5.5 Drill: egenverdi- og diagonaliseringskjeden

Egenverdi-repertoaret drillet: verifiser egenvektor → karakteristisk likning → egenrom → begrunn diagonaliserbarhet med multiplisitet/snarvei → bygg P og D matchet → Aⁿ/Markov/komplekse egenverdier.

90 min

13 oppgaver

Drillegenverdi-diagonaliseringskjeden

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.4Komplekse egenverdier

Brukes videre i

5.PPrøver til del 5: Egenverdier og diagonalisering

Egenverdi/diagonalisering er den sikreste enkeltsjangeren (~95 %, sjanger G) — den kommer på så godt som hvert sett. Dette drillkapitlet trener hele kjeden til automatikk, slik at du bruker tiden på regning, ikke på å huske rekkefølgen.

Varianter som har forekommet:
- verifiser en oppgitt egenvektor ved innsetting $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ ;
- egenverdier fra karakteristisk likning + egenrom fra radreduksjon;
- begrunn diagonaliserbarhet med multiplisitet eller en navngitt snarvei;
- vis at en matrise ikke er diagonaliserbar (for lite egenrom);
- $A^n=PD^nP^{-1}$ eller polynom $q(A)$ med samme $P$ ;
- Markov-matrise: stasjonær fordeling og langtidsgrense;
- komplekse egenverdier (fra 5.4).

Karakterskilleren: diagonaliserbarhet må begrunnes — « $A$ er diagonaliserbar fordi …», ikke bare påstås. Og $P$ og $D$ skal matches søyle for søyle.

Dette kapitlet er en drilløkt på ~90 min. Ta gjerne den gjennomregnede casen først (~20 min), så oppgavesettet i to bolker med en kort pause imellom.

Løsningsoppskrift — egenverdikjeden

Hver oppgave i sjanger G løses med samme faste kjede. Lær den utenat (kode E):

1. Er en egenvektor oppgitt? Verifiser ved innsetting: regn $A\mathbf v$ og sjekk om det er et multiplum $\lambda\mathbf v$ . Da er $\lambda$ egenverdien. (Raskere enn karakteristisk likning når $\mathbf v$ er gitt.)

2. Egenverdier: løs karakteristisk likning $\det(A-\lambda I)=0$ . Faktoriser polynomet; kontroller med $\operatorname{spor}A=\sum\lambda_i$ og $\det A=\prod\lambda_i$ .

3. Egenrom: for hver egenverdi, $E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I)$ ved radreduksjon. Noter $\dim E_\lambda$ (= geometrisk multiplisitet).

4. Begrunn diagonaliserbarhet. Bruk en navngitt grunn:
- $n$ forskjellige egenverdier ⇒ diagonaliserbar;
- symmetrisk ⇒ (ortogonalt) diagonaliserbar (spektralteoremet);
- triangulær ⇒ egenverdier avlest på diagonalen;
- ellers: sjekk at $\dim E_\lambda=$ algebraisk multiplisitet for hver egenverdi. Er ett egenrom for lite (geo $<$ alg), er $A$ ikke diagonaliserbar.

5. Bygg svaret: $P=[\mathbf v_1\ \cdots\ \mathbf v_n]$ og $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ matchet søyle for søyle. Trenger du potenser: $A^n=PD^nP^{-1}$ . Markov: finn egenvektoren til $\lambda=1$ og normaliser til stasjonær fordeling.

Under følger en gjennomregnet case med sensor-margnotater, så et oppgavesett på eksamensnivå.

Forkunnskaper: Hele Del 5 — egenverdier og egenrom (kap. 5.1), diagonaliseringskriteriet (kap. 5.2), potenser og Markov (kap. 5.3) og komplekse egenverdier (kap. 5.4) — pluss determinant (kap. 2.3) og nullrom (kap. 3.3).

Sist du var her (nøkkelformler):
$\det(A-\lambda I)=0,\quad E_\lambda=\operatorname{Nul}(A-\lambda I),\quad A=PDP^{-1},\quad A^n=PD^nP^{-1}.$
Diagonaliserbar $\Leftrightarrow$ geometrisk multiplisitet $=$ algebraisk multiplisitet for hver egenverdi.

✏️Gjennomregnet eksamenscase (med sensor-margnotater)

La $A=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\1&0&5\end{bmatrix}$ .

a) Finn egenverdiene og egenrommene.
b) Avgjør, med begrunnelse, om $A$ er diagonaliserbar.
c) Finn $P$ og $D$ slik at $A=PDP^{-1}$ .
d) Finn et uttrykk for $A^n$ .

a) Egenverdier.

A

er nedre triangulær, så egenverdiene står på diagonalen:

\lambda=2

(algebraisk multiplisitet

2

) og

\lambda=5

(multiplisitet

1

).
> Sensor: å lese egenverdiene av diagonalen for en triangulær matrise gir uttelling — men si eksplisitt at den er triangulær.

Kontroll: $\operatorname{spor}A=2+2+5=9=2+2+5$ ✓, $\det A=2\cdot2\cdot5=20=\prod\lambda_i$ ✓.

Egenrom $E_2$ : $A-2I=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\1&0&3\end{bmatrix}$ . Likningen $v_1+3v_3=0$ gir $v_1=-3v_3$ , mens $v_2$ er fri. To frie variabler ( $v_2,v_3$ ):
$E_2=\operatorname{Span}\left\{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-3\\0\\1\end{bmatrix}\right\},\qquad \dim E_2=2.$

Egenrom $E_5$ : $A-5I=\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&-3&0\\1&0&0\end{bmatrix}$ gir $v_1=0,\ v_2=0$ , $v_3$ fri:
$E_5=\operatorname{Span}\left\{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right\},\qquad \dim E_5=1.$

b) Diagonaliserbarhet. For $\lambda=2$ er geometrisk multiplisitet $\dim E_2=2=$ algebraisk multiplisitet. For $\lambda=5$ er $\dim E_5=1=$ algebraisk multiplisitet. Geometrisk $=$ algebraisk for begge, så etter diagonaliserbarhetskriteriet er $A$ diagonaliserbar.
> Sensor: her ligger karakterskilleren. « $A$ er diagonaliserbar fordi $\dim E_2=2$ = algebraisk multiplisitet» gir full uttelling; en påstand uten multiplisitetssjekk gjør ikke.

c) $P$ og $D$ matchet søyle for søyle. Ta egenvektorene i samme rekkefølge som egenverdiene i $D$ :
$P=\begin{bmatrix}0&-3&0\\1&0&0\\0&1&1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&5\end{bmatrix}.$
> Sensor: kolonne $j$ i $P$ MÅ være en egenvektor for egenverdien i posisjon $(j,j)$ i $D$ . Feilmatching er en klassisk poengtapper.

d) Potenser. $A^n=PD^nP^{-1}$ med $D^n=\operatorname{diag}(2^n,2^n,5^n)$ . Regner man ut, blir
$A^n=\begin{bmatrix}2^n&0&0\\0&2^n&0\\ \tfrac{5^n-2^n}{3}&0&5^n\end{bmatrix}.$
Kontroll ( $n=1$ ): $\tfrac{5-2}{3}=1$ , som gir tilbake $A$ ✓. Sluttsvar som over.

Oppgavesett (eksamensnivå, stigende)

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — verifisering.) Er $\mathbf v=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ en egenvektor for $A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix}$ ? Finn i så fall egenverdien.

📝Oppgave 2

Finn egenverdiene og egenrommene til $A=\begin{bmatrix}5&-6\\3&-4\end{bmatrix}$ .

📝Oppgave 3

La $A=\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}$ .

a) Er $A$ diagonaliserbar? Begrunn med en navngitt snarvei.
b) Finn $P$ og $D$ .

📝Oppgave 4

Vis at $A=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}$ ikke er diagonaliserbar.

📝Oppgave 5

La $A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$ med $\lambda=1,3$ og egenvektorer $(-1,1)$ og $(1,1)$ . Finn et uttrykk for $A^n$ .

📝Oppgave 6

En populasjon flytter mellom by og land hvert år etter overgangsmatrisen $P=\begin{bmatrix}0{,}9&0{,}2\\0{,}1&0{,}8\end{bmatrix}$ (kolonnene summerer til $1$ ).

a) Vis at $\lambda=1$ er en egenverdi.
b) Finn den stasjonære fordelingen.

📝Oppgave 7

La $A=\begin{bmatrix}3&0&-1\\0&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}$ . Egenverdiene er $2$ (algebraisk multiplisitet $3$ ). Er $A$ diagonaliserbar?

📝Oppgave 8

Finn de komplekse egenverdiene til $A=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}$ , og tolk $A$ som skalering + rotasjon.

📝Oppgave 9

Eksamensnivå

La $A=\begin{bmatrix}4&-2\\1&1\end{bmatrix}$ .

a) Finn egenverdier og egenrom.
b) Begrunn at $A$ er diagonaliserbar og finn $P,D$ .
c) Regn ut $A^n$ .

📝Oppgave 10

Eksamensnivå

La $A=\begin{bmatrix}5&0&0\\1&5&0\\0&0&3\end{bmatrix}$ .

a) Finn egenverdiene med multiplisitet.
b) Avgjør, med begrunnelse, om $A$ er diagonaliserbar.

📝Oppgave 11

(Krevende — kald oppgave, momentliste som fasit.) La $A$ være en reell $2\times2$ -matrise med $\operatorname{spor}A=0$ og $\det A=1$ . Vis at $A$ ikke er diagonaliserbar over $\mathbb R$ , men at $A^4=I$ .

Typiske feil

- Diagonaliserbarhet påstått uten multiplisitetssjekk — den vanligste poengtapperen. Skriv alltid grunnen: distinkt/symmetrisk/triangulær eller geo $=$ alg.
- $P$ og $D$ feilmatchet: kolonne $j$ i $P$ må høre til egenverdien i posisjon $(j,j)$ i $D$ .
- Regner $A^n$ direkte i stedet for via $PD^nP^{-1}$ — nesten alltid en blindvei.
- Glemmer en egenverdi eller dens multiplisitet; sjekk mot $\operatorname{spor}A=\sum\lambda_i$ og $\det A=\prod\lambda_i$ .
- Feil stasjonær fordeling: husk å normalisere egenvektoren til $\lambda=1$ så komponentene summerer til $1$ .
- Prøver reell diagonalisering ved komplekse egenverdier — sjekk diskriminanten først.
- Desimalsvar i stedet for eksakt form.

Formel-minimum for egenverdikjeden

De faste grepene i kjeden, samlet som repetisjonskort.

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder drilloppgavene.

Verifisering ved innsetting

\mathbf v

Karakteristisk likning

\det(A-\lambda I)=0

Egenrom

E_\lambda

\lambda

Diagonaliserbarhetskriteriet

n\times n

Snarveier til diagonaliserbarhet

n

Bygg

P

D

matchet

P=[\mathbf v_1\ \cdots\ \mathbf v_n]

Potenser

A^n=PD^nP^{-1}

A=PDP^{-1}

Markov: egenverdi 1 og stasjonær fordeling

=1

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 2 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.