7.3 Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalget

$$\text{styrke} = P(\text{forkast } H_0 \mid \mu = \mu_1).$$
Styrken er ikke ett tall, men en funksjon av hvilken sann verdi $\mu_1$ vi tenker oss — jo lenger $\mu_1$ ligger fra $\mu_0$, desto lettere er effekten å oppdage, og desto høyere er styrken.

1. Uttrykk forkastningsområdet i $\bar{X}$-skala. Vi forkaster når $\displaystyle Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} > z_\alpha$, altså når
$$\bar{X} > \mu_0 + z_\alpha\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;=\; k \quad (\text{den kritiske grensen}).$$
2. Re-standardiser under $\mu_1$. Når den sanne forventningen er $\mu_1$, er $\displaystyle \bar{X} \sim N\!\left(\mu_1, \frac{\sigma^2}{n}\right)$. Da er styrken
$$\text{styrke} = P(\bar{X} > k \mid \mu_1) = P\!\left(Z > \frac{k - \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}}\right).$$
3. Sett inn og les av $\Phi$. Innsatt $k$ gir det den ferdige formelen
$$\text{styrke} = 1 - \Phi\!\left(z_\alpha - \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right).$$

Intuisjon: vi flytter fordelingen fra $\mu_0$ til den sanne $\mu_1$ og spør hvor stor del av den nå havner i forkastningsområdet. Kjerne­feilen å unngå: regne sannsynligheten under $\mu_0$ i stedet for $\mu_1$ — da får man bare $\alpha$ tilbake. (For $H_1: \mu < \mu_0$ er formelen speilvendt; for tosidig legger man til det lille bidraget fra den motsatte halen, som oftest kan neglisjeres.)

Ser vi på styrken som en funksjon av den sanne verdien $\mu_1$, kaller vi den styrkefunksjonen. Fra formelen $\displaystyle \text{styrke} = 1 - \Phi\!\left(z_\alpha - \frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)$ leser vi av hva som øker den:

1. Større avstand $|\mu_1 - \mu_0|$ → høyere styrke. En stor effekt er lettere å oppdage. Ved $\mu_1 = \mu_0$ er styrken akkurat $\alpha$ (da er $H_0$ sann, og å forkaste er per definisjon type I-feilen).
2. Større $n$ → høyere styrke. Standardfeilen $\sigma/\sqrt{n}$ krymper, så brøken $\displaystyle \frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ vokser. Dette er spaken vi selv styrer.
3. Større $\alpha$ → høyere styrke ($z_\alpha$ blir mindre). Men det øker samtidig type I-feilen — en avveining, ikke en gratis gevinst.

Motsatt gir mindre $\sigma$ (mindre støy i målingene) også høyere styrke. Styrkefunksjonen starter i $\alpha$ ved $\mu_1 = \mu_0$ og stiger mot $1$ etter hvert som $\mu_1$ fjerner seg fra $\mu_0$ i retning av $H_1$.

Rund alltid $n$ opp til nærmeste hele tall — et desimalt antall observasjoner gir for lav styrke, så vi må ta det neste hele. Formelen står ikke i formelsamlingen; du utleder den ved å sette styrkekravet og løse for $n$. Merk hvordan hver størrelse virker: liten effekt $\mu_1 - \mu_0$ i nevneren, eller streng styrke (stor $z_\beta$), driver $n$ raskt opp — derav de store fasitsvarene ($n$ i hundre- eller tusentall) når man vil oppdage små avvik.

Poisson-rate (skissert): for en rate $\lambda$ med stor forventet telling brukes normaltilnærmingen $\hat{\lambda} \approx N(\lambda, \lambda/n)$ på tilsvarende vis, med $\sqrt{\lambda_0/n}$ under $H_0$.

t-testen (merknad): når $\sigma$ er ukjent, ligger den eksakte styrken (som involverer en ikke-sentral t-fordeling) utenfor pensum. I praksis gjør man en z-tilnærming: bruk styrke-/dimensjoneringsformlene med $s$ i stedet for $\sigma$ som et anslag, og legg gjerne på noen ekstra observasjoner som sikkerhetsmargin. Kvalitativt gjelder alt det samme: styrken øker med $n$, med effekten og med $\alpha$.

For $H_1: \mu > \mu_0$ med kjent $\sigma$: $\displaystyle \text{styrke} = 1 - \Phi\!\left(z_\alpha - \frac{\mu_1 - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)$. Utled den ved å skrive forkastningsområdet i $\bar{X}$-skala og re-standardisere under $\mu_1$. Står ikke i formelsamlingen — må utledes.

Nøkkelgrepet i styrkeregningen: den kritiske grensen $k = \mu_0 + z_\alpha\,\sigma/\sqrt{n}$ finnes under $H_0$, men styrken $P(\bar{X} > k)$ regnes med $\bar{X} \sim N(\mu_1, \sigma^2/n)$ — altså med $\mu_1$ (ikke $\mu_0$) i standardiseringen $\displaystyle \frac{k - \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}}$.

At en test ikke forkaster $H_0$ kan skyldes at effekten ikke finnes — eller at testen hadde for lav styrke (for lite data) til å oppdage en effekt som faktisk er der. Derfor: skriv aldri «vi har vist at $H_0$ er sann»; en ikke-signifikant test med lav styrke er inkonklusiv, ikke en bekreftelse.