Tilbake
2.3
Alle fag for Høyskole

2.3 To-utvalg, parvise data og andeler

To-utvalgs t-test med pooled varians, parvise data redusert til differanser, og andelstest med pooled p̂ — og hvorfor parvis IKKE er det samme som to uavhengige utvalg.

55 min
11 oppgaver
To-utvalgparvise dataandeler
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på det komplette testritualet i kap. 2.2 (fem trinn, P-verdi, dualitet) og på konfidensintervallene i kap. 2.1 (t-intervall, kvantiler, n−1n-1). Alt her er samme maskineri anvendt på en differanse i stedet for én forventning.

Regnereglene for varians av en sum/differanse — Var⁡(Yˉ1−Yˉ2)=Var⁡(Yˉ1)+Var⁡(Yˉ2)\operatorname{Var}(\bar Y_1-\bar Y_2)=\operatorname{Var}(\bar Y_1)+\operatorname{Var}(\bar Y_2) for uavhengige grupper — kommer fra STK1100 kap. 1.2 Stokastiske variable, forventning og varians (→ stk1100-1-2) (klartekst — STK1100 er ikke bygget ennå).

Sist du var her (fra kap. 2.1–2.2 — det du trenger nå):

T=Xˉ−μ0S/n∼tn−1 (under H0),Xˉ±tn−1,α/2Sn.T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}\ (\text{under } H_0),\qquad \bar X\pm t_{n-1,\alpha/2}\frac{S}{\sqrt n}.

Én forventning testes med observator over standardfeil, og fordelingen er tn−1t_{n-1}. Nå sammenligner vi TO forventninger. Alt følger samme mal — men vi må slå sammen spredningen fra begge gruppene og telle frihetsgradene på nytt.

Svært mange spørsmål handler om å sammenligne to grupper: virker behandling A bedre enn B? Er andelen fornøyde høyere i den ene gruppen? Skiller to strender seg i målt verdi?

Det fins tre situasjoner, og de behandles ulikt:

1. To uavhengige utvalg (ulike enheter i hver gruppe) →\to to-utvalgs t-test med pooled varians.
2. Parvise (avhengige) data (samme enhet målt to ganger, f.eks. før/etter) →\to reduser til differanser og gjør en ett-utvalgs test.
3. To andeler →\to z-test med en pooled p^\hat p under H0H_0.

Vi går i tre løkker, én per situasjon: teori →\to gjennomregnet eksempel →\to øvingsoppgave.

Løkke 1 — To uavhengige utvalg med pooled varians (~18 min)

To uavhengige utvalg (lik varians)
Modellen: to uavhengige grupper, Y1,1,…,Y1,m∼N(μ1,σ2)Y_{1,1},\dots,Y_{1,m}\sim N(\mu_1,\sigma^2) og Y2,1,…,Y2,n∼N(μ2,σ2)Y_{2,1},\dots,Y_{2,n}\sim N(\mu_2,\sigma^2), med felles varians σ2\sigma^2 (lik-varians-antakelsen). Vi vil teste H0:μ1=μ2H_0:\mu_1=\mu_2 (dvs. μ1−μ2=0\mu_1-\mu_2=0). «Uavhengige» betyr at gruppene består av ulike enheter — ingen kobling mellom dem. Antakelsen om lik varians lar oss slå sammen spredningsanslagene.
Pooled (sammenslått) varians Sp2S_p^2
Pooled varians slår sammen de to utvalgsvariansene til ett felles anslag på σ2\sigma^2, vektet med frihetsgradene:
Sp2=(m−1)S12+(n−1)S22m+n−2.S_p^2=\frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2}.
Telleren er summen av kvadratavvik fra begge grupper; nevneren m+n−2m+n-2 er de samlede frihetsgradene (hver gruppe mister én til sitt eget gjennomsnitt). Sp=Sp2S_p=\sqrt{S_p^2} er det felles standardavviket. Den gruppa med flest observasjoner teller mest.
📝Oppgave 1

Gruppe 1 har m=8m=8 observasjoner med s1=3,0s_1=3{,}0; gruppe 2 har n=10n=10 med s2=2,4s_2=2{,}4. Regn ut pooled varians Sp2S_p^2 og pooled standardavvik SpS_p.

To-utvalgs t-observator
Observatoren måler differansen Yˉ1−Yˉ2\bar Y_1-\bar Y_2 i enheter av dens standardfeil:
T=Yˉ1−Yˉ2Sp1m+1n ∼ tm+n−2(under H0:μ1=μ2).T=\frac{\bar Y_1-\bar Y_2}{S_p\sqrt{\dfrac1m+\dfrac1n}}\ \sim\ t_{m+n-2}\quad(\text{under } H_0:\mu_1=\mu_2).
Standardfeilen Sp1/m+1/nS_p\sqrt{1/m+1/n} kommer av at Var⁡(Yˉ1−Yˉ2)=σ2(1/m+1/n)\operatorname{Var}(\bar Y_1-\bar Y_2)=\sigma^2(1/m+1/n) for uavhengige grupper. Frihetsgradene er m+n−2m+n-2 — feil df her er en klassisk tabbe (§4.6).
Konfidensintervall for differansen μ1−μ2\mu_1-\mu_2
Intervallet for forskjellen har samme form som ett-utvalgs t-intervall, men på differansen:
(Yˉ1−Yˉ2) ± tm+n−2, α/2  Sp1m+1n.(\bar Y_1-\bar Y_2)\ \pm\ t_{m+n-2,\,\alpha/2}\;S_p\sqrt{\frac1m+\frac1n}.
Dualiteten gjelder: inneholder intervallet 0, kan H0:μ1=μ2H_0:\mu_1=\mu_2 ikke forkastes tosidig på nivå α\alpha; ekskluderer det 0, forkastes H0H_0.
✏️Eksempel 1: To-utvalgs t-test med pooled varians (sjanger G)

Målt konsentrasjon ved to stasjoner: stasjon 1 har m=10m=10 prøver med yˉ1=19,0\bar y_1=19{,}0 og s1=2,5s_1=2{,}5; stasjon 2 har n=12n=12 prøver med yˉ2=15,5\bar y_2=15{,}5 og s2=3,0s_2=3{,}0. Anta normale data med lik varians. Test på 1 %-nivå om forventet konsentrasjon er forskjellig, og gi et 99 % KI for differansen. Bruk t20, 0,005=2,845t_{20,\,0{,}005}=2{,}845.

1. H0:μ1=μ2H_0:\mu_1=\mu_2 mot Ha:μ1≠μ2H_a:\mu_1\ne\mu_2 (tosidig — spør bare om «forskjellig»).

2. Pooled varians: Sp2=9⋅2,52+11⋅3,0220=56,25+9920=7,76S_p^2=\dfrac{9\cdot 2{,}5^2+11\cdot 3{,}0^2}{20}=\dfrac{56{,}25+99}{20}=7{,}76, så Sp=2,79S_p=2{,}79. Observator T=Yˉ1−Yˉ2Sp1/m+1/n∼t20T=\dfrac{\bar Y_1-\bar Y_2}{S_p\sqrt{1/m+1/n}}\sim t_{20} under H0H_0.

3. Forkast når ∣T∣>t20, 0,005=2,845|T|>t_{20,\,0{,}005}=2{,}845. Under H0H_0: P(∣T∣>2,845∣H0)=0,005+0,005=0,01P(|T|>2{,}845\mid H_0)=0{,}005+0{,}005=0{,}01 — nivå 1 %.

4. Standardfeil: Sp1/10+1/12=2,79⋅0,1833=2,79⋅0,4282=1,193S_p\sqrt{1/10+1/12}=2{,}79\cdot\sqrt{0{,}1833}=2{,}79\cdot 0{,}4282=1{,}193. T=19,0−15,51,193=3,51,193=2,93>2,845T=\dfrac{19{,}0-15{,}5}{1{,}193}=\dfrac{3{,}5}{1{,}193}=2{,}93>2{,}845: forkast. P-verdi ≈0,008<0,01\approx 0{,}008<0{,}01.

5. På 1 %-nivå er det forskjell i forventet konsentrasjon mellom stasjonene. 99 % KI: 3,5±2,845⋅1,193=3,5±3,39=[0,11, 6,89]3{,}5\pm 2{,}845\cdot 1{,}193=3{,}5\pm 3{,}39=[0{,}11,\ 6{,}89]. Intervallet utelukker 0 — samme konklusjon (dualitet).

📝Oppgave 2

To metoder måles på uavhengige prøver: metode 1 har m=8m=8, yˉ1=25,0\bar y_1=25{,}0, s1=3,0s_1=3{,}0; metode 2 har n=10n=10, yˉ2=22,0\bar y_2=22{,}0, s2=2,4s_2=2{,}4 (normale data, lik varians). Fra oppgave 1 er Sp2=7,18S_p^2=7{,}18, Sp=2,68S_p=2{,}68. Test tosidig på 5 %-nivå og gi et 95 % KI for differansen. Bruk t16, 0,025=2,120t_{16,\,0{,}025}=2{,}120.

Løkke 2 — Parvise data: reduser til differanser (~16 min)

Parvise (avhengige) data
Parvise data oppstår når hver enhet gir to koblede målinger — typisk før og etter et tiltak på samme individ, eller to metoder på samme prøve. Da er de to «gruppene» IKKE uavhengige: en person med høy verdi før har ofte høy verdi etter. Denne koblingen må utnyttes, ikke ignoreres — å behandle parvise data som to uavhengige utvalg er en klassisk feil (§5.4).
Parvis t-test (differanse-reduksjon)
Grepet: regn differansen for hvert par, Di=Xi−YiD_i=X_i-Y_i, og behandle D1,…,DnD_1,\dots,D_n som ETT utvalg. Test H0:μD=0H_0:\mu_D=0 med en ett-utvalgs t-test:
T=DˉSD/n ∼ tn−1(under H0),T=\frac{\bar D}{S_D/\sqrt n}\ \sim\ t_{n-1}\quad(\text{under } H_0),
der Dˉ\bar D og SDS_D er gjennomsnitt og standardavvik av differansene, og nn er antall par. Frihetsgradene er n−1n-1 (ikke 2n−22n-2) — koblingen halverer i praksis problemet til ett utvalg.
✏️Eksempel 2: Parvis t-test (sjanger G)

Åtte deltakere måles før og etter et treningsprogram. Differansene (etter − før, i kg) er 3, 1, 4, 2, 0, 5, −1, 33,\ 1,\ 4,\ 2,\ 0,\ 5,\ -1,\ 3. Test på 5 %-nivå om programmet gir en økning i forventet verdi. Bruk t7, 0,05=1,895t_{7,\,0{,}05}=1{,}895 og opplys at P(T7>2,96)≈0,011P(T_7>2{,}96)\approx 0{,}011.

1. H0:μD=0H_0:\mu_D=0 mot Ha:μD>0H_a:\mu_D>0 (ensidig — vi vil påvise økning). Her er DiD_i differansene, behandlet som ETT utvalg.

2. Dˉ=3+1+4+2+0+5−1+38=178=2,125\bar D=\dfrac{3+1+4+2+0+5-1+3}{8}=\dfrac{17}{8}=2{,}125; SD=2,03S_D=2{,}03; T=DˉSD/8∼t7T=\dfrac{\bar D}{S_D/\sqrt 8}\sim t_7 under H0H_0.

3. Forkast når T>t7, 0,05=1,895T>t_{7,\,0{,}05}=1{,}895. Under H0H_0: P(T>1,895∣H0)=0,05P(T>1{,}895\mid H_0)=0{,}05.

4. T=2,1252,03/8=2,1250,718=2,96>1,895T=\dfrac{2{,}125}{2{,}03/\sqrt 8}=\dfrac{2{,}125}{0{,}718}=2{,}96>1{,}895: forkast. P-verdi =P(T7>2,96)≈0,011<0,05=P(T_7>2{,}96)\approx 0{,}011<0{,}05 — sannsynligheten under H0H_0 for et minst like ekstremt utfall.

5. På 5 %-nivå er det belegg for at programmet gir en økning (forventet endring >0>0; P-verdi ≈0,011\approx 0{,}011). Merk: her er n=8n=8 par, så df =7=7 — ikke 2⋅8−2=142\cdot 8-2=14.

📝Oppgave 3

Ti prøver måles med to instrumenter. Differansene (instrument A − B) er 5, 2, 3, −1, 4, 2, 6, 1, 3, 05,\ 2,\ 3,\ -1,\ 4,\ 2,\ 6,\ 1,\ 3,\ 0. Test tosidig på 5 %-nivå om instrumentene gir systematisk ulikt resultat. Bruk dˉ=2,5\bar d=2{,}5, sD=2,17s_D=2{,}17, t9, 0,025=2,262t_{9,\,0{,}025}=2{,}262 og P(T9>3,64)≈0,003P(T_9>3{,}64)\approx 0{,}003 (tosidig ≈0,005\approx 0{,}005).

Løkke 3 — To andeler med pooled p-hatt (~13 min)

Pooled andelsestimat p^\hat p under H0H_0
Under H0:p1=p2H_0:p_1=p_2 antar vi én felles andel, og estimerer den ved å slå sammen ALLE suksessene:
p^=x1+x2n1+n2,\hat p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},
der x1,x2x_1,x_2 er antall suksesser og n1,n2n_1,n_2 gruppestørrelsene. Dette pooled estimatet brukes i standardfeilen til testen — fordi H0H_0 sier at gruppene har samme pp. (I et konfidensintervall for differansen brukes derimot separate p^1,p^2\hat p_1,\hat p_2, siden vi da ikke antar likhet.)
To-utvalgs andelstest (z-test)
Observatoren sammenligner de to andelene med pooled standardfeil under H0H_0:
Z=p^1−p^2p^(1−p^)(1n1+1n2) ∼ N(0,1)(under H0),Z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)}}\ \sim\ N(0,1)\quad(\text{under } H_0),
der p^1=x1/n1\hat p_1=x_1/n_1, p^2=x2/n2\hat p_2=x_2/n_2 og p^\hat p er det pooled estimatet. Normaltilnærmingen krever at antall suksesser og feil i hver gruppe er romslig større enn 5.
✏️Eksempel 3: To-utvalgs andelstest (sjanger G)

I gruppe 1 er x1=70x_1=70 av n1=200n_1=200 fornøyde; i gruppe 2 er x2=45x_2=45 av n2=180n_2=180. Test tosidig på 5 %-nivå om andelen fornøyde er forskjellig. Bruk z0,025=1,96z_{0{,}025}=1{,}96 og P(Z>2,12)≈0,017P(Z>2{,}12)\approx 0{,}017.

1. H0:p1=p2H_0:p_1=p_2 mot Ha:p1≠p2H_a:p_1\ne p_2 (tosidig).

2. p^1=70/200=0,35\hat p_1=70/200=0{,}35, p^2=45/180=0,25\hat p_2=45/180=0{,}25. Pooled: p^=70+45200+180=115380=0,303\hat p=\dfrac{70+45}{200+180}=\dfrac{115}{380}=0{,}303. Observator Z∼N(0,1)Z\sim N(0,1) under H0H_0.

3. Forkast når ∣Z∣>1,96|Z|>1{,}96. Under H0H_0: P(∣Z∣>1,96∣H0)=0,05P(|Z|>1{,}96\mid H_0)=0{,}05.

4. Standardfeil: 0,303⋅0,697 (1/200+1/180)=0,2112⋅0,01056=0,002230=0,0472\sqrt{0{,}303\cdot 0{,}697\,(1/200+1/180)}=\sqrt{0{,}2112\cdot 0{,}01056}=\sqrt{0{,}002230}=0{,}0472. Z=0,35−0,250,0472=0,100,0472=2,12>1,96Z=\dfrac{0{,}35-0{,}25}{0{,}0472}=\dfrac{0{,}10}{0{,}0472}=2{,}12>1{,}96: forkast. Tosidig P-verdi =2⋅P(Z>2,12)≈0,034<0,05=2\cdot P(Z>2{,}12)\approx 0{,}034<0{,}05.

5. På 5 %-nivå er andelen fornøyde forskjellig mellom gruppene (P-verdi ≈0,034\approx 0{,}034). Merk bruk av pooled p^=0,303\hat p=0{,}303 i standardfeilen.

📝Oppgave 4

Gruppe 1: x1=48x_1=48 suksesser av n1=120n_1=120. Gruppe 2: x2=30x_2=30 av n2=100n_2=100. Test tosidig på 5 %-nivå om suksessandelen er forskjellig. Bruk z0,025=1,96z_{0{,}025}=1{,}96 og P(Z>1,54)≈0,062P(Z>1{,}54)\approx 0{,}062.

Kobling: to-utvalg som regresjon på en dummy
En to-utvalgs t-test er ekvivalent med en enkel lineær regresjon på en indikatorvariabel (dummy). Kod gruppetilhørighet som x∈{0,1}x\in\{0,1\} (eller {±0,5}\{\pm 0{,}5\}); da er stigningstallet β^1\hat\beta_1 nettopp differansen Yˉ1−Yˉ2\bar Y_1-\bar Y_2, det pooled standardavviket SpS_p er regresjonens σ^\hat\sigma, og t-testen for β1=0\beta_1=0 er identisk med to-utvalgstesten. Dette utdypes i Del 3 (kap. 3.1) og kobler sammenligning og regresjon. (Prioritet: kjenne til nå, brukes senere.)

Blandet drill (sjanger G, stigende)

📝Oppgave 5

En forsker sammenligner utbytte fra to jordtyper (uavhengige felt): type A har m=6m=6, yˉ1=42\bar y_1=42, s1=4s_1=4; type B har n=9n=9, yˉ2=37\bar y_2=37, s2=5s_2=5 (normale data, lik varians).

a) Regn pooled varians og standardfeil.

b) Test tosidig på 5 %-nivå. Bruk t13, 0,025=2,160t_{13,\,0{,}025}=2{,}160.

c) Gi et 95 % KI for differansen og bruk dualiteten.

📝Oppgave 6

(Krevende — velg riktig oppsett.) I hvert av tilfellene: si om det er PARVISE data eller TO UAVHENGIGE utvalg, hvilken observator og hvilke frihetsgrader du bruker.

a) Blodtrykk hos 20 pasienter, målt før og etter medisin.

b) Reaksjonstid hos 15 menn og 18 kvinner.

c) Slitasje på venstre og høyre sko hos 12 personer, to materialer.

📝Oppgave 7

(Kald oppgave — fasit som momentliste, ingen hint.) I en kampanje svarer x1=90x_1=90 av n1=300n_1=300 ja i by A og x2=60x_2=60 av n2=250n_2=250 ja i by B. Sett opp hypotesene for en tosidig andelstest, regn pooled p^\hat p, standardfeil og observator ZZ, og angi hva du trenger for å konkludere på 5 %-nivå.

Begrepsbank

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet. Korte, navngitte definisjoner for eksamensrepetisjon.
Pooled varians (kort)
Sp2=(m−1)S12+(n−1)S22m+n−2S_p^2=\dfrac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2} — det felles variansanslaget når to grupper antas å ha samme σ2\sigma^2. Vektet med frihetsgrader; nevner m+n−2m+n-2.
To-utvalgs t-observator (kort)
T=Yˉ1−Yˉ2Sp1/m+1/n∼tm+n−2T=\dfrac{\bar Y_1-\bar Y_2}{S_p\sqrt{1/m+1/n}}\sim t_{m+n-2} under H0:μ1=μ2H_0:\mu_1=\mu_2. Frihetsgrader m+n−2m+n-2.
Frihetsgrader, pooled to-utvalg
m+n−2m+n-2: hver gruppe mister én frihetsgrad til sitt eget gjennomsnitt. Feil df (f.eks. m+n−1m+n-1 eller n−1n-1) er en klassisk tabbe som straffes.
Varians av en differanse (uavhengige)

For uavhengige grupper: Var⁡(Yˉ1−Yˉ2)=Var⁡(Yˉ1)+Var⁡(Yˉ2)=σ2(1/m+1/n)\operatorname{Var}(\bar Y_1-\bar Y_2)=\operatorname{Var}(\bar Y_1)+\operatorname{Var}(\bar Y_2)=\sigma^2(1/m+1/n). Variansene LEGGES sammen (pluss), også for en differanse.

Lik-varians-antakelsen

Pooling forutsetter at de to gruppene har samme σ2\sigma^2. Er variansene tydelig ulike, brukes en Welch-variant (ikke pooled) — eller man sjekker antakelsen med en F-test for variansforhold (kap. 2.5).

Welch-t (kjenne til)

Et to-utvalgs t-alternativ som IKKE antar lik varians; det bruker separate S12,S22S_1^2,S_2^2 og en tilnærmet (ofte ikke-heltallig) frihetsgrad. Pooled t er standard på eksamen, men vit at Welch finnes for ulik varians. (Prioritet: kjenne til.)

Parvise data (kort)

To koblede målinger per enhet (før/etter, to metoder på samme prøve). Reduseres til differanser DiD_i og behandles som ETT utvalg. IKKE to uavhengige utvalg.

Parvis t-observator (kort)
T=Dˉ/(SD/n)∼tn−1T=\bar D/(S_D/\sqrt n)\sim t_{n-1} under H0:μD=0H_0:\mu_D=0, der nn er antall par. Differansene fjerner individvariasjonen og gir høyere sensitivitet.
Frihetsgrader, parvis
n−1n-1, der nn er antall PAR — ikke 2n−22n-2. Koblingen reduserer problemet til ett utvalg av differanser.
Hvorfor parvis er kraftigere

Ved å ta differanser fjernes den delen av variasjonen som skyldes forskjeller mellom enheter. Standardfeilen blir mindre, så en reell effekt oppdages lettere enn med et uavhengig oppsett.

Pooled andel (kort)
p^=(x1+x2)/(n1+n2)\hat p=(x_1+x_2)/(n_1+n_2) — felles andel under H0:p1=p2H_0:p_1=p_2. Brukes i standardfeilen til andelstesten, ikke i KI for differansen.
To-utvalgs andels-z (kort)
Z=p^1−p^2p^(1−p^)(1/n1+1/n2)∼N(0,1)Z=\dfrac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)(1/n_1+1/n_2)}}\sim N(0,1) under H0H_0, med pooled p^\hat p. Normaltilnærming, ingen frihetsgrader.
KI for andelsdifferansen
(p^1−p^2)±zα/2p^1(1−p^1)n1+p^2(1−p^2)n2(\hat p_1-\hat p_2)\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\dfrac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}} — her brukes SEPARATE p^1,p^2\hat p_1,\hat p_2 (ikke pooled), fordi vi ikke antar likhet.
Pooled mot separate i andeler

Test av H0:p1=p2H_0:p_1=p_2: bruk pooled p^\hat p i standardfeilen (fordi H0H_0 antar likhet). Konfidensintervall for p1−p2p_1-p_2: bruk separate p^1,p^2\hat p_1,\hat p_2 (ingen likhetsantakelse). En hyppig forveksling.

To-utvalg som dummy-regresjon

Med gruppe kodet som dummy x∈{0,1}x\in\{0,1\} er β^1=Yˉ1−Yˉ2\hat\beta_1=\bar Y_1-\bar Y_2, Sp=σ^S_p=\hat\sigma, og t-testen for β1=0\beta_1=0 er identisk med to-utvalgstesten. Broen til regresjonen i Del 3.

Antakelser i to-utvalgstesten

Normale data i hver gruppe, uavhengige observasjoner, og (for pooled) lik varians. t-testen er rimelig robust mot moderate normalitetsavvik, mindre mot sterkt ulik varians.

Estimert differanse
Yˉ1−Yˉ2\bar Y_1-\bar Y_2 (to-utvalg) eller Dˉ\bar D (parvis) er selve estimatet på effekten. Rapporter det med KI ved siden av P-verdien — signifikans alene sier ikke hvor stor forskjellen er.
Retning i to-gruppe-tester

«Er A større enn B?» gir ensidig Ha:μ1>μ2H_a:\mu_1>\mu_2; «er de forskjellige?» gir tosidig Ha:μ1≠μ2H_a:\mu_1\ne\mu_2. Samme regel som for ett utvalg — retningen følger av spørsmålet.

Gyldighet for andels-z

Normaltilnærmingen krever at antall suksesser OG feil i HVER gruppe er romslig over 5 (noen krever ≥10\ge 10). Ved svært små andeler eller grupper er den upålitelig.

Dualitet for differansen

Inneholder KI-et for μ1−μ2\mu_1-\mu_2 (eller μD\mu_D, eller p1−p2p_1-p_2) verdien 0, kan H0H_0 om ingen forskjell ikke forkastes tosidig. Utelukker det 0, forkastes H0H_0. Samme kryssjekk som i kap. 2.2.

Velg riktig to-gruppe-test

Beslutningsregel: er responsen en andel →\to to-utvalgs andels-z med pooled p^\hat p. Ellers, er enhetene koblet (samme/matchede enheter) →\to parvis t på differansene (tn−1t_{n-1}); er de uavhengige →\to pooled to-utvalgs t (tm+n−2t_{m+n-2}). Feil valg her endrer både observator og frihetsgrader.

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.