7.2 Testkatalogen: varians, eksakte tester, to utvalg, parret design og fortegnstest

$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2_{n-1} \quad \text{under } H_0.$$

Kjikvadratfordelingen er skjev, så forkastningsområdet er asymmetrisk — man kan ikke bruke ett symmetrisk $\pm$-tall. Retningene:

- $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$: forkast hvis observatoren $> \chi^2_{n-1,\,\alpha}$ (øvre hale);
- $H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$: forkast hvis observatoren $< \chi^2_{n-1,\,1-\alpha}$ (nedre hale);
- $H_1: \sigma^2 \ne \sigma_0^2$: forkast hvis observatoren $> \chi^2_{n-1,\,\alpha/2}$ eller $< \chi^2_{n-1,\,1-\alpha/2}$.

Legg merke til at normalitetsforutsetningen er viktigere her enn for t-testen for forventningen: kjikvadrat-testen er følsom for avvik fra normalfordelingen.

Normaltilnærmingen i andelstesten (kap. 7.1) og i Poisson-tilfeller krever store nok tall — $np_0 \ge 5$ og $n(1-p_0) \ge 5$ for andeler, stor $\lambda_0$ for Poisson. Når forutsetningssjekken feiler (lite utvalg, lav rate), bruker vi i stedet fordelingen direkte:

- Eksakt binomisk test: under $H_0: p = p_0$ er antall suksesser $X \sim \text{binomisk}(n, p_0)$. p-verdien er den eksakte halesannsynligheten fra den kumulative binomisk-tabellen, f.eks. $P(X \ge x_{\text{obs}}) = 1 - P(X \le x_{\text{obs}} - 1)$ for $H_1: p > p_0$.
- Eksakt Poisson-test: under $H_0: \lambda = \lambda_0$ er antallet $X \sim \text{Poisson}(\lambda_0)$; p-verdien leses fra den kumulative Poisson-tabellen.

Ingen $Z$-observator, ingen kvantiltabell — bare den kumulative fordelingen. Regelen er den samme: forkast hvis p-verdien $< \alpha$.

$$D_i = Y_i - X_i, \qquad T = \frac{\bar{D}}{S_D/\sqrt{n}} \sim t_{n-1} \quad \text{under } H_0: \mu_D = 0.$$

Her er $\bar{D}$ gjennomsnittet av differansene og $S_D$ deres empiriske standardavvik. Testen er nøyaktig den vanlige t-testen fra kap. 7.1, brukt på differansene. Kjennetegn på parret design: målingene kommer i naturlige par (før/etter, samme enhet, matchede objekter). Fordelen er at parringen fjerner variasjonen mellom enhetene og gjør testen mer følsom.

$$S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}, \qquad T = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \sim t_{n_1+n_2-2}.$$

Frihetsgraden er $n_1 + n_2 - 2$ (vi har estimert to gjennomsnitt). Antagelsen om lik varians skal oppgis. Merk kontrasten til parret design: her er gruppene uavhengige, og vi kan ikke danne differanser par for par — vi sammenligner gjennomsnittene direkte.

$$U = \text{antall positive differanser} \sim \text{binomisk}\!\left(n, \tfrac{1}{2}\right) \quad \text{under } H_0,$$

der $n$ er antall par med differanse forskjellig fra null (nuller forkastes). p-verdien er en eksakt binomisk halesannsynlighet. Hvorfor supplere t-testen? Fortegnstesten krever ikke at differansene er normalfordelte, så den er trygg ved skjeve data eller uteliggere. Hvorfor kan svarene sprike? Fortegnstesten kaster bort informasjon (bruker bare fortegn, ikke størrelse) og har derfor lavere styrke — den kan la være å forkaste der t-testen forkaster, særlig når effekten er tydelig i størrelse men fordelt på moderate differanser.

For $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$ (normalfordelte data): $\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2_{n-1}$ under $H_0$. Forkastningsområdet er asymmetrisk: ensidig oppover bruker $\chi^2_{n-1,\alpha}$, nedover $\chi^2_{n-1,1-\alpha}$, tosidig begge halene.

Kjikvadrat-testen for varians er følsom for avvik fra normalfordelingen — mer enn t-testen for forventningen. Er dataene tydelig ikke-normale, er testen upålitelig, og en mer robust metode bør vurderes. Oppgi normalitetsforutsetningen eksplisitt.

For $H_1: p > p_0$: $p\text{-verdi} = P(X \ge x_{\text{obs}}) = 1 - P(X \le x_{\text{obs}}-1)$. For $H_1: p < p_0$: $P(X \le x_{\text{obs}})$. Den observerte verdien inkluderes i halen. Leses fra den kumulative binomisk-/Poisson-tabellen.

Målingene kommer i naturlige par: samme enhet før/etter, samme prøve med to metoder, matchede objekter. Da er seriene avhengige, og vi analyserer differansene $D_i$. Signalord: «før og etter», «samme», «paret», «hver enhet målt to ganger».

Parring fjerner variasjonen mellom enhetene (hver enhet er sin egen kontroll), så bare selve endringen står igjen. Det gir en mer følsom test (høyere styrke) enn å sammenligne to uavhengige grupper — forutsatt at et parret design faktisk er mulig.

Pooled to-utvalgs-t har $n_1 + n_2 - 2$ frihetsgrader — to trekkes fra fordi to gjennomsnitt er estimert. Ikke $n_1 + n_2$, og ikke $n_1 + n_2 - 1$. Feil frihetsgrad er en klassisk poengtapper her.

Under $H_0$ (ingen effekt) er en differanse like sannsynlig positiv som negativ, så $U = \text{antall positive} \sim \text{binomisk}(n, \tfrac{1}{2})$, der $n$ er antall par med differanse ulik null. p-verdien er en eksakt binomisk halesannsynlighet.

Fortegnstesten bruker bare fortegnet, ikke størrelsen — derfor er den robust mot ikke-normalitet og uteliggere, men har lavere styrke enn t-testen. Bruk den som supplement når normalitet er tvilsom; stol på t-testen når differansene er normalfordelte.

Par med differanse nøyaktig null gir ingen informasjon om retning og forkastes før $n$ telles. Et datasett med 14 par der 2 er uendret, gir altså $n = 12$ i binomisk-modellen. Å telle nullene med er en typisk feil.

Fordi fortegnstesten ignorerer størrelsen på differansene, kan den la være å forkaste der den parrede t-testen forkaster (lavere styrke). Motsatt kan en enkelt stor uteligger blåse opp $s_D$ og hindre t-testen i å forkaste, mens fortegnstesten (upåvirket av størrelse) fortsatt gjør det.

Der parret t-test tester om differansenes forventning er null, tester fortegnstesten om differansenes median er null (om opp og ned er like sannsynlig). Ved symmetriske fordelinger faller de to spørsmålene sammen; ved skjeve gjør de ikke det.

«Er variansen for stor?» → $H_1: \sigma^2 > \sigma_0^2$, øvre kvantil $\chi^2_{n-1,\alpha}$. «For liten / for jevn?» → $H_1: \sigma^2 < \sigma_0^2$, nedre kvantil $\chi^2_{n-1,1-\alpha}$. «Avviker?» → tosidig, begge kvantiler med $\alpha/2$.