Tilbake
5.3
Alle fag for Høyskole

5.3 Potenser Aⁿ, Markov-matriser og langtidsoppførsel

Potenser Aⁿ=PDⁿP⁻¹, polynom i A (samme P), stokastiske/Markov-matriser og langtidsgrensen lim Aⁿx via egenvektordekomponering — et elegant og gjentatt grep, og bevis-bro for nilpotens.

55 min
8 oppgaver
Potenser AⁿMarkov-matriserlangtidsoppførsel
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger direkte på kap. 5.2 (diagonalisering A=PDP−1A=PDP^{-1}) og kap. 5.1 (egenverdier og egenvektorer). Nilpotens-beviset kobles til invers-triksene i kap. 2.2.
Sist du var her — de to formlene alt hviler på:

- Diagonalisering (kap. 5.2): A=PDP−1A=PDP^{-1}, der D=diag⁡(λ1,…,λn)D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) (egenverdier) og PP har egenvektorene som kolonner.
- Potens av diagonalmatrise: Dn=diag⁡(λ1n,…,λnn)D^n=\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_n^n) — bare opphøy hvert diagonalelement.

Disse to gir straks An=PDnP−1A^n=PD^nP^{-1}. Resten av kapitlet er anvendelser av nettopp det.

Hverdagsanker: hvor havner systemet til slutt?

Mange systemer utvikler seg i steg: befolkningen flytter mellom by og bygd år for år, en nettside-surfer klikker seg videre, et fysisk system itereres. Hvert steg er en gang med en matrise AA, så tilstanden etter nn steg er Anx0A^n\mathbf x_0. To spørsmål melder seg: hva ER AnA^n, og hvor havner x0\mathbf x_0 når n→∞n\to\infty? Diagonalisering svarer på begge elegant.

Vi bygger dette i fire løkker: (1) An=PDnP−1A^n=PD^nP^{-1} og polynom i AA; (2) Markov-matriser og den stasjonære fordelingen; (3) langtidsgrensen via egenvektordekomponering; og (4) nilpotens som bevistema (Ak=O⇒A^k=O\Rightarrow egenverdier 00).

Løkke 1 — Potenser An=PDnP−1A^n=PD^nP^{-1} og polynom i AA (~15 min)

Potenser An=PDnP−1A^n=PD^nP^{-1}
Er A=PDP−1A=PDP^{-1} diagonaliserbar, blir høye potenser lette. De indre P−1PP^{-1}P-parene kanselleres:
An=(PDP−1)n=PDnP−1,A^n=(PDP^{-1})^n=PD^{n}P^{-1},
og Dn=diag⁡(λ1n,…,λnn)D^n=\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_n^n) regnes elementvis. I stedet for å gange AA med seg selv nn ganger, opphøyer du tallene på diagonalen og ganger med PP og P−1P^{-1} én gang hver. Dette er den store gevinsten ved diagonalisering.
✏️Eksempel 1: Regn $A^n$ ved diagonalisering

For A=[4123]A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} (diagonalisert i kap. 5.2: λ=2,5\lambda=2,5), finn en formel for AnA^n.

Fra kap. 5.2: P=[11−21]P=\begin{bmatrix}1&1\\-2&1\end{bmatrix}, D=[2005]D=\begin{bmatrix}2&0\\0&5\end{bmatrix}, P−1=13[1−121]P^{-1}=\tfrac13\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}. Da:
An=PDnP−1=[11−21][2n005n]⋅13[1−121].A^n=PD^nP^{-1}=\begin{bmatrix}1&1\\-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2^n&0\\0&5^n\end{bmatrix}\cdot\tfrac13\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}.
Gang ut (først PDn=[2n5n−2⋅2n5n]PD^n=\begin{bmatrix}2^n&5^n\\-2\cdot2^n&5^n\end{bmatrix}, så ganges med 13[1−121]\tfrac13\begin{bmatrix}1&-1\\2&1\end{bmatrix}):
An=13[2n+2⋅5n−2n+5n−2⋅2n+2⋅5n2⋅2n+5n].A^n=\frac13\begin{bmatrix}2^n+2\cdot5^n & -2^n+5^n\\ -2\cdot2^n+2\cdot5^n & 2\cdot2^n+5^n\end{bmatrix}.
Kontroll ved n=2n=2: A2=13[4+50−4+25−8+508+25]=13[54214233]=[1871411]A^2=\tfrac13\begin{bmatrix}4+50&-4+25\\-8+50&8+25\end{bmatrix}=\tfrac13\begin{bmatrix}54&21\\42&33\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}18&7\\14&11\end{bmatrix}. Direkte: A2=[4123]2=[1871411]A^2=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}18&7\\14&11\end{bmatrix} ✓\checkmark.

Svar: An=13[2n+2⋅5n5n−2n2⋅5n−2n+12n+1+5n]A^n=\tfrac13\begin{bmatrix}2^n+2\cdot5^n & 5^n-2^n\\ 2\cdot5^n-2^{n+1} & 2^{n+1}+5^n\end{bmatrix}.

📝Oppgave 1
Sjanger G

La A=[3102]A=\begin{bmatrix}3&1\\0&2\end{bmatrix}.

a) Diagonaliser AA (finn P,DP,D).

b) Finn en formel for AnA^n, og sjekk mot A2A^2.

Polynom i AA: q(A)v=q(λ)vq(A)\mathbf v=q(\lambda)\mathbf v
Hvis Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v, så virker ethvert polynom q(A)=ckAk+⋯+c1A+c0Iq(A)=c_kA^k+\dots+c_1A+c_0I på egenvektoren ved å sette egenverdien inn i polynomet:
q(A)v=q(λ)v.q(A)\mathbf v=q(\lambda)\mathbf v.
Samme egenvektor, egenverdien blir q(λ)q(\lambda). For en diagonaliserbar AA betyr det q(A)=P q(D) P−1q(A)=P\,q(D)\,P^{-1} med q(D)=diag⁡(q(λ1),…,q(λn))q(D)=\operatorname{diag}(q(\lambda_1),\dots,q(\lambda_n)) — samme PP som for AA selv.
✏️Eksempel 2: Polynom i $A$ og Cayley–Hamilton

For A=[4123]A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix} (egenverdier 2,52,5), regn ut A2−7A+10IA^2-7A+10I uten å regne matriseproduktet direkte.

Egenverdiene 22 og 55 er røttene til det karakteristiske polynomet λ2−7λ+10=(λ−2)(λ−5)\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-2)(\lambda-5). La q(λ)=λ2−7λ+10q(\lambda)=\lambda^2-7\lambda+10. For hver egenvektor er q(A)v=q(λ)vq(A)\mathbf v=q(\lambda)\mathbf v, og
q(2)=4−14+10=0,q(5)=25−35+10=0.q(2)=4-14+10=0,\qquad q(5)=25-35+10=0.
Begge egenverdier gir q(λ)=0q(\lambda)=0, så q(A)q(A) sender begge basis-egenvektorer til 0\mathbf 0. Siden egenvektorene utspenner R2\mathbb R^2, er
A2−7A+10I=O.A^2-7A+10I=O.
Dette er Cayley–Hamilton-teoremet: en matrise oppfyller sin egen karakteristiske likning. Kontroll: A2=[1871411]A^2=\begin{bmatrix}18&7\\14&11\end{bmatrix}, 7A=[2871421]7A=\begin{bmatrix}28&7\\14&21\end{bmatrix}, 10I=[100010]10I=\begin{bmatrix}10&0\\0&10\end{bmatrix}, og 18−28+10=018-28+10=0, 7−7+0=07-7+0=0 osv. ✓\checkmark
📝Oppgave 2
Sjanger G

Egenverdiene til en matrise AA er λ=1\lambda=1 og λ=3\lambda=3, med egenvektorer v1\mathbf v_1 og v2\mathbf v_2. Sett q(λ)=λ2−2λq(\lambda)=\lambda^2-2\lambda.

a) Hva er q(A)v1q(A)\mathbf v_1 og q(A)v2q(A)\mathbf v_2?

b) Hva blir egenverdiene til matrisen B=A2−2AB=A^2-2A?

Løkke 2 — Markov-matriser og stasjonær fordeling (~14 min)

Stokastisk (Markov-)matrise

En stokastisk matrise (eller Markov-matrise) er en kvadratisk matrise med ikke-negative elementer der hver kolonne summerer til 11. Kolonnene er sannsynlighetsfordelinger: element (i,j)(i,j) er sannsynligheten for å gå fra tilstand jj til tilstand ii i ett steg. (Noen bøker bruker radsum 11 i stedet — hold deg til kolonnesum-konvensjonen her, i tråd med at vi ganger AxA\mathbf x med vektoren til høyre.)

Egenverdi 11 for en stokastisk matrise

Enhver stokastisk matrise har λ=1\lambda=1 som egenverdi. Grunnen: når hver kolonne summerer til 11, har ATA^{T} radsum 11, så AT1=1A^{T}\mathbf 1=\mathbf 1 (der 1=(1,…,1)\mathbf 1=(1,\dots,1)). Dermed er 11 egenverdi for ATA^{T}, og AA og ATA^{T} har samme egenverdier (kap. 5.1). Alle øvrige egenverdier har ∣λ∣≤1|\lambda|\le1.

Stasjonær vektor (stasjonær fordeling)
En stasjonær vektor q\mathbf q for en stokastisk matrise er en egenvektor for λ=1\lambda=1 som er en sannsynlighetsfordeling (ikke-negative komponenter som summerer til 11):
Aq=q,komponentene≥0, ∑qi=1.A\mathbf q=\mathbf q,\qquad \text{komponentene}\ge0,\ \sum q_i=1.
Den finnes ved å løse (A−I)q=0(A-I)\mathbf q=\mathbf 0 (altså E1=Nul⁡(A−I)E_1=\operatorname{Nul}(A-I)) og deretter normalisere løsningen så komponentene summerer til 11. Stasjonærvektoren er fordelingen systemet «hviler» i — den endres ikke av et nytt steg.
✏️Eksempel 3: Finn den stasjonære fordelingen

En befolkning flytter mellom by og bygd hvert år etter Markov-matrisen A=[0,70,20,30,8]A=\begin{bmatrix}0{,}7&0{,}2\\0{,}3&0{,}8\end{bmatrix} (kolonnene: fra by, fra bygd). Finn den stasjonære fordelingen.

Skriv med brøk for eksakt svar: A=[7/101/53/104/5]A=\begin{bmatrix}7/10&1/5\\3/10&4/5\end{bmatrix}. Kontroll: kolonnesummer 7/10+3/10=17/10+3/10=1 og 1/5+4/5=11/5+4/5=1 ✓\checkmark, så AA er stokastisk og har egenverdi 11.

Løs (A−I)q=0(A-I)\mathbf q=\mathbf 0: A−I=[−3/101/53/10−1/5]A-I=\begin{bmatrix}-3/10&1/5\\3/10&-1/5\end{bmatrix}. Første rad gir −310q1+15q2=0-\tfrac{3}{10}q_1+\tfrac15 q_2=0, altså 3q1=2q23q_1=2q_2, så q2=32q1q_2=\tfrac32 q_1. En egenvektor er [23]\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}.

Normaliser (komponentsum 2+3=52+3=5): q=15[23]=[2/53/5]\mathbf q=\tfrac15\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2/5\\3/5\end{bmatrix}.

Kontroll: Aq=[7/10⋅2/5+1/5⋅3/53/10⋅2/5+4/5⋅3/5]=[2/53/5]=qA\mathbf q=\begin{bmatrix}7/10\cdot2/5+1/5\cdot3/5\\3/10\cdot2/5+4/5\cdot3/5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2/5\\3/5\end{bmatrix}=\mathbf q ✓\checkmark.

Svar: I det lange løp bor 2/52/5 (40 %) i by og 3/53/5 (60 %) i bygd.

📝Oppgave 3
Sjanger G

La A=[1/21/41/23/4]A=\begin{bmatrix}1/2&1/4\\1/2&3/4\end{bmatrix}.

a) Bekreft at AA er stokastisk, og forklar hvorfor 11 er en egenverdi.

b) Finn den stasjonære fordelingen.

Løkke 3 — Langtidsoppførsel via egenvektordekomponering (~14 min)

Langtidsgrense ved dekomponering
For å finne lim⁡n→∞Anx0\lim_{n\to\infty}A^n\mathbf x_0 dekomponerer du startvektoren i egenvektorer, x0=c1v1+⋯+cnvn\mathbf x_0=c_1\mathbf v_1+\dots+c_n\mathbf v_n. Da er
Anx0=c1λ1nv1+⋯+cnλnnvn.A^n\mathbf x_0=c_1\lambda_1^n\mathbf v_1+\dots+c_n\lambda_n^n\mathbf v_n.
Hvert ledd vokser eller dør ut etter sin egenverdi: ledd med ∣λ∣<1|\lambda|<1 går mot 0\mathbf 0, ledd med λ=1\lambda=1 overlever uendret, og ∣λ∣>1|\lambda|>1 vokser. For en Markov-matrise (der λ=1\lambda=1 er størst) overlever bare λ=1\lambda=1-leddet, og grensen er den stasjonære komponenten c1v1c_1\mathbf v_1.
✏️Eksempel 4: Hvor havner systemet?

Med A=[7/101/53/104/5]A=\begin{bmatrix}7/10&1/5\\3/10&4/5\end{bmatrix} fra Eksempel 3 og startfordeling x0=[10]\mathbf x_0=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} (alle i by), finn lim⁡n→∞Anx0\lim_{n\to\infty}A^n\mathbf x_0.

Egenverdiene er λ1=1\lambda_1=1 (fra Eksempel 3) og λ2\lambda_2: spor⁡A=7/10+4/5=3/2\operatorname{spor}A=7/10+4/5=3/2, så λ2=3/2−1=1/2\lambda_2=3/2-1=1/2. Egenvektorer: v1=[23]\mathbf v_1=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix} (for λ=1\lambda=1), og for λ=1/2\lambda=1/2: A−12I=[1/51/53/103/10]→q1+q2=0A-\tfrac12 I=\begin{bmatrix}1/5&1/5\\3/10&3/10\end{bmatrix}\to q_1+q_2=0, så v2=[1−1]\mathbf v_2=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}.

Dekomponer x0=(1,0)=c1v1+c2v2\mathbf x_0=(1,0)=c_1\mathbf v_1+c_2\mathbf v_2: 2c1+c2=12c_1+c_2=1 og 3c1−c2=0⇒c2=3c13c_1-c_2=0\Rightarrow c_2=3c_1. Innsatt: 5c1=1⇒c1=155c_1=1\Rightarrow c_1=\tfrac15, c2=35c_2=\tfrac35.

Grense: Anx0=c1⋅1nv1+c2⋅(1/2)nv2A^n\mathbf x_0=c_1\cdot1^n\mathbf v_1+c_2\cdot(1/2)^n\mathbf v_2. Leddet med (1/2)n→0(1/2)^n\to0 dør ut, så
lim⁡n→∞Anx0=c1v1=15[23]=[2/53/5].\lim_{n\to\infty}A^n\mathbf x_0=c_1\mathbf v_1=\tfrac15\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2/5\\3/5\end{bmatrix}.
Svar: Uansett at alle startet i by, havner fordelingen på 2/52/5 by, 3/53/5 bygd — den stasjonære fordelingen. (Startvektoren summerte til 11, så c1v1c_1\mathbf v_1 er nettopp q\mathbf q.)

📝Oppgave 4
Sjanger G

La A=[1/21/41/23/4]A=\begin{bmatrix}1/2&1/4\\1/2&3/4\end{bmatrix} (fra oppgave 3, stasjonær (1/3,2/3)(1/3,2/3)) med x0=[10]\mathbf x_0=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}. Finn lim⁡n→∞Anx0\lim_{n\to\infty}A^n\mathbf x_0 ved dekomponering.

Løkke 4 — Nilpotens som bevistema (~12 min)

Nilpotent matrise

En kvadratisk matrise AA er nilpotent hvis en potens blir null: Ak=OA^k=O for et heltall k≥1k\ge1. Det minste slike kk kalles nilpotensindeksen. Eksempel: [0100]\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix} har kvadrat OO. Nilpotente matriser er alltid singulære og har bare egenverdien 00 (neste teorem).

📜Bevis-bro: Ak=O⇒A^k=O\Rightarrow alle egenverdier 00
Påstand. Er Ak=OA^k=O for et k≥1k\ge1, er hver egenverdi λ=0\lambda=0.

Bevis. La λ\lambda være en egenverdi med egenvektor v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0: Av=λvA\mathbf v=\lambda\mathbf v. Gjentatt ganging med AA gir Akv=λkvA^k\mathbf v=\lambda^k\mathbf v (kap. 5.1). Men Ak=OA^k=O, så venstresiden er 0\mathbf 0:
λkv=0.\lambda^k\mathbf v=\mathbf 0.
Siden v≠0\mathbf v\ne\mathbf 0, må λk=0\lambda^k=0, altså λ=0\lambda=0. ■\blacksquare

Konsekvenser: En nilpotent matrise har det⁡A=∏λi=0\det A=\prod\lambda_i=0 (singulær), og er aldri diagonaliserbar med mindre A=OA=O (en diagonaliserbar matrise med bare egenverdi 00 er P O P−1=OP\,O\,P^{-1}=O). Dette er broen til Neumann-triksten (I−A)−1=I+A+A2+⋯+Ak−1(I-A)^{-1}=I+A+A^2+\cdots+A^{k-1} fra kap. 2.2: fordi Ak=OA^k=O, stopper den geometriske rekken.

📝Oppgave 5
Sjanger N

Anta at AA er nilpotent med A3=OA^3=O.

a) Vis at 00 er den eneste egenverdien.

b) Forklar hvorfor AA ikke kan være inverterbar.

Cayley–Hamilton (kjennskap)
Cayley–Hamilton-teoremet: enhver kvadratisk matrise oppfyller sitt eget karakteristiske polynom. Er p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda)=\det(A-\lambda I), så er p(A)=Op(A)=O. For 2×2 betyr det A2−(spor⁡A)A+(det⁡A)I=OA^2-(\operatorname{spor}A)A+(\det A)I=O. Teoremet lar deg uttrykke høye potenser AnA^n som lavgrads-polynom i AA, og gir en alternativ vei til A−1A^{-1}. På dette nivået holder det å kjenne til og kunne bruke identiteten for 2×2.

Begrepsbank til eksamen

De resterende kjernebegrepene i kortform for repetisjon og pugging (kode E — intet formelark).

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Potens av en diagonalmatrise
D=diag⁡(λ1,…,λn)D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n) gir Dn=diag⁡(λ1n,…,λnn)D^n=\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_n^n) — bare opphøy hvert diagonalelement. Dette er grunnen til at An=PDnP−1A^n=PD^nP^{-1} er så billig: alt det tunge skjer på diagonalen.
Negative potenser

Er A=PDP−1A=PDP^{-1} inverterbar (alle λi≠0\lambda_i\ne0), gjelder formelen også for negative potenser: A−n=PD−nP−1A^{-n}=PD^{-n}P^{-1} med D−n=diag⁡(λ1−n,…,λn−n)D^{-n}=\operatorname{diag}(\lambda_1^{-n},\dots,\lambda_n^{-n}). Spesielt er A−1=PD−1P−1A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}.

Dominant egenverdi

Den egenverdien med størst tallverdi ∣λ∣|\lambda| kalles den dominante. I Anx0=∑ciλinviA^n\mathbf x_0=\sum c_i\lambda_i^n\mathbf v_i er det leddet med den dominante egenverdien som til slutt bestemmer retningen (så lenge ci≠0c_i\ne0). For Markov-matriser er λ=1\lambda=1 dominant, og systemet nærmer seg stasjonærvektoren.

Ledd med ∣λ∣<1|\lambda|<1 dør ut

I langtidsgrensen Anx0=∑ciλinviA^n\mathbf x_0=\sum c_i\lambda_i^n\mathbf v_i går hvert ledd med ∣λi∣<1|\lambda_i|<1 mot 0\mathbf 0 fordi λin→0\lambda_i^n\to0. Bare ledd med ∣λi∣=1|\lambda_i|=1 (og eventuelt ∣λi∣>1|\lambda_i|>1) overlever. Det er dette som gir en veldefinert grense for Markov-systemer.

Sannsynlighetsvektor

En sannsynlighetsvektor har ikke-negative komponenter som summerer til 11. En stokastisk matrise sender enhver sannsynlighetsvektor til en ny sannsynlighetsvektor (kolonnesum 11 bevarer totalsummen). Den stasjonære fordelingen er den sannsynlighetsvektoren som er fast: Aq=qA\mathbf q=\mathbf q.

Regulær Markov-matrise

En Markov-matrise er regulær hvis en potens AmA^m har bare strengt positive elementer. For en regulær Markov-matrise er λ=1\lambda=1 den eneste egenverdien med ∣λ∣=1|\lambda|=1, og Anx0A^n\mathbf x_0 konvergerer mot den samme stasjonærvektoren q\mathbf q uansett startfordeling x0\mathbf x_0. Dette forklarer hvorfor «alle veier fører til q\mathbf q» i Eksempel 4.

Spor og determinant av AnA^n

Egenverdiene til AnA^n er λin\lambda_i^n, så spor⁡(An)=∑iλin\operatorname{spor}(A^n)=\sum_i\lambda_i^n og det⁡(An)=(det⁡A)n=∏iλin\det(A^n)=(\det A)^n=\prod_i\lambda_i^n. Dette gir en rask kontroll på en AnA^n-formel: sporet av svaret skal være ∑λin\sum\lambda_i^n.

Neumann-rekken

Er AA nilpotent med Ak=OA^k=O, er I−AI-A inverterbar med en endelig geometrisk rekke som invers: (I−A)−1=I+A+A2+⋯+Ak−1(I-A)^{-1}=I+A+A^2+\cdots+A^{k-1} (kap. 2.2). Rekken stopper fordi alle høyere potenser er OO. Nilpotens-teoremet (egenverdier 00) er den teoretiske forklaringen på at I−AI-A er inverterbar.

Idempotente matriser: An=AA^n=A

For en idempotent matrise (A2=AA^2=A, egenverdier 0,10,1) er alle potenser like: An=AA^n=A for n≥1n\ge1. Diagonalt: Dn=DD^n=D når diagonalen bare består av 00 og 11. Slike matriser er projeksjoner (Del 6) og «setter seg» etter ett steg.

Når An→OA^n\to O

En diagonaliserbar matrise oppfyller An→OA^n\to O (nullmatrisen) nettopp når alle egenverdier har ∣λi∣<1|\lambda_i|<1 — da dør hvert ledd λin\lambda_i^n ut. Slike matriser kalles konvergente og er sentrale i stabilitet av iterasjoner og differenslikninger.

Differenslikning xn+1=Axn\mathbf x_{n+1}=A\mathbf x_n

En differenslikning (diskret dynamisk system) er xn+1=Axn\mathbf x_{n+1}=A\mathbf x_n, med løsning xn=Anx0\mathbf x_n=A^n\mathbf x_0. Egenverdiene styrer oppførselen: ∣λ∣<1|\lambda|<1 gir demping mot 0\mathbf 0, λ=1\lambda=1 gir en stabil komponent, ∣λ∣>1|\lambda|>1 gir vekst. Markov-kjeder er spesialtilfellet der AA er stokastisk.

Alle potenser deler egenbasis
A,A2,A3,…A, A^2, A^3,\dots og ethvert polynom q(A)q(A) har nøyaktig de samme egenvektorene som AA — bare egenverdiene endres (λ↦λn\lambda\mapsto\lambda^n eller λ↦q(λ)\lambda\mapsto q(\lambda)). Derfor bruker du SAMME PP i An=PDnP−1A^n=PD^nP^{-1} og q(A)=P q(D) P−1q(A)=P\,q(D)\,P^{-1}; du diagonaliserer bare én gang.
Alle egenverdier til en stokastisk matrise har ∣λ∣≤1|\lambda|\le1

For en stokastisk matrise ligger alle egenverdier i eller på enhetssirkelen: ∣λ∣≤1|\lambda|\le1, med λ=1\lambda=1 alltid til stede. Dette er grunnen til at AnA^n ikke sprenger ut, men konvergerer (for regulære matriser) mot stasjonærfordelingen — ingen egenverdi kan gi vekst.

Kolonnesum 11 bevarer totalen

Ganger du en vektor x\mathbf x med en stokastisk matrise, bevares komponentsummen: ∑i(Ax)i=∑jxj\sum_i(A\mathbf x)_i=\sum_j x_j fordi hver kolonne summerer til 11. En sannsynlighetsfordeling (sum 11) forblir derfor en sannsynlighetsfordeling gjennom alle steg — nyttig kontroll på Markov-regning. Slik modellerer Markov-kjeder systemer som flytter mellom endelig mange tilstander steg for steg (befolkningsflyt, værmodeller, nettverksmodeller).

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.