3.1 Normalfordelingen: standardisering og tabellbruk

$$X \sim N(\mu, \sigma^2).$$

Det aller viktigste å huske: annet argument er variansen $\sigma^2$, ikke standardavviket $\sigma$. Står det $X \sim N(100, 25)$, er $\sigma^2 = 25$ og altså $\sigma = 5$. Denne notasjonen følger vi slavisk i hele boka, og det er en klassisk eksamensfelle å lese $25$ som standardavvik.

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$$

Du skal kunne lese av $\mu$ og $\sigma$ fra en oppgitt formel uten å regne: tallet som trekkes fra $x$ i telleren, er $\mu$; nevneren i eksponenten er $2\sigma^2$ (så $\sigma^2$ er halvparten av det); og faktoren foran er $\displaystyle \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$, som gir en ekstra kontroll på $\sigma$. Verken $f$ eller kurven trenger integreres i dette kapitlet.

$$E(X) = \mu, \qquad \text{Var}(X) = \sigma^2, \qquad SD(X) = \sigma.$$

Standardavviket $\sigma$ er skala-parameteren: det er $\sigma$ (ikke $\sigma^2$) vi deler med når vi standardiserer. Fordelingen er symmetrisk om $\mu$, så $\mu$ er samtidig median og modus.

$$Z \sim N(0, 1).$$

Dette er «målestokken» alle andre normalfordelinger sammenlignes med. Fordelingsfunksjonen dens har fått et eget symbol, $\Phi$, og er tabulert i formelsamlingen.

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1).$$

$z$-verdien forteller hvor mange standardavvik observasjonen ligger unna forventningen. Dette er den regelen som må sitte automatisk — og den vanligste feilen er å dele på variansen $\sigma^2$ i stedet for $\sigma$.

$$\Phi(z) = P(Z \le z).$$

Denne verdien slår du opp i $\Phi$-tabellen (formelsamlingen). Fordi $X$ er kontinuerlig, spiller det ingen rolle om ulikheten er streng: $P(Z \le z) = P(Z < z)$. Sannsynligheten for en hale er $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$.

$$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z).$$

Eksempel: $\Phi(-1{,}25) = 1 - \Phi(1{,}25) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$. Å glemme dette (eller bruke feil fortegn) er en topp-tre-feil på standardiseringsoppgaver.

$$P(a < X < b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).$$

Standardiser begge grensene, slå opp begge, og trekk fra. (Siden $X$ er kontinuerlig, er $P(a < X < b) = P(a \le X \le b)$.)

$$P(X > a \mid X > b) = \frac{P(X > a)}{P(X > b)} = \frac{1 - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)}{1 - \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)}, \qquad a > b.$$

Regn de to halesannsynlighetene hver for seg og del. (Merk: i motsetning til eksponensialfordelingen har normalfordelingen ikke minneløshet, så svaret er ikke bare $P(X > a - b)$.)

$$P(X \le x) = p \ \Longrightarrow\ x = \mu + z\,\sigma, \quad \text{der } \Phi(z) = p.$$

Dette er grunnlaget for konfidensintervall senere i boka. Eksempel: den $x$ som $90 \%$ ligger under, bruker $z$ med $\Phi(z) = 0{,}90$, altså $z \approx 1{,}2816$.

$$P(Z > z_\alpha) = \alpha, \qquad \text{dvs.} \quad \Phi(z_\alpha) = 1 - \alpha.$$

Vanlige verdier fra tabellen: $z_{0{,}10} = 1{,}2816$, $z_{0{,}05} = 1{,}6449$, $z_{0{,}025} = 1{,}9600$, $z_{0{,}01} = 2{,}3263$. Merk: indeksen er arealet i øvre hale — dette er konvensjonen i hele boka og i formelsamlingen.

For en kontinuerlig variabel som den normalfordelte er $P(X = x) = 0$ for hvert enkelt tall $x$. Bare intervaller har positiv sannsynlighet. Derfor spiller det ingen rolle om ulikheten er streng eller ikke: $P(X \le a) = P(X < a)$. Tettheten $f(x)$ er ikke en sannsynlighet og kan godt være større enn 1.

Fordi klokkekurven er symmetrisk om $\mu$, faller median, modus og forventning sammen: alle tre er $\mu$. Derfor er $P(X < \mu) = P(X > \mu) = 0{,}5$, som svarer til $\Phi(0) = 0{,}5$.

Tettheten oppfyller $f(\mu - a) = f(\mu + a)$ for alle $a$ — kurven er speilsymmetrisk om $\mu$. En praktisk følge: $P(X < \mu - a) = P(X > \mu + a)$. To grenser like langt fra $\mu$ gir like store haler (som i vind-eksempelet).

For en normalfordeling ligger ca. $68 \%$ av massen innenfor $\mu \pm \sigma$, ca. $95 \%$ innenfor $\mu \pm 2\sigma$ og ca. $99{,}7 \%$ innenfor $\mu \pm 3\sigma$. En rask magefølelse-sjekk: får du $P(X > \mu + 3\sigma) \approx 0{,}5$, har du regnet feil.

Standardnormalen har halvparten av massen under null: $\Phi(0) = 0{,}5$. Dette er ankeret i tabellen. En $z$-verdi større enn 0 gir $\Phi(z) > 0{,}5$, en negativ gir $\Phi(z) < 0{,}5$ — nyttig for å fange fortegnsfeil.

$$P(-z < Z < z) = 2\Phi(z) - 1.$$

Eksempel: $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96) = 2 \cdot 0{,}9750 - 1 = 0{,}95$. Dette gir de sentrale $95 \%$ og er selve grunnstammen i tosidige konfidensintervall senere.

Kvantilene du bruker oftest (øvre hale): $z_{0{,}10} = 1{,}2816$, $z_{0{,}05} = 1{,}6449$, $z_{0{,}025} = 1{,}9600$, $z_{0{,}01} = 2{,}3263$, $z_{0{,}005} = 2{,}5758$. Paret $1{,}6449$ (ensidig $5 \%$) og $1{,}9600$ (tosidig $95 \%$) er de aller vanligste.

Den $p$-te persentilen er verdien $x$ som en andel $p$ av fordelingen ligger under: $P(X \le x) = p/100$. Du finner den ved å lese $\Phi$-tabellen baklengs — finn $z$ med $\Phi(z) = p/100$ og regn $x = \mu + z\sigma$. Medianen er den 50. persentilen.

Intervallet $\mu \pm 1{,}96\sigma$ fanger nøyaktig de sentrale $95 \%$ av en normalfordeling (fordi $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96) = 0{,}95$). Slike referanseområder brukes i kvalitetskontroll og er samtidig malen for tosidige konfidensintervall i kap. 6.1.

$$aX + b \sim N\!\big(a\mu + b,\ a^2\sigma^2\big).$$

Standardiseringen $Z = (X - \mu)/\sigma$ er nettopp et slikt tilfelle (med $a = 1/\sigma$, $b = -\mu/\sigma$). Dette utvides til summer og differanser av flere normale i kap. 3.2.

For en kontinuerlig variabel er en sannsynlighet lik arealet under tetthetskurven over det aktuelle intervallet. $\Phi(z)$ er nettopp arealet til venstre for $z$ under standardnormalen. Derfor gir en øvre hale $1 - \Phi(z)$ og et intervall differansen mellom to arealer — det totale arealet under kurven er alltid 1.

Normaltettheten har sin topp i $x = \mu$ og bøyer av (vendepunkter, der krumningen skifter) nøyaktig i $x = \mu - \sigma$ og $x = \mu + \sigma$. Avstanden fra toppen til et vendepunkt er standardavviket — en visuell måte å avlese $\sigma$ på fra en tegnet klokkekurve.