7.1 Testritualet: hypoteser, testobservator, p-verdi og konklusjon i ord

En nullhypotese $H_0$ er en presis påstand om en parameter — utgangspunktet vi tester mot, som regel «status quo» eller «leverandøren har rett» (f.eks. $H_0: \mu = 200$). Alternativhypotesen $H_1$ er det vi ønsker å påvise, og den bestemmer testens retning:

- $H_1: \mu > \mu_0$ (ensidig oppover) — vi vil vise at parameteren er større;
- $H_1: \mu < \mu_0$ (ensidig nedover) — at den er mindre;
- $H_1: \mu \ne \mu_0$ (tosidig) — at den bare er forskjellig.

Tommelfingerregel: det du blir bedt om å påvise (eller det som ville vært bekymringsfullt), settes som $H_1$. Bevisbyrden ligger på $H_1$ — vi forkaster $H_0$ bare hvis dataene taler klart imot den.

Enhver test: (1) $H_0$ og $H_1$ i parametre, retning på $H_1$ begrunnet; (2) testobservator med fordeling under $H_0$; (3) forutsetningssjekk (normalitet, uavhengighet, evt. $np_0, n(1-p_0) \ge 5$); (4) forkastningsområde ved $\alpha$ eller p-verdi; (5) tallfest; (6) konkluder i ord i kontekst. De seks stegene gir poeng hver for seg — hopp aldri over steg 2 eller 6.

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}, \qquad \text{under } H_0:\ Z \sim N(0,1).$$

Setningen «under $H_0$ er $Z \sim N(0,1)$» er hele poenget: hvis $\mu$ virkelig er $\mu_0$, er $Z$ standardnormal, og da vet vi nøyaktig hvor overraskende en gitt verdi er. Beslutningen tas på én av to likeverdige måter:

- Forkastningsområde: forkast $H_0$ ved nivå $\alpha$ hvis $|Z| > z_{\alpha/2}$ (tosidig), $Z > z_\alpha$ (ensidig oppover) eller $Z < -z_\alpha$ (ensidig nedover).
- p-verdi: regn sannsynligheten for et minst like ekstremt utfall (løkke 4) og forkast hvis $p < \alpha$.

$$T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}}, \qquad \text{under } H_0:\ T \sim t_{n-1}.$$

Alt annet i ritualet er som for z-testen, men kritisk verdi hentes fra t-tabellen: forkast hvis $|T| > t_{n-1,\,\alpha/2}$ (tosidig) eller $T > t_{n-1,\,\alpha}$ / $T < -t_{n-1,\,\alpha}$ (ensidig). Fordi t-fordelingen har tyngre haler enn normalfordelingen, er $t_{n-1,\alpha} > z_\alpha$ — det skal litt mer til for å forkaste når vi også må estimere spredningen. Dette er den hyppigste testtypen på eksamen.

- Ensidig oppover ($H_1: \mu > \mu_0$): $p = P(\text{observator} \ge \text{observert verdi} \mid H_0)$, altså den øvre halen.
- Ensidig nedover: den nedre halen.
- Tosidig ($H_1: \mu \ne \mu_0$): begge haler, altså det dobbelte av den ene halen: $p = 2\,P(\text{observator} \ge |\text{observert}| \mid H_0)$.

Beslutningsregel: forkast $H_0$ hvis $p < \alpha$; behold ellers. p-verdien er «hvor overraskende dataene er dersom $H_0$ stemmer» — en liten p-verdi betyr at dataene passer dårlig med $H_0$. Den er ikke sannsynligheten for at $H_0$ er sann (se antisvar under).

$$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}, \qquad \text{under } H_0:\ Z \approx N(0,1).$$

Merk: standardfeilen i nevneren bruker $p_0$ (den påståtte verdien under $H_0$), ikke $\hat{p}$ — det er forskjellen fra konfidensintervallet, som bruker $\hat{p}$. Forutsetningssjekk (obligatorisk): normaltilnærmingen krever $np_0 \ge 5$ og $n(1-p_0) \ge 5$. Beslutning som ellers: forkast hvis $Z$ faller i halen(e) bestemt av $H_1$ og $\alpha$.

$$\alpha = P(\text{forkaste } H_0 \mid H_0 \text{ sann}).$$

Derfor velger vi $\alpha$ på forhånd (typisk 0,05 eller 0,01) — det er prisen vi er villige til å betale i falske alarmer. En type II-feil er den motsatte: å beholde $H_0$ når $H_1$ faktisk er sann (en oversett effekt). Sannsynligheten for det kalles type II-sannsynligheten, og $1$ minus den er testens styrke — hele kapittel 7.3 handler om den.

En type II-feil er å beholde $H_0$ selv om $H_1$ er sann — å overse en reell effekt. Sannsynligheten kalles type II-sannsynligheten (vi unngår med vilje symbolet $\beta$ her, for å ikke forveksle den med eksponensialfordelingens forventning). Testens styrke er $1$ minus type II-sannsynligheten — sjansen for å oppdage en effekt som virkelig er der. En viktig konsekvens: at vi «ikke forkaster $H_0$» betyr ikke at $H_0$ er sann — det kan like gjerne bety at testen hadde for lav styrke (for lite data). Utregning og dimensjonering kommer i kap. 7.3.

En tosidig test på nivå $\alpha$ og et $(1-\alpha)$-konfidensintervall er to sider av samme sak: $H_0: \mu = \mu_0$ forkastes på nivå $\alpha$ hvis og bare hvis $\mu_0$ ligger utenfor $(1-\alpha)$-konfidensintervallet. Ligger den påståtte verdien innenfor intervallet av rimelige verdier, er den forenlig med dataene (forkast ikke); ligger den utenfor, forkaster vi. Det gir en nyttig kryssjekk: regner du både KI og test på samme data, må de være enige. (For ensidige tester svarer det til ensidige intervaller.)

En testobservator er et tall regnet ut fra dataene som har en kjent fordeling dersom $H_0$ er sann. Standardformen er «(estimat $-$ påstått verdi) delt på standardfeil», f.eks. $Z = (\bar{X}-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n})$. Den måler hvor mange standardfeil observasjonen ligger fra $H_0$-verdien.

Den kritiske verdien er grensen for forkastningsområdet — kvantilen som skiller «forkast» fra «forkast ikke». For en tosidig 5 %-z-test er den $z_{0{,}025} = 1{,}96$; for en ensidig $z_{0{,}05} = 1{,}645$. Hentes fra $\Phi$-, $t$- eller $\chi^2$-tabellen med riktige frihetsgrader.

To likeverdige veier til samme konklusjon: (1) sammenlign observatoren med kritisk verdi (forkast hvis i forkastningsområdet); (2) sammenlign p-verdien med $\alpha$ (forkast hvis $p < \alpha$). De gir alltid samme svar — velg den oppgaven ber om, eller vis begge.

Før du stoler på en test: normalitet (av observasjonene, eller stor nok $n$ til CLT), uavhengige observasjoner, og for andelstesten $np_0 \ge 5$, $n(1-p_0) \ge 5$. Sensor forventer at forutsetningene nevnes der de brukes (sensorkrav 2).

Steg 6: oversett tallresultatet til situasjonen. Forkast: «det er grunnlag for å hevde at ...». Forkast ikke: «det er ikke grunnlag for å hevde at ...». Et rent tall (eller «$H_0$ forkastes») uten kobling til konteksten gir ikke full uttelling.

Å ikke forkaste $H_0$ betyr at dataene er forenlige med $H_0$ — ikke at $H_0$ er bevist sann. Mangel på belegg mot en påstand er ikke belegg for den. Skriv derfor «ikke grunnlag for å forkaste», aldri «$H_0$ er sann» eller «vi aksepterer $H_0$».

En liten p-verdi betyr at effekten er statistisk sikker, ikke at den er stor. Med svært stor $n$ kan et ubetydelig avvik bli «signifikant». Skille alltid mellom «vi kan slå fast at det er en forskjell» og «forskjellen er praktisk viktig» — de er ikke det samme.

Nevneren i observatoren er estimatorens standardfeil: $\sigma/\sqrt{n}$ (kjent $\sigma$), $s/\sqrt{n}$ (ukjent $\sigma$) eller $\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$ (andel, med $p_0$ fra $H_0$). Den krymper som $1/\sqrt{n}$ — mer data gir en mer følsom test.

For en tosidig test teller utfall like ekstreme i begge haler. Da er $p = 2\,P(\text{observator} \ge |\text{observert}| \mid H_0)$ — det dobbelte av den ene halen. Å glemme faktoren 2 er en klassisk feil som halverer p-verdien og kan snu konklusjonen.

Hele testen hviler på at testobservatoren har en kjent fordeling når $H_0$ er sann — $N(0,1)$, $t_{n-1}$, $\chi^2_{n-1}$ osv. Det er denne «nullfordelingen» vi måler ekstremitet mot. Å oppgi den (steg 2) er ikke pynt; det er selve grunnlaget for både kritisk verdi og p-verdi.