0,5)=1−0,841−0,54=1−0,40961−0,0625=0,59040,9375≈0,630.P(X > 0{,}8 \mid X > 0{,}5) = \frac{1 - F(0{,}8)}{1 - F(0{,}5)} = \frac{1 - 0{,}8^4}{1 - 0{,}5^4} = \frac{1 - 0{,}4096}{1 - 0{,}0625} = \frac{0{,}5904}{0{,}9375} \approx 0{,}630.

Sensornotat: løs F(m)=0,5F(m) = 0{,}5, ikke f(m)=0,5f(m) = 0{,}5 — den vanligste medianfeilen.

d) Momenter (trinn 5), med mellomregning.
E(X)=∫01x⋅4x3 dx=∫014x4 dx=[45x5]01=45=0,8.E(X) = \int_0^1 x \cdot 4x^3\,dx = \int_0^1 4x^4\,dx = \left[\frac{4}{5}x^5\right]_0^1 = \frac{4}{5} = 0{,}8.
E(X2)=∫01x2⋅4x3 dx=∫014x5 dx=[46x6]01=23.E(X^2) = \int_0^1 x^2 \cdot 4x^3\,dx = \int_0^1 4x^5\,dx = \left[\frac{4}{6}x^6\right]_0^1 = \frac{2}{3}.
Var(X)=23−(45)2=23−1625=50−4875=275≈0,0267.\text{Var}(X) = \frac{2}{3} - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{2}{3} - \frac{16}{25} = \frac{50 - 48}{75} = \frac{2}{75} \approx 0{,}0267.

Sensornotat: vis begge momentintegralene. Et bart sluttsvar uten mellomledd gir trekk selv om tallet stemmer.

— naturlig pausepunkt — nå driller du selv, på nye tetthetsfamilier.

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — bare trinn 1 og 2.) En tetthet er f(x)=c xf(x) = c\,x for 0<x<20 < x < 2 og 0 ellers.

a) Bestem cc.

b) Finn F(x)F(x) for 0≤x≤20 \le x \le 2.

📝Oppgave 2

En tetthet er f(x)=c x2f(x) = c\,x^2 for 0<x<30 < x < 3.

a) Bestem cc.

b) Finn P(X<1)P(X < 1).

📝Oppgave 3

En andel har tetthet f(x)=3x2f(x) = 3x^2 for 0<x<10 < x < 1 (allerede normert).

a) Finn F(x)F(x).

b) Finn medianen.

c) Finn P(X>0,5)P(X > 0{,}5).

📝Oppgave 4

En hale-tetthet (Pareto-type) er f(x)=cx4f(x) = \dfrac{c}{x^4} for x>1x > 1 og 0 ellers.

a) Bestem cc og finn F(x)F(x).

b) Finn P(X>2)P(X > 2).

c) Finn E(X)E(X) og Var(X)\text{Var}(X).

📝Oppgave 5

En symmetrisk «trekant»-tetthet er f(x)=xf(x) = x for 0<x<10 < x < 1 og f(x)=2−xf(x) = 2 - x for 1≤x<21 \le x < 2.

a) Bekreft at ff er normert.

b) Finn P(X<0,5)P(X < 0{,}5).

c) Bruk symmetrien til å oppgi E(X)E(X).

📝Oppgave 6

En stykkevis konstant tetthet er f(x)=cf(x) = c for 0<x<10 < x < 1 og f(x)=2cf(x) = 2c for 1≤x<21 \le x < 2.

a) Bestem cc.

b) Finn P(X<1)P(X < 1).

c) Finn E(X)E(X).

📝Oppgave 7

En tetthet er f(x)=c x3f(x) = c\,x^3 for 0<x<20 < x < 2 og 0 ellers.

a) Bestem cc og finn F(x)F(x).

b) Finn medianen.

c) Finn P(X>1,5∣X>1)P(X > 1{,}5 \mid X > 1).

d) Finn E(X)E(X) og Var(X)\text{Var}(X).

📝Oppgave 8

En tetthet er f(x)=cx3f(x) = \dfrac{c}{x^3} for x>1x > 1 og 0 ellers.

a) Bestem cc og finn F(x)F(x).

b) Finn P(X>2)P(X > 2) og medianen.

c) Finn E(X)E(X), og undersøk om Var(X)\text{Var}(X) eksisterer.

📝Oppgave 9

En tetthet av beta-type er f(x)=12x2(1−x)f(x) = 12x^2(1 - x) for 0<x<10 < x < 1 og 0 ellers.

a) Bekreft at ff er normert.

b) Finn F(x)F(x).

c) Finn E(X)E(X).

📝Oppgave 10

En avtakende tetthet er f(x)=c(2−x)f(x) = c(2 - x) for 0<x<20 < x < 2 og 0 ellers.

a) Bestem cc og finn F(x)F(x).

b) Finn P(X<1)P(X < 1).

c) Finn E(X)E(X).

Oppskrifts- og formelkort

De ti kortene du bør kunne på autopilot før eksamen — selve algoritmen for sjanger C.

Kortene er flashcard-/repetisjonsstoff — de gjentar oppskriften. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder drillen.

Oppskriftskort: de seks trinnene

Sjanger C, i rekkefølge: (1) normer (∫f=1\int f = 1 gir cc); (2) utled FF stykkevis; (3) regn sannsynligheter og betingede fra FF; (4) finn kvantiler/median ved F(xp)=pF(x_p) = p; (5) regn E(X)E(X), E(X2)E(X^2), Var(X)\text{Var}(X) med mellomregning; (6) husk at F−1F^{-1} er inversjonsmetodens råstoff (simulering, Del 9). Følg alltid rekkefølgen.

Formelkort: normering

En ukjent konstant bestemmes av ∫støttef(x) dx=1\int_{\text{støtte}} f(x)\,dx = 1. For f=c xnf = c\,x^n på (0,b)(0, b): c⋅bn+1n+1=1c \cdot \tfrac{b^{n+1}}{n+1} = 1. For en hale f=c x−pf = c\,x^{-p} på (1,∞)(1, \infty) med p>1p > 1: c⋅1p−1=1c \cdot \tfrac{1}{p-1} = 1. Første steg, alltid.

Formelkort: fordelingsfunksjonen stykkevis
F(x)=∫startxf(s) dsF(x) = \int_{\text{start}}^{x} f(s)\,ds, oppgitt komplett: 00 for xx under støtten, integralet inne i støtten, 11 for xx over støtten. For en hale-tetthet fra x0x_0 starter integralet i x0x_0, og F(x0)=0F(x_0) = 0, F(∞)=1F(\infty) = 1.
Formelkort: sannsynligheter fra FF
P(a<X<b)=F(b)−F(a)P(a < X < b) = F(b) - F(a); P(X>x)=1−F(x)P(X > x) = 1 - F(x); P(X<x)=F(x)P(X < x) = F(x). For kontinuerlige variable spiller streng/ikke-streng ulikhet ingen rolle (P(X=x)=0P(X = x) = 0). Bruk FF i stedet for å integrere på nytt hver gang.
Formelkort: betinget sannsynlighet
For b>ab > a, med {X>b}⊆{X>a}\{X > b\} \subseteq \{X > a\}:

P(X>b∣X>a)=P(X>b)P(X>a)=1−F(b)1−F(a).P(X > b \mid X > a) = \frac{P(X > b)}{P(X > a)} = \frac{1 - F(b)}{1 - F(a)}.

Del de to halesannsynlighetene. (Bare eksponensial forenkler dette via minneløshet; for alt annet regnes brøken direkte.)

Formelkort: median og kvantil

Medianen mm løser F(m)=0,5F(m) = 0{,}5; pp-kvantilen løser F(xp)=pF(x_p) = p. Løs likningen for xx. For potens F=xkF = x^k på (0,1)(0,1): m=0,51/km = 0{,}5^{1/k}. For hale F=1−x−qF = 1 - x^{-q}: m=(0,5)−1/qm = (0{,}5)^{-1/q}. Aldri f(m)=0,5f(m) = 0{,}5.

Formelkort: momenter og varians
E(X)=∫xf(x) dxE(X) = \int x f(x)\,dx, E(X2)=∫x2f(x) dxE(X^2) = \int x^2 f(x)\,dx over støtten, deretter Var(X)=E(X2)−[E(X)]2\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2. Vis begge integralene med mellomledd (sensorkrav). For f=c xnf = c\,x^n blir momentintegralene bare nye potenser å integrere.
Formelkort: potens-tetthet

For f(x)=c xnf(x) = c\,x^n på (0,b)(0, b): normering c=n+1bn+1c = \tfrac{n+1}{b^{n+1}}; F(x)=(x/b)n+1F(x) = (x/b)^{n+1}; median m=b (0,5)1/(n+1)m = b\,(0{,}5)^{1/(n+1)}; E(X)=n+1n+2 bE(X) = \tfrac{n+1}{n+2}\,b. Den vanligste enkeltfamilien i sjanger C (3x23x^2, 4x34x^3, cxcx).

Formelkort: hale-tetthet

For f(x)=c x−pf(x) = c\,x^{-p} på (1,∞)(1, \infty) med p>1p > 1: normering c=p−1c = p - 1; F(x)=1−x−(p−1)F(x) = 1 - x^{-(p-1)}; P(X>x)=x−(p−1)P(X > x) = x^{-(p-1)}. Konvergenssjekk: E(X)E(X) finnes bare for p>2p > 2, E(X2)E(X^2) bare for p>3p > 3 — ellers er momentet uendelig.

Feilkort: F(m)=1/2F(m)=1/2, ikke f(m)=1/2f(m)=1/2

Den hyppigste sjanger C-feilen: å løse f(m)=1/2f(m) = 1/2 for medianen. Medianen deler arealet i to, så den løser F(m)=1/2F(m) = 1/2 (kumulativ), aldri tetthetslikningen. Samme feil dukker opp for vilkårlige kvantiler: bruk alltid FF, ikke ff.

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.