Tilbake
2.5
Alle fag for Høyskole

2.5 Eksakt fordelingsteori: transformasjons-pivot og F-test for varianser

STK1100-transformasjonen gjenbrukt til inferens: bygg en eksakt pivot (2X/θ∼χ²) og et eksakt/asymmetrisk KI eller en F-test for variansforhold — foretrukket når standardavviket avhenger av parameteren.

50 min
10 oppgaver
Eksakt fordelingsteoritransformasjons-pivotF-test for varianser
Din fremgang i kapitlet
0 / 10 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på konfidensintervallene i kap. 2.1 (kvantiler, χ2\chi^2-intervall for varians) og på testritualet i kap. 2.2. Sammenhengen med den pooled to-utvalgstesten kommer fra kap. 2.3 (lik-varians-antakelsen).

Selve verktøyet — transformasjonsformelen og gamma/χ2\chi^2-koblingen — er STK1100-stoff: kap. 0.2 friskeropp det. Fullstendig behandling i STK1100 kap. 4.2 Transformasjonsteknikkene (→ stk1100-4-2) og kap. 6.1 Eksakt pivotal-KI (→ stk1100-6-1) (klartekst — STK1100 er ikke bygget ennå).

Sist du var her (fra kap. 0.2 og 2.1 — det du trenger nå):

Kjikvadrat: χν2=gamma(ν/2, 2);transformasjon: g(w)=f(x(w)) ∣dxdw∣.\text{Kjikvadrat: } \chi^2_\nu=\text{gamma}(\nu/2,\,2);\qquad \text{transformasjon: } g(w)=f(x(w))\,\left|\frac{dx}{dw}\right|.

En kjikvadratfordeling med ν\nu frihetsgrader er bare en gammafordeling med formparameter ν/2\nu/2 og skala 2. Og når vi transformerer en variabel, ganger vi tettheten med absoluttverdien av den deriverte. Disse to fakta er alt vi trenger for å bygge en eksakt pivot.

Wald-intervallet fra kap. 1.3 er en tilnærming som hviler på at nn er stor. Men noen ganger kan vi gjøre bedre: hvis vi finner en størrelse som er bygget av dataene og parameteren, men som har en fordeling som ikke avhenger av parameteren, kan vi lese av eksakte kvantiler og snu ulikheten til et eksakt konfidensintervall — gyldig for enhver nn.

En slik størrelse kalles en pivot. For eksponensiallignende data er standardpivoten 2∑Xi/θ2\sum X_i/\theta, som er nøyaktig kjikvadratfordelt. Vi bruker den til KI og test, og møter så F-testen for å sammenligne to varianser.

Vi går i tre løkker: (1) pivot-oppskriften og det eksakte KI-et, (2) asymmetriske intervaller og eksakte tester, (3) F-testen for variansforhold.

Løkke 1 — Pivot-oppskriften og det eksakte KI-et (~18 min)

Pivotal storrelse (pivot)
En pivot er en funksjon W=W(X1,…,Xn,θ)W=W(X_1,\dots,X_n,\theta) av både dataene og parameteren, hvis fordeling ikke avhenger av θ\theta (typisk χ2\chi^2, tt eller FF). Fordi fordelingen er kjent og fast, kan vi finne tall a,ba,b med P(a<W<b)=1−αP(a<W<b)=1-\alpha og deretter løse ulikheten a<W<ba<W<b for θ\theta. Det gir et konfidensintervall som er eksakt — dekningen er nøyaktig 1−α1-\alpha for enhver nn, ikke bare asymptotisk.
Transformasjons-pivoten 2∑Xi/θ∼χ2n22\sum X_i/\theta\sim\chi^2_{2n}
Standardpivoten for eksponensialfordelte data: hvis X1,…,XnX_1,\dots,X_n er uavhengige og eksponensialfordelte med forventning θ\theta (tetthet f(x)=1θe−x/θf(x)=\tfrac1\theta e^{-x/\theta}, x>0x>0), så er
2∑i=1nXiθ ∼ χ2n2.\frac{2\sum_{i=1}^n X_i}{\theta}\ \sim\ \chi^2_{2n}.
Størrelsen inneholder både data (∑Xi\sum X_i) og parameter (θ\theta), men fordelingen χ2n2\chi^2_{2n} er fri for θ\theta — derfor er den en pivot. Frihetsgradene er 2n2n (ikke nn eller n−1n-1) — les dem riktig (§5.13).
Hvor kommer pivoten fra? (transformasjonsformelen, kap. 0.2):

Én eksponensialvariabel med forventning θ\theta er en gamma(1,θ)(1,\theta). Setter vi Y=2X/θY=2X/\theta, gir transformasjonsformelen (→ stk1100-4-2) en gamma(1,2)(1,2)-tetthet — og gamma(1,2)=χ22(1,2)=\chi^2_2.
Intuisjon: å gange med 2/θ2/\theta skalerer bort θ\theta og lander på skala 2 = kjikvadrat.

Summen av nn uavhengige gamma med samme skala er igjen gamma, med formparametrene lagt sammen: ∑2Xi/θ∼gamma(n,2)=χ2n2\sum 2X_i/\theta\sim\text{gamma}(n,2)=\chi^2_{2n}. Derfor 2∑Xi/θ∼χ2n22\sum X_i/\theta\sim\chi^2_{2n}. Intuisjon: nn ledd à «formvekt 1» gir formvekt nn, altså 2n2n frihetsgrader.

Eksakt konfidensintervall (pivot-metoden)
Løs pivoten for θ\theta. Med χ2n2\chi^2_{2n}-kvantiler (øvre haleareal) er
P ⁣(χ2n, 1−α/22<2∑Xiθ<χ2n, α/22)=1−α.P\!\left(\chi^2_{2n,\,1-\alpha/2}<\frac{2\sum X_i}{\theta}<\chi^2_{2n,\,\alpha/2}\right)=1-\alpha.
Snur vi ulikheten (husk at θ\theta står i nevneren, så ulikhetstegnene byttes), får vi det eksakte (1−α)(1-\alpha)-intervallet
[ 2∑Xiχ2n, α/22 , 2∑Xiχ2n, 1−α/22 ].\left[\ \frac{2\sum X_i}{\chi^2_{2n,\,\alpha/2}}\ ,\ \frac{2\sum X_i}{\chi^2_{2n,\,1-\alpha/2}}\ \right].
Det er asymmetrisk om punktestimatet θ^=Xˉ\hat\theta=\bar X — helt som forventet, siden χ2\chi^2 er skjev.
✏️Eksempel 1: Eksakt KI via transformasjons-pivot (sjanger N)

Levetider X1,…,X10X_1,\dots,X_{10} er eksponensialfordelte med forventning θ\theta, og ∑xi=50\sum x_i=50 (så θ^=xˉ=5\hat\theta=\bar x=5). Finn et eksakt 95 % konfidensintervall for θ\theta. Bruk χ20, 0,0252=34,17\chi^2_{20,\,0{,}025}=34{,}17 og χ20, 0,9752=9,591\chi^2_{20,\,0{,}975}=9{,}591.

Pivoten er 2∑Xiθ∼χ202\dfrac{2\sum X_i}{\theta}\sim\chi^2_{20} (frihetsgrader 2n=202n=20). Her er 2∑xi=2⋅50=1002\sum x_i=2\cdot 50=100.

Det eksakte 95 %-intervallet:
[100χ20, 0,0252, 100χ20, 0,9752]=[10034,17, 1009,591]=[2,93, 10,43].\left[\frac{100}{\chi^2_{20,\,0{,}025}},\ \frac{100}{\chi^2_{20,\,0{,}975}}\right]=\left[\frac{100}{34{,}17},\ \frac{100}{9{,}591}\right]=[2{,}93,\ 10{,}43].

Legg merke til at intervallet ikke er symmetrisk om θ^=5\hat\theta=5: det strekker seg lenger opp (til 10,43) enn ned (til 2,93). Det er riktig — kjikvadratfordelingen er skjev.

Sensor-margnotat: riktige frihetsgrader (2n=202n=20), riktig plassering av kvantilene (stor kvantil i nevneren gir nedre grense), og en kommentar om at asymmetrien er korrekt.

📝Oppgave 1

Ventetider X1,…,X8X_1,\dots,X_8 er eksponensialfordelte med forventning θ\theta, og ∑xi=32\sum x_i=32. Finn et eksakt 95 % KI for θ\theta. Bruk χ16, 0,0252=28,85\chi^2_{16,\,0{,}025}=28{,}85 og χ16, 0,9752=6,908\chi^2_{16,\,0{,}975}=6{,}908.

Løkke 2 — Asymmetriske intervaller og eksakte tester (~14 min)

Asymmetrisk intervall (riktig, ikke feil)
Et eksakt intervall bygget på en skjev pivot (χ2\chi^2, FF) er asymmetrisk om punktestimatet — grensene ligger ikke like langt over og under θ^\hat\theta. Dette er en egenskap, ikke en regnefeil (§4.7). Symmetriske θ^±z⋅se\hat\theta\pm z\cdot se-intervaller gjelder bare når pivoten er (tilnærmet) normal. Ser du et skjevt eksakt intervall, skal du ikke «rette» det til å bli symmetrisk.
Eksakt ensidig test via pivoten
Samme pivot gir en eksakt test. For H0:θ=θ0H_0:\theta=\theta_0 mot Ha:θ>θ0H_a:\theta>\theta_0 er observatoren W=2∑Xi/θ0W=2\sum X_i/\theta_0, som under H0H_0 er χ2n2\chi^2_{2n}. Stor θ\theta gir stor ∑Xi\sum X_i og dermed stor WW, så vi forkaster for store WW: forkast når W>χ2n, α2W>\chi^2_{2n,\,\alpha}. Nivået er eksakt α\alpha fordi P(W>χ2n,α2∣H0)=αP(W>\chi^2_{2n,\alpha}\mid H_0)=\alpha per definisjon av kvantilen.
✏️Eksempel 2: Eksakt ensidig test (sjanger N)

For dataene i eksempel 1 (n=10n=10, ∑xi=50\sum x_i=50), test H0:θ=3H_0:\theta=3 mot Ha:θ>3H_a:\theta>3 eksakt på 5 %-nivå. Bruk χ20, 0,052=31,41\chi^2_{20,\,0{,}05}=31{,}41.

1. H0:θ=3H_0:\theta=3 mot Ha:θ>3H_a:\theta>3 (ensidig — vi vil påvise at forventet levetid er større).

2. Observator W=2∑Xiθ0W=\dfrac{2\sum X_i}{\theta_0}; under H0H_0: W∼χ202W\sim\chi^2_{20}.

3. Stor θ\theta ⇒\Rightarrow stor WW, så vi forkaster når W>χ20, 0,052=31,41W>\chi^2_{20,\,0{,}05}=31{,}41. Under H0H_0: P(W>31,41∣H0)=0,05P(W>31{,}41\mid H_0)=0{,}05 — eksakt nivå 5 %.

4. W=2⋅503=1003=33,33>31,41W=\dfrac{2\cdot 50}{3}=\dfrac{100}{3}=33{,}33>31{,}41: forkast H0H_0. (P-verdi =P(χ202>33,33)≈0,031<0,05=P(\chi^2_{20}>33{,}33)\approx 0{,}031<0{,}05.)

5. På 5 %-nivå er det belegg for at forventet levetid overstiger 3.

📝Oppgave 2

Bruk det eksakte 95 % KI-et fra eksempel 1, [2,93, 10,43][2{,}93,\ 10{,}43], og dualiteten.

a) Kan H0:θ=3H_0:\theta=3 forkastes tosidig på 5 %-nivå?

b) Kan H0:θ=12H_0:\theta=12 forkastes tosidig på 5 %-nivå?

Løkke 3 — F-testen for variansforhold (~14 min)

F-fordelingen
F-fordelingen oppstår som forholdet mellom to uavhengige kjikvadrat, hver delt på sine frihetsgrader: F=U/ν1V/ν2∼Fν1,ν2F=\dfrac{U/\nu_1}{V/\nu_2}\sim F_{\nu_1,\nu_2} når U∼χν12U\sim\chi^2_{\nu_1}, V∼χν22V\sim\chi^2_{\nu_2} uavhengige. Den er skjev og positiv, og har to frihetsgrader — teller-df ν1\nu_1 og nevner-df ν2\nu_2 — i den rekkefølgen. Kvantilen Fν1,ν2,αF_{\nu_1,\nu_2,\alpha} har øvre haleareal α\alpha.
F-test for variansforhold
For å sammenligne to variansene σ12\sigma_1^2 og σ22\sigma_2^2 fra to uavhengige normale utvalg (mm og nn observasjoner) brukes forholdet mellom utvalgsvariansene:
F=S12S22 ∼ Fm−1, n−1(under H0:σ12=σ22).F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\ \sim\ F_{m-1,\,n-1}\quad(\text{under } H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2).
Under H0H_0 er de to S2S^2-ene forventet like store, så F≈1F\approx 1. Store eller små FF taler mot H0H_0. En tosidig test på nivå α\alpha forkaster når F>Fm−1,n−1,α/2F>F_{m-1,n-1,\alpha/2} (eller F<Fm−1,n−1,1−α/2F<F_{m-1,n-1,1-\alpha/2}). Legg gjerne den største S2S^2 i telleren.
✏️Eksempel 3: F-test for lik varians (sjanger N)

Før du kjører en pooled to-utvalgstest vil du sjekke lik-varians-antakelsen. Utvalg 1 har m=13m=13 med s12=45s_1^2=45; utvalg 2 har n=16n=16 med s22=12s_2^2=12. Test tosidig på 5 %-nivå om variansene er like. Bruk F12, 15, 0,025=2,96F_{12,\,15,\,0{,}025}=2{,}96.

1. H0:σ12=σ22H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2 mot Ha:σ12≠σ22H_a:\sigma_1^2\ne\sigma_2^2 (tosidig).

2. Legg største varians i telleren: F=S12S22∼Fm−1, n−1=F12, 15F=\dfrac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{m-1,\,n-1}=F_{12,\,15} under H0H_0.

3. Tosidig forkast når F>F12, 15, 0,025=2,96F>F_{12,\,15,\,0{,}025}=2{,}96 (øvre grense).

4. F=4512=3,75>2,96F=\dfrac{45}{12}=3{,}75>2{,}96: forkast H0H_0.

5. På 5 %-nivå er variansene forskjellige — lik-varians-antakelsen holder ikke, så en pooled to-utvalgstest er ikke forsvarlig her (bruk heller Welch-varianten fra kap. 2.3).

Sensor-margnotat: riktige frihetsgrader (m−1, n−1)=(12,15)(m-1,\,n-1)=(12,15) i den rekkefølgen, og koblingen tilbake til pooling-antakelsen.

📝Oppgave 3

To uavhengige normale utvalg: utvalg 1 har m=8m=8 med s1=5s_1=5; utvalg 2 har n=10n=10 med s2=3s_2=3. Test tosidig på 5 %-nivå om variansene er like. Bruk F7, 9, 0,025=4,20F_{7,\,9,\,0{,}025}=4{,}20.

Eksakt/pivot mot Wald
Når foretrekkes eksakt/pivot framfor Wald? Wald-intervallet θ^±zα/2 se(θ^)\hat\theta\pm z_{\alpha/2}\,se(\hat\theta) er symmetrisk og bygger på normaltilnærming for store nn. Når standardfeilen sese selv avhenger av parameteren (som for eksponensial/Poisson), eller når nn er liten, gir pivot-metoden et eksakt intervall som er å foretrekke (§4.7). Wald er greit for store nn når sese er tilnærmet konstant.

Blandet drill (sjanger N, stigende)

📝Oppgave 4

Uavhengige eksponensiallevetider X1,…,X10X_1,\dots,X_{10} med forventning θ\theta, ∑xi=50\sum x_i=50.

a) Angi pivoten og dens fordeling.

b) Gi et eksakt ensidig nedre 95 % KI (en nedre grense θ>L\theta>L). Bruk χ20, 0,052=31,41\chi^2_{20,\,0{,}05}=31{,}41.

c) Hvordan henger dette sammen med den ensidige testen av H0:θ=3H_0:\theta=3 i eksempel 2?

📝Oppgave 5

(Krevende.) Forklar hvorfor 2∑Xi/θ2\sum X_i/\theta er en pivot, mens ∑Xi\sum X_i alene ikke er det. Hva ville gått galt om du prøvde å bygge et konfidensintervall direkte fra ∑Xi\sum X_i uten å dele på θ\theta?

📝Oppgave 6

(Kald oppgave — fasit som momentliste, ingen hint.) To maskiner produserer samme del. Fra maskin A (m=21m=21) er sA2=8,0s_A^2=8{,}0; fra maskin B (n=16n=16) er sB2=2,5s_B^2=2{,}5. Sett opp en tosidig F-test på 5 %-nivå for om variansene er like, angi observator med frihetsgrader, tallfest, og si hva konklusjonen betyr for en påfølgende pooled to-utvalgstest. Bruk F20, 15, 0,025=2,76F_{20,\,15,\,0{,}025}=2{,}76.

Begrepsbank

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet. Korte, navngitte definisjoner for eksamensrepetisjon.
Kjikvadrat-kvantiler (ovre haleareal)
χν,α2\chi^2_{\nu,\alpha} er verdien med P(χν2>χν,α2)=αP(\chi^2_\nu>\chi^2_{\nu,\alpha})=\alpha (øvre hale). I et tosidig intervall brukes χν,α/22\chi^2_{\nu,\alpha/2} (øvre) og χν,1−α/22\chi^2_{\nu,1-\alpha/2} (nedre). Den store kvantilen havner i nevneren til den nedre grensen.
Lik-varians-sjekk for pooling

Før en pooled to-utvalgs t-test kan lik-varians-antakelsen sjekkes med F-testen S12/S22∼Fm−1,n−1S_1^2/S_2^2\sim F_{m-1,n-1}. Forkastes H0:σ12=σ22H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2, er pooling uforsvarlig — bruk Welch i stedet.

Transformasjonsformelen (repetisjon)

For Y=g(X)Y=g(X) monoton er fY(y)=fX(x(y)) ∣dx/dy∣f_Y(y)=f_X(x(y))\,|dx/dy|. Absoluttverdien av den deriverte (Jacobi) må være med. Verktøyet bak transformasjons-pivoten (→ stk1100-4-2).

Gamma-koblingen

Sum av nn uavhengige gamma med felles skala er gamma med formparametrene lagt sammen. Eksponensial = gamma(1,θ)(1,\theta), så ∑Xi∼gamma(n,θ)\sum X_i\sim\text{gamma}(n,\theta). Råstoffet for pivoten.

Frihetsgrader i pivoten
2∑Xi/θ∼χ2n22\sum X_i/\theta\sim\chi^2_{2n} — 2n2n frihetsgrader, ikke nn eller n−1n-1. Hvert av de nn leddene bidrar med χ22\chi^2_2, som summerer til χ2n2\chi^2_{2n}. Feil df er den hyppigste tabben (§5.13).
Kjikvadrat som gamma
χν2=gamma(ν/2, 2)\chi^2_\nu=\text{gamma}(\nu/2,\,2) (form ν/2\nu/2, skala 2), med E=νE=\nu og Var=2ν\text{Var}=2\nu. Denne identiteten lar oss gjenkjenne pivotens fordeling.
Pivot-oppskriften (tre steg)

1) Finn W(X,θ)W(X,\theta) med fordeling uavhengig av θ\theta. 2) Sett kvantiler rundt: P(a<W<b)=1−αP(a<W<b)=1-\alpha. 3) Løs a<W<ba<W<b for θ\theta. Gir eksakt KI (og, med θ0\theta_0 innsatt, en eksakt test).

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.