4.2 Øvingseksamen 1 — de tre søylene (standardmalen)

- kap. 4.1 — sjangerblikket, tidsbudsjettet og strategien for a–f-kjeden.
- kap. 1.5 — estimeringskjeden i sju trinn (Oppgave 1 er en full gjennomkjøring).
- kap. 2.3 og kap. 2.7 — pooled to-utvalgs t og det komplette test-ritualet (Oppgave 2).
- kap. 2.4 — styrke og dimensjonering (Oppgave 2e).
- kap. 3.2, kap. 3.3, kap. 3.4 og kap. 3.5 — R-utskrift, multippel regresjon, diagnostikk og prediksjon (Oppgave 3).
- Transformasjonsteknikken i Oppgave 1c er STK1100-verktøy: CDF-metoden (→ stk1100-4-2).

Oppgave 1 — estimering (ca. 75 min)

Renhetsgraden i råvarepartier til en kjemisk prosess måles som en andel $X\in(0,1)$. En modell for renhetsgraden er fordelingen med tetthet

$$f(x;\theta)=\theta x^{\theta-1},\qquad 0<x<1,\ \theta>0.$$

Du kan bruke at $E(X)=\dfrac{\theta}{\theta+1}$ for denne fordelingen. Et utvalg på $n=25$ uavhengige partier ga $\bar x=0{,}66$ og $\sum_{i=1}^{25}\ln x_i=-12{,}5$.

Der du trenger det, kan du også bruke følgende resultat uten bevis: hvis $T=\sum_{i=1}^n W_i$ der $W_1,\dots,W_n$ er uavhengige og eksponentialfordelte med forventning $1/\theta$, så er $E(1/T)=\dfrac{\theta}{n-1}$. Kvantil: $z_{0{,}025}=1{,}96$.

a) Definer modellen, og finn momentestimatoren for $\theta$. Beregn estimatet.

b) Utled ML-estimatoren for $\theta$, og vis at du har funnet et maksimum. Beregn estimatet.

c) La $W=-\ln X$. Vis at $W$ er eksponentialfordelt med forventning $1/\theta$. Vis deretter at $\displaystyle \bar W=\frac1n\sum W_i$ er en forventningsrett estimator for $\psi=1/\theta$, og finn variansen til $\bar W$.

d) Vis at $E(\hat\theta_{ML})=\dfrac{n\theta}{n-1}$, og angi en justering av $\hat\theta_{ML}$ som er forventningsrett. Beregn det justerte estimatet.

e) Finn Fisher-informasjonen $I(\theta)$ i én observasjon, og angi den tilnærmede fordelingen til $\hat\theta_{ML}$ for stor $n$.

f) Konstruer et tilnærmet 95 % konfidensintervall for $\theta$ (Wald). Standardfeilen avhenger her av parameteren selv — angi også det asymmetriske alternativet $\big[\hat\theta/(1+z_{0{,}025}/\sqrt n),\ \hat\theta/(1-z_{0{,}025}/\sqrt n)\big]$, og forklar kort hvorfor begge er gyldige tilnærminger.

Oppgave 2 — hypotesetest og konfidensintervall (ca. 65 min)

En produsent har utviklet en ny aluminiumslegering og hevder at den har høyere strekkfasthet enn standardlegeringen. Uavhengige prøvestaver ble testet:

- Standardlegering: $m=10$ staver, $\bar y_1=401{,}5$ MPa, $s_1=8{,}2$ MPa.
- Ny legering: $n=12$ staver, $\bar y_2=409{,}8$ MPa, $s_2=7{,}5$ MPa.

Anta at målingene er normalfordelte med felles varians $\sigma^2$. Kvantiler: $t_{20;\,0{,}05}=1{,}725$, $t_{20;\,0{,}025}=2{,}086$, $z_{0{,}05}=1{,}645$, $z_{0{,}10}=1{,}282$.

a) Definer modellen, og formuler hypoteser for produsentens påstand. Begrunn valget mellom ensidig og tosidig alternativ.

b) Angi testobservatoren og fordelingen dens under $H_0$, og utled at testen din får nivå $\alpha=0{,}05$.

c) Gjennomfør testen: beregn den poolede variansen, testobservatoren og konkluder i ord. Definer P-verdien verbalt, og angi hvor den ligger.

d) Konstruer et 95 % konfidensintervall for differansen $\mu_2-\mu_1$. Forklar hvordan intervallet henger sammen med en tosidig test på 5 %-nivå, og hvorfor det ikke svarer direkte til den ensidige testen i c).

e) Et oppfølgingsforsøk planlegges med like store grupper og kjent $\sigma=8$ MPa (planleggingsverdi). Hvor mange staver trengs per gruppe for at en ensidig test på 5 %-nivå skal ha styrke minst $0{,}90$ når den sanne differansen er 5 MPa?

Oppgave 3 — lineær regresjon (ca. 85 min)

Et energiselskap undersøker døgnforbruket av fjernvarme $y$ (MWh) i et kontorbygg som funksjon av utetemperatur temp (°C) og vindstyrke vind (m/s), målt over $n=20$ døgn. I datamaterialet ligger temp mellom $-7{,}9$ og $13{,}9$ °C og vind mellom $1{,}1$ og $6{,}3$ m/s, og utvalgskorrelasjonen mellom temp og vind er $-0{,}48$. To modeller ble tilpasset.

Utskrift 1 (forbruk mot temperatur):

Coefficients:
             Estimate  Std. Error  t value  Pr(>|t|)
(Intercept)  109.2527      1.5459   70.674   < 2e-16
temp          -3.1510      0.1999  -15.761  5.62e-12

Residual standard error: 5.500 on 18 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9324,   Adjusted R-squared:  0.9287
F-statistic: 248.4 on 1 and 18 DF,  p-value: 5.62e-12

Utskrift 2 (forbruk mot temperatur og vind):

Coefficients:
             Estimate  Std. Error  t value  Pr(>|t|)
(Intercept)   99.7150      3.8639   25.807  4.44e-15
temp          -2.9035      0.1973  -14.719  4.18e-11
vind           2.1510      0.8173    2.632    0.0175

Residual standard error: 4.770 on 17 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9520,   Adjusted R-squared:  0.9463
F-statistic: 168.6 on 2 and 17 DF,  p-value: 6.18e-12

Kvantiler: $t_{18;\,0{,}025}=2{,}101$, $t_{17;\,0{,}025}=2{,}110$.

a) Skriv opp modellen bak utskrift 1, og tolk $\hat\beta_0$ og $\hat\beta_1$ i kontekst.

b) Test $H_0:\beta_1=0$ mot $H_a:\beta_1\neq 0$ på 5 %-nivå ut fra utskrift 1 — angi frihetsgradene du bruker — og konstruer et 95 % konfidensintervall for $\beta_1$.

c) Temperatur-koeffisienten endrer seg fra $-3{,}151$ i utskrift 1 til $-2{,}904$ i utskrift 2. Forklar hvorfor, og tolk vindkoeffisienten i den utvidede modellen.

d) Hvilken modell foretrekker du? Begrunn med riktig størrelse fra utskriftene, og forklar hvorfor Multiple R-squared alene ikke kan brukes til valget.

e) For modell 2 beskrives diagnostikken slik: residualene mot tilpassede verdier viser ingen systematisk kurvatur; scale–location-plottet er tilnærmet flatt; QQ-plottet følger referanselinja bortsett fra ett punkt i øvre hale. Vurder modellantakelsene ut fra dette. Hva ville en vifteform i det første plottet ha betydd for inferensen?

f) For et døgn med temp $=2$ og vind $=5$ gir modell 2 prediksjonen $\hat y_0$ med standardfeil for forventet respons $se(\hat y_0)=1{,}333$. Beregn $\hat y_0$, konstruer et 95 % konfidensintervall for forventet forbruk og et 95 % prediksjonsintervall for faktisk forbruk dette døgnet, og forklar forskjellen. Kan modellen brukes for et døgn med temp $=-25$?