9.1 Inversjonsmetoden og numpy-verktøykassen

Fra $F^{-1}$ på papir til kjørbar numpy-funksjon: simulering fra en vilkårlig fordeling med inversjonsmetoden.

60 min

12 oppgaver

Inversjonsmetodennumpy-verktøykassen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.4Drill: den egendefinerte tettheten (sjanger C)4.1Transformasjonsteknikkene og ordningsvariable

Brukes videre i

9.2Monte Carlo som inferensverktøy: simulert sannsynlighet, p-verdi og styrke

Det største strukturelle skiftet i emnet på ti år: koden har flyttet inn i eksamen. Der resten av boka lar deg regne svaret, lar denne delen deg simulere det — og sensor forventer at du kan skrive numpy som faktisk kjører.

- Python/MC totalt i 8 av 9 sett siden des. 2023. Selve inversjonsmetoden — utlede $F^{-1}$ analytisk og skrive/fullføre en numpy-funksjon — er testet i Des23, Aug24, Aug25 og Des25 (Des25 var en Gumbel-fordeling). I Des23 ble du dessuten bedt om å tolke gitt kode: hvilken fordeling genererer snutten, og hva estimerer den?
- Dette er sjanger N — sjanger N betyr rett og slett en oppgave der du skal lese, skrive eller fullføre programkode (oftest simulering). Prioritet: kunne (nivå 2), men reelt obligatorisk lesning, for koden dukker nå opp i nesten hvert sett.

Hvor poengene sitter: i at koden er komplett og kjørbar. Delvis kode gir bare delvis uttelling. Inversjonsmetoden står ikke i formelsamlingen (hjelpemiddelkode C har fordelingstabellene, ikke simuleringsteknikken) — den må kunnes aktivt: utled $F$ , løs $F(x)=u$ , implementer.

Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger rett på kap. 2.4 — der du drillet å gå fra en oppgitt tetthet

f(x)

til fordelingsfunksjonen

F(x)

og til kvantiler ved å løse

F(x_p)=p

. Nettopp den ferdigheten er motoren i inversjonsmetoden. Fra kap. 4.1 tar vi med at fordelingen til en transformert variabel styres av fordelingsfunksjonen, og fra kap. 5.1 hvorfor empirisk varians deles på

n-1

(det blir ddof=1 i numpy).

Sist du var her — de tre resultatene metoden hviler på (ferdig oppfrisket):

1. Fordelingsfunksjonen fra tettheten: $F(x)=\int_{\text{start}}^{x} f(s)\,ds$ , oppgitt komplett (0 under støtten, uttrykket inne, 1 over).
2. Kvantilen løser $F(x_p)=p$ — løs likningen for $x$ , aldri $f(x)=p$ . Den inverse funksjonen $F^{-1}$ er nettopp «løs $F(x)=u$ for $x$ ».
3. Halesannsynlighet: $P(X>x)=1-F(x)$ .

Matematisk trenger du å kunne integrere polynomer og potenser, løse en enkel likning for $x$ , og lese grunnleggende numpy. Ingen ny sannsynlighetsteori innføres her — bare et nytt verktøy for den du alt kan.

Hverdagsanker: en terning gir deg tilfeldige heltall 1–6. Men hva om du trenger tilfeldige bølgehøyder, levetider eller ventetider med en helt bestemt fordeling? Datamaskinen kan bare gi deg ett råstoff: uniformt fordelte tall mellom 0 og 1 (np.random.uniform). Inversjonsmetoden er oppskriften som gjør om det råstoffet til trekk fra hvilken som helst fordeling du kan skrive

F

for — du «mater» de uniforme tallene inn i

F^{-1}

Kapitlet går i fire løkker: inversjonsmetoden og beviset (løkke 1), et hale-eksempel fra bunnen (løkke 2), numpy-verktøykassa med de idiomene sensor ser etter (løkke 3), og kodelesing som egen ferdighet (løkke 4). Hver løkke går teori $\to$ eksempel $\to$ oppgave.

Samlet kjernetid ≈ 60 min. Naturlige pausepunkter er markert mellom løkkene. All kode i kapitlet er komplett og faktisk kjørt — du kan lime den rett inn og få tallene som står.

Løkke 1 — Inversjonsmetoden og beviset (~16 min)

📜Inversjonsmetoden

F

være en (kontinuerlig, strengt voksende) fordelingsfunksjon med invers

F^{-1}

. Er

U\sim \text{uniform}(0,1)

, så har

$X=F^{-1}(U)$

nøyaktig fordelingsfunksjon $F$ .

Beviset i tre linjer. Vi regner ut fordelingsfunksjonen til $X=F^{-1}(U)$ direkte. Fordi $F$ er voksende, er $F^{-1}(U)\le x$ det samme som $U\le F(x)$ :

$P\big(F^{-1}(U)\le x\big)=P\big(U\le F(x)\big)=F(x).$

Det siste likhetstegnet er selve nøkkelen: for $U\sim\text{uniform}(0,1)$ er $P(U\le u)=u$ for $u\in[0,1]$ , og her er $u=F(x)$ . Dermed har $X$ fordelingsfunksjon $F$ — akkurat det vi ønsket. $\blacksquare$

Intuisjon: $F(x)$ er «hvor stor andel av massen som ligger til venstre for $x$ ». Trekker vi en uniform andel $U$ og spør hvilken $x$ -verdi som har akkurat den andelen til venstre for seg (det er $F^{-1}(U)$ ), lander vi tett der massen er — altså med riktig fordeling.

Arbeidsflyten (tre steg)

Uansett fordeling følger inversjonsmetoden samme tre steg:

1. Utled $F$ . Fra tettheten $f$ : $F(x)=\int f$ (teknikken fra kap. 2.4). Er $F$ oppgitt, hopp rett videre.

2. Løs $F(x)=u$ for $x$ . Det gir den inverse $x=F^{-1}(u)$ . Dette er samme likning som kvantilregningen — bare med en generell $u$ i stedet for et tall.

3. Implementer. Trekk $u$ med np.random.uniform(size=n) og sett vektoren inn i uttrykket for $F^{-1}(u)$ . Ferdig funksjon.

Merk at steg 2 er hele det matematiske arbeidet — resten er én linje numpy.

✏️Eksempel 1: Eksponensialfordelingen fra $F$ til kode

Levetiden $X$ (i år) til en pumpe er eksponensialfordelt med forventning $\beta=4$ , altså $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\beta}e^{-x/\beta}$ for $x>0$ . Utled $F^{-1}$ og skriv en Python-funksjon som trekker $n$ levetider med inversjonsmetoden.

Steg 1 — utled $F$ . For eksponensialfordelingen er

F(x)=\int_0^x \tfrac{1}{\beta}e^{-s/\beta}\,ds=1-e^{-x/\beta},\qquad x>0.

Steg 2 — løs $F(x)=u$ .
$1-e^{-x/\beta}=u\;\Rightarrow\; e^{-x/\beta}=1-u\;\Rightarrow\; -\tfrac{x}{\beta}=\ln(1-u)\;\Rightarrow\; x=-\beta\ln(1-u).$
Så $F^{-1}(u)=-\beta\ln(1-u)$ .

Steg 3 — implementer.

import numpy as np

def simuler_eksp(n, beta):
    u = np.random.uniform(size=n)      # råstoffet: uniform(0,1)
    return -beta * np.log(1 - u)       # F^{-1}(u), vektorisert

np.random.seed(0)
x = simuler_eksp(10**6, 4.0)
print(np.mean(x))          # ~ 4.0  = beta      (E(X) = beta)
print(np.var(x, ddof=1))   # ~ 16.0 = beta**2   (Var(X) = beta^2)

Kjørt gir dette $\bar{x}\approx 4{,}005$ og empirisk varians $\approx 16{,}03$ — nettopp $E(X)=\beta=4$ og $\text{Var}(X)=\beta^2=16$ , som bekrefter at koden trekker riktig fordeling.

> Sensornotat: $\ln(1-u)$ , ikke $\ln(u)$ — det følger direkte av steg 2. (Siden $U$ og $1-U$ har samme fordeling, gir $-\beta\ln(u)$ også riktig fordeling, men skriv $1-u$ så utledningen henger sammen.)

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — bare gjengivelse.) Hva er råstoffet inversjonsmetoden starter fra, og hvilken numpy-funksjon lager det?

a) Hvilken fordeling har trekkene du starter med?

b) Hvilken kodelinje trekker $n$ slike tall?

📝Oppgave 2

En ventetid er eksponensialfordelt med forventning $\beta=5$ .

a) Skriv opp $F(x)$ .

b) Utled $F^{-1}(u)$ .

c) Fullfør returlinjen i def simuler(n): u = np.random.uniform(size=n); return ___.

— naturlig pausepunkt —

Løkke 2 — Et hale-eksempel fra bunnen (~14 min)

✏️Eksempel 2: Bølgehøyde med hale-tetthet

Den (skalerte) signifikante bølgehøyden $X$ i et havområde har tetthet $f(x)=\dfrac{5}{x^6}$ for $x>1$ og 0 ellers. Utled $F$ og $F^{-1}$ , skriv en simuleringsfunksjon, og forklar hva np.mean(simuler(10**6) > 2) estimerer.

Steg 1 — utled $F$ . Tettheten er allerede normert (

\int_1^\infty 5x^{-6}\,dx=5\cdot\tfrac{1}{5}=1

). Integrerer vi fra 1:

F(x)=\int_1^x 5s^{-6}\,ds=\left[-s^{-5}\right]_1^x=1-x^{-5},\qquad x>1.

Steg 2 — løs $F(x)=u$ .
$1-x^{-5}=u\;\Rightarrow\; x^{-5}=1-u\;\Rightarrow\; x=(1-u)^{-1/5}.$
Så $F^{-1}(u)=(1-u)^{-1/5}$ .

Steg 3 — implementer.

import numpy as np

def simuler_bolge(n):
    u = np.random.uniform(size=n)
    return (1 - u)**(-1/5)         # F^{-1}(u)

np.random.seed(0)
x = simuler_bolge(10**6)
print(np.mean(x > 2))    # ~ 0.0313
print(np.mean(x))        # ~ 1.25

Hva estimerer np.mean(simuler(10**6) > 2)? Uttrykket x > 2 er en vektor av True/False; np.mean av den er andelen trekk over 2 — altså et estimat på $P(X>2)$ . Fasit analytisk: $P(X>2)=1-F(2)=2^{-5}=\tfrac{1}{32}\approx 0{,}03125$ . Kjørt gir koden $\approx 0{,}0314$ . ✓

(Til sammenligning er $E(X)=\int_1^\infty x\cdot 5x^{-6}\,dx=5\int_1^\infty x^{-5}\,dx=\tfrac{5}{4}=1{,}25$ , som np.mean(x) bekrefter.)

> Sensornotat: np.mean av en betingelse = andel = sannsynlighetsestimat. Dette er broen til hele kap. 9.2.

📝Oppgave 3

En hale-tetthet er $f(x)=\dfrac{3}{x^4}$ for $x>1$ og 0 ellers.

a) Utled $F(x)$ .

b) Utled $F^{-1}(u)$ .

c) Skriv en komplett funksjon simuler(n) som trekker fra denne fordelingen.

d) Hva estimerer np.mean(simuler(10**6) > 2)? Regn også fasit analytisk.

— naturlig pausepunkt —

Løkke 3 — numpy-verktøykassa (~16 min)

np.random.uniform — det uniforme råstoffet

n

np.random.normal — pass på at scale er standardavviket

\mu

np.var med ddof=1 — empirisk varians

n

✏️Eksempel 3: funksjonsmønsteret og numpy-idiomene

Skriv en funksjon som simulerer $n$ trekk fra $X\sim N(50,\,9)$ (varians 9), og bruk den til å estimere $P(X>56)$ , forventningen og variansen. Pek på hvor scale-fella og ddof kommer inn.

X\sim N(50,9)

betyr

\mu=50

\sigma^2=9

, altså

\sigma=\sqrt{9}=3

import numpy as np

def simuler_normal(n):
    return np.random.normal(loc=50, scale=3, size=n)  # scale = SD = sqrt(9) = 3

np.random.seed(0)
x = simuler_normal(10**6)
print(np.mean(x > 56))     # ~ 0.0228  = P(X>56)
print(np.mean(x))          # ~ 50.0
print(np.var(x, ddof=1))   # ~ 9.0     (empirisk varians, delt paa n-1)

- scale-fella: scale=3 (standardavviket), ikke scale=9 (variansen). Sender du 9, får du en fordeling med $\sigma=9$ og alt blir galt.
- ddof: np.var(x, ddof=1) gir den forventningsrette variansen ( $\approx 9$ ).
- Fasit: $\displaystyle P(X>56)=P\!\left(Z>\frac{56-50}{3}\right)=P(Z>2)=1-\Phi(2)\approx 0{,}0228$ . Koden kjørt gir $\approx 0{,}0228$ . ✓

Funksjonsmønsteret går igjen overalt: def simuler(n): u = ...; return <uttrykk> — trekk råstoffet på én linje, transformer vektorisert på neste.

📝Oppgave 4

En dimensjon $X$ er $N(20,\,0{,}04)$ (altså varians $0{,}04$ ).

a) Hva skal scale være i np.random.normal?

b) Skriv linjen som trekker $n=10^5$ slike verdier.

c) En medstudent skriver np.random.normal(loc=20, scale=0.04, size=n). Hvilken fordeling simulerer hen egentlig, og er spredningen for stor eller for liten?

📝Oppgave 5

Du har simulert en stor vektor x av observasjoner og vil estimere fordelingens forventning og varians.

a) Hvilken numpy-funksjon gir forventningsestimatet?

b) Hvordan skriver du variansestimatet slik at det er forventningsrett (som $S^2$ )?

c) Med én setning: hvorfor ddof=1 og ikke standard ddof=0?

— naturlig pausepunkt —

Løkke 4 — Kodelesing som egen ferdighet (~14 min)

Kodelesing: identifiser fordeling og estimat

F=1-x^{-k}

✏️Eksempel 4: Les koden

Forklar hva denne snutten gjør — hvilken fordeling genererer f, og hva estimerer siste linje?

import numpy as np

def f(n):
    u = np.random.uniform(size=n)
    return -3 * np.log(1 - u)

np.random.seed(0)
print(np.mean(f(10**6) > 5))

Fordelingen: transformasjonen -3 * np.log(1 - u) er nøyaktig inversjonsmetoden

F^{-1}(u)=-\beta\ln(1-u)

med

\beta=3

. Så f(n) trekker

n

verdier fra en eksponensialfordeling med forventning $\beta=3$ .

Hva estimeres: f(10**6) > 5 er en boolsk vektor (er trekket over 5?), og np.mean av den er andelen over 5 — altså et estimat på $P(X>5)$ .

Fasit: for eksponensial er $P(X>5)=1-F(5)=e^{-5/\beta}=e^{-5/3}\approx 0{,}1889$ . Kjørt gir koden $\approx 0{,}1889$ . ✓

> Sensornotat: les baklengs — transformasjonen gir fordelingen ( $\beta=3$ ), og det ytterste np.mean(...>5) gir estimatet ( $P(X>5)$ ).

📝Oppgave 6

Les koden:

def g(n):
    u = np.random.uniform(size=n)
    return (1 - u)**(-1/4)

print(np.mean(g(10**6)))
print(np.mean(g(10**6) > 3))

a) Hvilken fordeling (fordelingsfunksjon $F$ ) genererer g?

b) Hva estimerer hver av de to print-linjene?

c) Regn den andre fasiten analytisk.

📝Oppgave 7

En materialstyrke $X$ (i passende enhet) har tetthet $f(x)=\dfrac{c}{x^3}$ for $x>1$ og 0 ellers.

a) Bestem $c$ .

b) Utled $F(x)$ og $F^{-1}(u)$ .

c) Skriv en komplett funksjon simuler(n) som trekker fra fordelingen med inversjonsmetoden.

d) Skriv én kodelinje som estimerer $P(X>4)$ , og regn fasiten analytisk.

📝Oppgave 8

En kollega vil simulere $X\sim N(10,\,4)$ (varians 4) og estimere $P(8<X<13)$ , men koden gir rare tall:

def simuler(n):
    return np.random.normal(loc=10, scale=4, size=n)

print(np.mean(8 < simuler(10**6) < 13))

a) Pek på to feil i koden.

b) Skriv en korrekt versjon.

c) Hva blir fasiten for $P(8<X<13)$ analytisk? (Bruk $\Phi(1{,}5)=0{,}9332$ , $\Phi(1)=0{,}8413$ .)

Typiske feil

- Løse $f(x)=u$ i stedet for $F(x)=u$ . Inversjonsmetoden bruker fordelingsfunksjonen $F$ , ikke tettheten $f$ . Utled $F$ først (integrer $f$ ), og løs så $F(x)=u$ .
- Bytte om loc og scale, eller sende variansen som scale. np.random.normal(loc, scale, ...) vil ha forventningen som loc og standardavviket som scale. For $N(\mu,\sigma^2)$ : send $\mu$ og $\sqrt{\sigma^2}=\sigma$ , aldri variansen.
- Skrive en løkke der vektorisering er naturlig. Trekk hele u = np.random.uniform(size=n) på én gang og transformer vektorisert. En for-løkke over $n$ trekk er tregt og unødvendig.
- np.var uten ddof=1 for empirisk varians. Standard np.var deler på $n$ ; den forventningsrette utvalgsvariansen deler på $n-1$ (ddof=1).
- Kode som ikke kjører. Delvis eller syntaktisk feil kode gir bare delvis uttelling. Sjekk at parenteser, np.log, og elementvise betingelser (&, ikke kjedet <) er riktige.
- $\ln(u)$ mot $\ln(1-u)$ -slurv. Skriv $-\beta\ln(1-u)$ i tråd med utledningen (selv om $-\beta\ln(u)$ tilfeldigvis også gir riktig fordeling).

Begrepsbank

Kjernekortene for inversjonsmetoden og numpy-verktøykassa, samlet.

Flashcard-stoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Kort: inversjonsmetoden

U\sim\text{uniform}(0,1)

Kort: beviset i tre linjer

P(F^{-1}(U)\le x)=P(U\le F(x))=F(x)

Oppskriftskort: de tre stegene

F

Formelkort: eksponensial-inversjon

\beta

Formelkort: hale-inversjon

f(x)=k\,x^{-(k+1)}

Feilkort: np.random.normal, scale = standardavvik

=\mu

Kort: np.mean som estimat

E(X)

Kort: np.var(x, ddof=1)

n-1

Oppskriftskort: funksjonsmønsteret

def simuler(n): u = np.random.uniform(size=n); return <F-invers av u> . To linjer: trekk råstoffet, transformer vektorisert. Alt av simulering i boka følger dette skjelettet — bytt bare ut transformasjonen.

Feilkort:

F(x)=u

, ikke

f(x)=u

f(x)=u

Kort: kodelesing baklengs

\to

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.