Tilbake
2.2
Alle fag for Høyskole

2.2 Hypotesetestens rituale: nivå, P-verdi og dualitet

Det komplette test-ritualet sensor krever: H₀/Hₐ med begrunnet retning, testobservator med fordeling under H₀, utledning av at nivået blir α via P(forkast H₀|H₀), P-verdien definert verbalt korrekt, konklusjon i ord, og CI↔test-dualiteten.

60 min
12 oppgaver
Hypotesetestens ritualenivåP-verdidualitet
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger direkte på konfidensintervallene i kap. 2.1 (t-, z- og andels-intervall, kvantiler og frihetsgrader) — dualiteten kobler test og intervall sammen. Fordelingsteorien (tn−1t_{n-1}, N(0,1)N(0,1)) og standardfeilen kommer derfra og fra kap. 1.3.

Du trenger også regnereglene for forventning og varians av Xˉ\bar X fra STK1100 kap. 1.2 Stokastiske variable, forventning og varians (→ stk1100-1-2) (klartekst — STK1100 er ikke bygget ennå).

Sist du var her (fra kap. 2.1 — det du trenger nå):

Xˉ−μS/n∼tn−1,95 %-KI: Xˉ±tn−1, 0,025Sn.\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1},\qquad \text{95 \%-KI: } \bar X\pm t_{n-1,\,0{,}025}\frac{S}{\sqrt n}.

Pivoten (Xˉ−μ)/(S/n)(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n) er den samme størrelsen vi nå bruker som testobservator: setter vi inn en påstått μ0\mu_0 i stedet for den sanne μ\mu, får vi en observator som forteller hvor langt dataene ligger fra påstanden, målt i standardfeil. Og et tosidig KI og en tosidig test er to sider av samme sak — det er dualiteten.

En hypotesetest svarer på ett spørsmål: er det vi ser i dataene, forenlig med en bestemt påstand — eller så uvanlig at vi forkaster påstanden? Vi setter opp påstanden som en nullhypotese, regner hvor ekstreme dataene er hvis den er sann, og forkaster hvis det er ekstremt nok.

Det sensor tester, er ikke om du får «forkast» eller «ikke forkast» — det er om du kan skrive ut hele ritualet: formulere hypotesene riktig, oppgi observatorens fordeling, utlede at testen har det nivået den skal ha, definere P-verdien i ord, og konkludere i kontekst.

Vi går i fem løkker som er de fem faste trinnene: (1) hypotesene med begrunnet retning, (2) observator og fordeling under H0H_0, (3) utledning av nivået α\alpha, (4) P-verdien, (5) konklusjon + dualitet.

Løkke 1 — Trinn 1: hypotesene med begrunnet retning (~10 min)

Nullhypotesen H0H_0
Nullhypotesen er påstanden vi setter på prøve — vanligvis «ingen effekt / ingen forskjell / status quo». Den formuleres som en likhet om parameteren, f.eks. H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0. Testen gir H0H_0 «tvilens fordel»: vi forkaster den bare hvis dataene er sterkt uforenlige med den. Vi kan forkaste eller beholde H0H_0 — aldri «bevise» den.
Alternativhypotesen HaH_a
Alternativhypotesen er det vi ønsker å påvise — det H0H_0 må vike for. Den er en ulikhet: tosidig Ha:μ≠μ0H_a:\mu\ne\mu_0 (endring i en hvilken som helst retning) eller ensidig Ha:μ>μ0H_a:\mu>\mu_0 / Ha:μ<μ0H_a:\mu<\mu_0 (endring i én bestemt retning). Retningen skal begrunnes ut fra hva situasjonen ber deg påvise.
Ensidig mot tosidig — begrunnet retning
Valget av retning følger av spørsmålet, ikke av dataene. Skal du påvise at et tiltak virker (øker en verdi), er Ha:μ>μ0H_a:\mu>\mu_0 ensidig. Skal du bare påvise at noe har endret seg uten å vite retning, er Ha:μ≠μ0H_a:\mu\ne\mu_0 tosidig. Bestem retning FØR du ser på observatoren — å velge retning etter å ha sett dataene («fiske») ugyldiggjør nivået. En tosidig test bruker α/2\alpha/2 i hver hale; en ensidig hele α\alpha i én.
📝Oppgave 1

En produsent hevder at gjennomsnittlig fylling er μ=500\mu=500 ml. En kontrollør vil undersøke om maskinen underfyller (gir mindre enn 500 ml).

a) Formuler H0H_0 og HaH_a.

b) Er testen ensidig eller tosidig, og hvorfor?

Løkke 2 — Trinn 2: testobservator og fordeling under H0 (~10 min)

Testobservatoren
Testobservatoren er en funksjon av dataene som måler hvor langt utvalget ligger fra H0H_0, i enheter av standardfeil. For forventningen med ukjent σ\sigma:
T=Xˉ−μ0S/n,T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n},
der μ0\mu_0 er verdien fra H0H_0. Stor ∣T∣|T| betyr at dataene ligger langt fra påstanden. Observatoren er en stokastisk variabel (stor bokstav) — det er fordelingen dens vi bruker.
Fordelingen under H0H_0
Nøkkelen til hele testen: hvilken fordeling har observatoren hvis H0H_0 er sann? For T=(Xˉ−μ0)/(S/n)T=(\bar X-\mu_0)/(S/\sqrt n) med normale data og μ=μ0\mu=\mu_0 er
T∼tn−1(under H0).T\sim t_{n-1}\quad(\text{under } H_0).
Med kjent σ\sigma blir den Z∼N(0,1)Z\sim N(0,1). Det er denne fordelingen som forteller hva som er «uvanlig store» verdier — og som gir både kritisk verdi og P-verdi. Oppgi ALLTID fordelingen (type OG frihetsgrader).
📝Oppgave 2

Du tester H0:μ=50H_0:\mu=50 med n=25n=25 normale observasjoner og ukjent σ\sigma.

a) Skriv opp testobservatoren.

b) Hvilken fordeling har den under H0H_0?

Løkke 3 — Trinn 3: utled at nivaet blir alpha (~14 min)

Signifikansnivået α\alpha (type I-feil)
Signifikansnivået α\alpha er sannsynligheten for å forkaste H0H_0 når H0H_0 faktisk er sann — en type I-feil (falsk alarm). Vi velger α\alpha på forhånd (typisk 0,05 eller 0,01) og bygger testen slik at
P(forkast H0∣H0 sann)=α.P(\text{forkast } H_0 \mid H_0 \text{ sann})=\alpha.
Lavere α\alpha gir færre falske alarmer, men gjør det vanskeligere å oppdage en reell effekt (mer om det i kap. 2.4).
Forkastningsområde og kritisk verdi
Forkastningsområdet er de observatorverdiene som gir «forkast H0H_0». Grensen kalles den kritiske verdien. For en ensidig (høyresidig) t-test på nivå α\alpha er kritisk verdi tn−1,αt_{n-1,\alpha}, og vi forkaster hvis T>tn−1,αT>t_{n-1,\alpha}. For en tosidig test forkaster vi hvis ∣T∣>tn−1,α/2|T|>t_{n-1,\alpha/2}. Kritisk verdi velges nettopp slik at forkastningssannsynligheten under H0H_0 blir α\alpha.
Utled at nivået blir α\alpha (dette er A-kravet — skriv sannsynligheten ut):

Ensidig (høyresidig) test. Vi forkaster H0H_0 når T>tn−1,αT>t_{n-1,\alpha}. Under H0H_0 er T∼tn−1T\sim t_{n-1}, så
P(forkast H0∣H0)=P(T>tn−1,α∣H0)=α,P(\text{forkast } H_0\mid H_0)=P(T>t_{n-1,\alpha}\mid H_0)=\alpha,
nettopp fordi tn−1,αt_{n-1,\alpha} per definisjon er den verdien som skjærer av arealet α\alpha i øvre hale.
Intuisjon: vi la forkastningsgrensen akkurat der halen har areal α\alpha — da blir falsk-alarm-raten α\alpha.

Tosidig test. Vi forkaster når ∣T∣>tn−1,α/2|T|>t_{n-1,\alpha/2}. Under H0H_0:
P(∣T∣>tn−1,α/2∣H0)=P(T>tn−1,α/2)+P(T<−tn−1,α/2)=α2+α2=α.P(|T|>t_{n-1,\alpha/2}\mid H_0)=P(T>t_{n-1,\alpha/2})+P(T<-t_{n-1,\alpha/2})=\frac\alpha2+\frac\alpha2=\alpha.
Intuisjon: α/2\alpha/2 i hver hale summerer til α\alpha — derfor α/2\alpha/2-kvantilen tosidig.

Det er denne utregningen sensor vil se — ikke bare «vi bruker 5 %».

Det faste testritualet (fem trinn)
Hele testen, i fast rekkefølge — dette er malen sensor forventer:

1. Hypoteser: H0H_0 og HaH_a med begrunnet retning.
2. Observator + fordeling under H0H_0: skriv opp observatoren og oppgi fordelingen (type OG frihetsgrader).
3. Utled nivået: regn P(forkast H0∣H0)=αP(\text{forkast } H_0\mid H_0)=\alpha eksplisitt.
4. Tallfest: sett inn tallene, sammenlign med kritisk verdi, og oppgi P-verdien (definert i ord).
5. Konkluder i ord i kontekst + kryssjekk mot konfidensintervallet (dualitet).

Hvert trinn teller. De to hyppigst glemte er trinn 3 (nivå-utledningen) og den verbale P-verdi-definisjonen i trinn 4.

✏️Eksempel 1: Ett-utvalgs t-test — hele ritualet (sjanger E)

En ny prosess skal gi høyere utbytte enn dagens standard på 50 enheter. Fra n=25n=25 kjøringer måles xˉ=53,0\bar x=53{,}0 og s=6,0s=6{,}0 (normale data). Test på 5 %-nivå om den nye prosessen gir høyere forventet utbytte. Bruk t24, 0,05=1,711t_{24,\,0{,}05}=1{,}711.

Trinn 1 — hypoteser (begrunnet retning): Vi vil påvise høyere utbytte, altså ensidig:
H0:μ=50motHa:μ>50.H_0:\mu=50\qquad\text{mot}\qquad H_a:\mu>50.

Trinn 2 — observator + fordeling under H0H_0: T=Xˉ−50S/nT=\dfrac{\bar X-50}{S/\sqrt n}. Under H0H_0 (normale data, ukjent σ\sigma): T∼t24T\sim t_{24}.

Trinn 3 — utled nivået: Vi forkaster når T>t24, 0,05=1,711T>t_{24,\,0{,}05}=1{,}711. Under H0H_0:
P(forkast H0∣H0)=P(T>1,711∣H0)=0,05.P(\text{forkast } H_0\mid H_0)=P(T>1{,}711\mid H_0)=0{,}05.
Så testen har nivå 5 %, som ønsket.

Trinn 4 — tallfest + P-verdi: T=53,0−506,0/25=3,01,2=2,50T=\dfrac{53{,}0-50}{6{,}0/\sqrt{25}}=\dfrac{3{,}0}{1{,}2}=2{,}50. Siden 2,50>1,7112{,}50>1{,}711, forkaster vi H0H_0. P-verdien er sannsynligheten under H0H_0 for et minst like ekstremt utfall som det observerte: P-verdi=P(T24>2,50)≈0,0098P\text{-verdi}=P(T_{24}>2{,}50)\approx 0{,}0098. Fordi 0,0098<0,050{,}0098<0{,}05, forkastes H0H_0.

Trinn 5 — konklusjon i kontekst: På 5 %-nivå har vi belegg for at den nye prosessen gir høyere forventet utbytte enn 50 enheter (P-verdi ≈0,010\approx 0{,}010).

📝Oppgave 3

En behandling skal øke en score over dagens nivå 100. Fra n=16n=16 pasienter: xˉ=105\bar x=105, s=8s=8 (normale data). Test ensidig på 5 %-nivå. Bruk t15, 0,05=1,753t_{15,\,0{,}05}=1{,}753 og opplys at P(T15>2,5)≈0,012P(T_{15}>2{,}5)\approx 0{,}012.

Skriv ut alle fem trinn, inkludert nivå-utledningen.

Løkke 4 — Trinn 4: P-verdien, definert korrekt (~12 min)

P-verdien
P-verdien er sannsynligheten — beregnet UNDER H0H_0 — for et minst like ekstremt utfall som det observerte. «Ekstremt» måles i retning av HaH_a: for høyresidig test P(T≥tobs)P(T\ge t_{\text{obs}}), for tosidig 2⋅P(T≥∣tobs∣)2\cdot P(T\ge |t_{\text{obs}}|). Vi forkaster H0H_0 når P-verdi <α<\alpha.

P-verdien er IKKE «sannsynligheten for at H0H_0 er sann». H0H_0 er ikke stokastisk — den er sann eller usann. P-verdien måler hvor uforenlige dataene er med H0H_0, ikke sannsynligheten for H0H_0.

To måter å konkludere — samme svar:

- Kritisk verdi: forkast hvis observatoren er forbi den kritiske verdien (∣T∣>tn−1,α/2|T|>t_{n-1,\alpha/2}).
- P-verdi: forkast hvis P-verdi <α<\alpha.

De gir alltid samme konklusjon, fordi P-verdi <α<\alpha er nøyaktig det samme som at observatoren ligger i forkastningsområdet. P-verdien har den fordelen at den også sier hvor klart resultatet er (0,001 er sterkere belegg enn 0,049), mens en ren «forkast/behold» skjuler det.

Formelsamlingen gir kvantiltabeller; P-verdien avgrenses gjerne mellom to tabellverdier («0,01<P<0,0250{,}01<P<0{,}025») når du ikke har eksakt programvare.

📝Oppgave 4

To studenter tolker en P-verdi på 0,03.

a) Student A sier: «Det er 3 % sannsynlig at H0H_0 er sann.» Hva er galt?

b) Formuler den korrekte tolkningen.

c) Forkastes H0H_0 på 5 %-nivå?

✏️Eksempel 2: Tosidig test med kjent varians (sjanger E)

En prosess skal holde forventet mål på μ=100\mu=100 mm. Med kjent σ=5\sigma=5 måles xˉ=98,5\bar x=98{,}5 over n=40n=40 enheter. Test tosidig på 5 %-nivå om målet har endret seg. Bruk z0,025=1,96z_{0{,}025}=1{,}96.

1. H0:μ=100H_0:\mu=100 mot Ha:μ≠100H_a:\mu\ne 100 (tosidig — vi spør bare om endring, ikke retning).

2. Kjent σ\sigma, så Z=Xˉ−100σ/nZ=\dfrac{\bar X-100}{\sigma/\sqrt n}; under H0H_0: Z∼N(0,1)Z\sim N(0,1).

3. Forkast når ∣Z∣>z0,025=1,96|Z|>z_{0{,}025}=1{,}96. Under H0H_0: P(∣Z∣>1,96∣H0)=0,025+0,025=0,05P(|Z|>1{,}96\mid H_0)=0{,}025+0{,}025=0{,}05 — nivå 5 %.

4. Z=98,5−1005/40=−1,50,791=−1,90Z=\dfrac{98{,}5-100}{5/\sqrt{40}}=\dfrac{-1{,}5}{0{,}791}=-1{,}90. Siden ∣−1,90∣=1,90<1,96|-1{,}90|=1{,}90<1{,}96, forkaster vi ikke. P-verdi (tosidig) =2 P(Z<−1,90)≈2⋅0,0289=0,058=2\,P(Z<-1{,}90)\approx 2\cdot 0{,}0289=0{,}058 — sannsynligheten under H0H_0 for et minst like ekstremt utfall. 0,058>0,050{,}058>0{,}05.

5. På 5 %-nivå har vi ikke belegg for at forventet mål har endret seg fra 100 mm (P-verdi ≈0,058\approx 0{,}058).

Løkke 5 — Trinn 5: konklusjon og dualiteten (~10 min)

Konklusjon i ord i kontekst
En test slutter ikke med «forkast H0H_0». Siste trinn oversetter resultatet til situasjonens språk: «På 5 %-nivå har vi belegg for at behandlingen øker forventet score.» Behold-tilfellet formuleres forsiktig: «vi har ikke tilstrekkelig belegg for …» — ikke «H0H_0 er sann» (fravær av bevis er ikke bevis på fravær). Ta alltid med P-verdien og nivået.
Dualiteten mellom konfidensintervall og test
Test og konfidensintervall er to sider av samme sak. En tosidig test på nivå α\alpha forkaster H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0 hvis og bare hvis μ0\mu_0 ikke ligger i det tosidige (1−α)(1-\alpha)-konfidensintervallet:
forkast H0:μ=μ0  ⟺  μ0∉KI1−α.\text{forkast } H_0:\mu=\mu_0 \iff \mu_0\notin \text{KI}_{1-\alpha}.
Bruk dette som kryssjekk: har du både regnet et 95 %-KI og gjort en tosidig 5 %-test, må de stemme overens. Ligger μ0\mu_0 inne i intervallet, kan H0H_0 ikke forkastes.
✏️Eksempel 3: Dualiteten som kryssjekk (sjanger E)

Bruk tallene fra eksempel 2 (xˉ=98,5\bar x=98{,}5, σ=5\sigma=5, n=40n=40). Konstruer det tosidige 95 %-konfidensintervallet for μ\mu og vis at det gir samme konklusjon som testen av H0:μ=100H_0:\mu=100.

Kjent σ\sigma, så KI-et bruker z: standardfeil σ/n=5/40=0,791\sigma/\sqrt n=5/\sqrt{40}=0{,}791.
98,5±1,96⋅0,791=98,5±1,55=[96,95, 100,05].98{,}5\pm 1{,}96\cdot 0{,}791=98{,}5\pm 1{,}55=[96{,}95,\ 100{,}05].
Verdien μ0=100\mu_0=100 ligger innenfor [96,95, 100,05][96{,}95,\ 100{,}05]. Etter dualiteten kan vi da ikke forkaste H0:μ=100H_0:\mu=100 tosidig på 5 %-nivå — akkurat samme konklusjon som testen i eksempel 2. Kryssjekken stemmer. (At 100 så vidt er inne, svarer til at P-verdien 0,058 så vidt er over 0,05.)
📝Oppgave 5

Et 95 % konfidensintervall for μ\mu er [48,2, 51,8][48{,}2,\ 51{,}8].

a) Kan H0:μ=50H_0:\mu=50 forkastes tosidig på 5 %-nivå?

b) Kan H0:μ=52H_0:\mu=52 forkastes tosidig på 5 %-nivå?

Blandet drill (sjanger E, stigende)

📝Oppgave 6

Et mål skal ligge på μ=50\mu=50. Fra n=20n=20 normale målinger: xˉ=48\bar x=48, s=5s=5. Test tosidig på 5 %-nivå. Bruk t19, 0,025=2,093t_{19,\,0{,}025}=2{,}093 og P(T19<−1,789)≈0,045P(T_{19}<-1{,}789)\approx 0{,}045.

Skriv ut alle fem trinn.

📝Oppgave 7

En sensor overvåker en prosess med kjent σ=9\sigma=9. Grenseverdien er μ=50\mu=50; man vil påvise økning. Fra n=36n=36 målinger: xˉ=53\bar x=53.

a) Sett opp hypotesene og observatoren med fordeling under H0H_0.

b) Utled at en ensidig test som forkaster ved Z>z0,05=1,645Z>z_{0{,}05}=1{,}645 har nivå 5 %.

c) Tallfest, angi P-verdien (definer den), og konkluder. Bruk P(Z>2,0)≈0,023P(Z>2{,}0)\approx 0{,}023.

📝Oppgave 8

(Kald oppgave — fasit som momentliste, ingen hint.) Et 99 % konfidensintervall for forventet ventetid er [11,2, 14,8][11{,}2,\ 14{,}8] minutter (fra en tosidig prosedyre). En påstand sier at forventet ventetid er 15 minutter. Avgjør uten videre regning om H0:μ=15H_0:\mu=15 forkastes tosidig på 1 %-nivå, forklar hvilket prinsipp du bruker, og si hva det tilsvarende for μ=12\mu=12 blir.

Begrepsbank

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet. Korte, navngitte definisjoner for eksamensrepetisjon.
Type I-feil

Å forkaste en sann H0H_0 (falsk alarm). Sannsynligheten for type I-feil er signifikansnivået α\alpha, valgt på forhånd.

Type II-feil

Å beholde en falsk H0H_0 (bommet alarm). Sannsynligheten kalles β\beta, og 1−β1-\beta er styrken. Utdypes i kap. 2.4.

Kritisk verdi

Grensen for forkastningsområdet. For ensidig t-test tn−1,αt_{n-1,\alpha}; for tosidig tn−1,α/2t_{n-1,\alpha/2}. Valgt slik at forkastningssannsynligheten under H0H_0 blir α\alpha.

t-observatoren
T=(Xˉ−μ0)/(S/n)T=(\bar X-\mu_0)/(S/\sqrt n) måler avstanden fra H0H_0 i standardfeil. Under H0H_0 (normale data, ukjent σ\sigma): T∼tn−1T\sim t_{n-1}. Med kjent σ\sigma: Z∼N(0,1)Z\sim N(0,1).
P-verdi (kort)

Sannsynligheten under H0H_0 for et minst like ekstremt utfall som det observerte. Forkast når P-verdi <α<\alpha. IKKE sannsynligheten for at H0H_0 er sann.

Statistisk signifikans

Et resultat er statistisk signifikant på nivå α\alpha hvis P-verdi <α<\alpha (vi forkaster H0H_0). Signifikant ≠\ne stor/viktig effekt — med stort nn kan en liten effekt bli signifikant.

Ensidig mot tosidig P-verdi

Ensidig: P(T≥tobs)P(T\ge t_{\text{obs}}) (i retning av HaH_a). Tosidig: 2 P(T≥∣tobs∣)2\,P(T\ge |t_{\text{obs}}|). Feil valg av sidethet endrer P-verdien med en faktor 2.

CI-test-dualitet (kort)

Forkast H0:θ=θ0H_0:\theta=\theta_0 tosidig på nivå α\alpha   ⟺  \iff θ0\theta_0 ligger utenfor det tosidige (1−α)(1-\alpha)-konfidensintervallet. Brukes som kryssjekk.

Å beholde H0H_0

Å ikke forkaste betyr «ikke tilstrekkelig belegg mot H0H_0» — ikke at H0H_0 er bevist sann. Fravær av bevis er ikke bevis på fravær.

Styrke (forvarsel)

Styrken 1−β1-\beta er sannsynligheten for å forkaste H0H_0 når HaH_a er sann — å oppdage en reell effekt. Høyere α\alpha, større nn og større effekt gir høyere styrke (kap. 2.4).

Nullfordelingen

Fordelingen til testobservatoren når H0H_0 er sann. Alt (kritisk verdi, P-verdi, nivå) leses av denne. Å oppgi den riktig — type OG frihetsgrader — er trinn 2 i ritualet.

Nivå-utledningen

Å vise eksplisitt at P(forkast H0∣H0)=αP(\text{forkast } H_0\mid H_0)=\alpha. For ensidig: P(T>tn−1,α∣H0)=αP(T>t_{n-1,\alpha}\mid H_0)=\alpha; for tosidig α/2\alpha/2 i hver hale. Det eksplisitte sensorkravet (§4.5).

z-test mot t-test

Kjent σ\sigma: Z=(Xˉ−μ0)/(σ/n)∼N(0,1)Z=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)\sim N(0,1). Ukjent σ\sigma: T=(Xˉ−μ0)/(S/n)∼tn−1T=(\bar X-\mu_0)/(S/\sqrt n)\sim t_{n-1}. Samme logikk, ulik nullfordeling.

Forkastningsområde

Mengden av observatorverdier som gir «forkast H0H_0». Høyresidig: T>tn−1,αT>t_{n-1,\alpha}; venstresidig: T<−tn−1,αT<-t_{n-1,\alpha}; tosidig: ∣T∣>tn−1,α/2|T|>t_{n-1,\alpha/2}.

Statistisk mot praktisk betydning

Statistisk signifikans sier at effekten neppe er tilfeldig; den sier ikke at effekten er stor eller viktig. Rapporter alltid estimatet/effektstørrelsen ved siden av P-verdien.

Feil: velge retning etter dataene

Å velge en- eller tosidig HaH_a etter å ha sett observatoren («fiske») ugyldiggjør nivået — den reelle type I-raten blir høyere enn α\alpha. Retningen bestemmes av spørsmålet, før dataene.

Konklusjon i kontekst

Siste trinn: oversett «forkast/behold» til situasjonens språk, med P-verdi og nivå. «På 5 %-nivå har vi belegg for at …» / «… ikke tilstrekkelig belegg for at …».

Nullverdien μ0\mu_0

Den påståtte parameterverdien i H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0. Den settes inn i observatoren; den sanne μ\mu er ukjent. I dualiteten er μ0\mu_0 verdien vi sjekker mot KI-et.

Symmetri i tosidig P-verdi

For symmetriske nullfordelinger (tt, N(0,1)N(0,1)) er tosidig P-verdi 2 P(T≥∣tobs∣)2\,P(T\ge|t_{\text{obs}}|). For skjeve nullfordelinger (f.eks. χ2\chi^2, FF) må halene håndteres hver for seg.

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.