Tilbake
2.4
Alle fag for Høyskole

2.4 Styrke, type II-feil og dimensjonering av utvalgsstørrelse

Sannsynligheten for type II-feil, teststyrken, og hvordan man løser for utvalgsstørrelsen n (og runder opp) slik at testen oppdager en gitt effekt.

45 min
11 oppgaver
Styrketype II-feildimensjonering av utvalgsstørrelse
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger direkte på testritualet i kap. 2.2 — signifikansnivået α\alpha, forkastningsområdet og den kritiske verdien er utgangspunktet for styrkeregningen. Kvantilene (zαz_\alpha) og standardfeilen σ/n\sigma/\sqrt n kommer fra kap. 2.1.

Normaltilnærmingen for Poisson-data hviler på sentralgrenseteoremet fra STK1100 kap. 6.1 Sentralgrenseteoremet (→ stk1100-6-1) (klartekst — STK1100 er ikke bygget ennå).

Sist du var her (fra kap. 2.2 — det du trenger nå):

α=P(forkast H0∣H0 sann),ensidig forkast na˚r Z>zα.\alpha=P(\text{forkast } H_0\mid H_0\text{ sann}),\qquad \text{ensidig forkast når } Z>z_\alpha.

Signifikansnivået α\alpha er sannsynligheten for å forkaste en sann H0H_0 (type I-feil). Nå spør vi om det motsatte: hvor sannsynlig er det å forkaste H0H_0 når H0H_0 faktisk er falsk — altså å oppdage en reell effekt? Det er nettopp det styrken måler.

En test kan bomme på to måter. Den kan slå falsk alarm (forkaste en sann H0H_0), eller den kan overse en reell effekt (beholde en falsk H0H_0). Den første kontrollerer vi med α\alpha; den andre måles av β\beta, og 1−β1-\beta er styrken.

Styrken svarer på det praktiske spørsmålet: hvis effekten virkelig er der, hvor stor sjanse har vi for å fange den opp? Er styrken lav, risikerer vi å bruke tid og penger på et forsøk som sannsynligvis ikke vil vise noe — selv om effekten finnes.

Derfor: før du samler data, regn ut hvor mange observasjoner du trenger for at styrken skal bli høy nok. Vi går i fire løkker: (1) feiltypene og styrken, (2) styrkeformelen, (3) dimensjonering av nn, (4) Poisson-styrke via normaltilnærming.

Løkke 1 — Feiltypene og styrken (~10 min)

Type I-feil (α\alpha)
En type I-feil er å forkaste H0H_0 når H0H_0 faktisk er sann — en falsk alarm. Sannsynligheten for type I-feil er signifikansnivået:
α=P(forkast H0∣H0 sann).\alpha=P(\text{forkast } H_0\mid H_0\text{ sann}).
Vi velger α\alpha på forhånd (typisk 0,05 eller 0,01). Dette er sannsynligheten vi styrer gjennom valget av kritisk verdi.
Type II-feil (β\beta)
En type II-feil er å beholde H0H_0 når H0H_0 faktisk er falsk — å overse en reell effekt. Sannsynligheten kalles β\beta:
β=P(behold H0∣Ha sann).\beta=P(\text{behold } H_0\mid H_a\text{ sann}).
I motsetning til α\alpha er ikke β\beta én fast verdi: den avhenger av hvor sann den sanne parameteren ligger. Jo nærmere den sanne verdien er H0H_0, desto større blir β\beta.
Styrke (1−β1-\beta)
Styrken til en test er sannsynligheten for å forkaste H0H_0 når HaH_a er sann — altså for å oppdage en reell effekt:
styrke=1−β=P(forkast H0∣Ha sann).\text{styrke}=1-\beta=P(\text{forkast } H_0\mid H_a\text{ sann}).
Høy styrke er bra. Styrken øker med (i) større utvalg nn, (ii) større reell effekt (avstand fra H0H_0), (iii) mindre spredning σ\sigma, og (iv) høyere α\alpha (men det øker samtidig type I-risikoen).
📝Oppgave 1

En test har α=0,05\alpha=0{,}05 og β=0,20\beta=0{,}20 ved en bestemt sann verdi.

a) Hva er sannsynligheten for en type I-feil?

b) Hva er styrken ved denne sanne verdien?

Styrkefunksjonen
Styrkefunksjonen er styrken sett som en funksjon av den sanne parameterverdien μ\mu: styrke(μ)=1−β(μ)\text{styrke}(\mu)=1-\beta(\mu). For en ensidig (høyresidig) test starter kurven i α\alpha når μ=μ0\mu=\mu_0 (da er H0H_0 akkurat sann, og forkastningssannsynligheten er per definisjon α\alpha) og stiger mot 1 etter hvert som μ\mu flytter seg bort fra μ0\mu_0. Figuren over viser dette: jo lenger den sanne verdien ligger fra H0H_0, jo lettere er effekten å oppdage.

Løkke 2 — Styrkeformelen for en ensidig normaltest (~12 min)

Styrkeformelen (ensidig normaltest)
For en ensidig (høyresidig) test av H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0 mot Ha:μ>μ0H_a:\mu>\mu_0 med kjent σ\sigma er styrken ved en sann forventning μ1\mu_1:
styrke(μ1)=1−β(μ1)=Φ ⁣(−zα+μ1−μ0σ/n).\text{styrke}(\mu_1)=1-\beta(\mu_1)=\Phi\!\left(-z_\alpha+\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\right).
Ekvivalent er type II-sannsynligheten β(μ1)=1−Φ ⁣(−zα+μ1−μ0σ/n)\beta(\mu_1)=1-\Phi\!\left(-z_\alpha+\dfrac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\right). Her er zαz_\alpha den øvre α\alpha-kvantilen i normalfordelingen. Fortegnet er kritisk: leddet (μ1−μ0)/(σ/n)(\mu_1-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n) er positivt når μ1>μ0\mu_1>\mu_0, og trekker styrken opp fra α\alpha mot 1.
Hvor kommer formelen fra? (høyresidig test, kjent σ\sigma):

Vi forkaster H0H_0 når Z=(Xˉ−μ0)/(σ/n)>zαZ=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)>z_\alpha, altså når gjennomsnittet passerer den kritiske grensen
c=μ0+zα σn.c=\mu_0+z_\alpha\,\frac{\sigma}{\sqrt n}.
Intuisjon: cc er terskelen — alt over den gir «forkast».

Er den sanne forventningen μ1\mu_1, er Xˉ∼N(μ1,σ2/n)\bar X\sim N(\mu_1,\sigma^2/n). Styrken er sannsynligheten for å lande over cc:
styrke=P(Xˉ>c∣μ=μ1)=P ⁣(Xˉ−μ1σ/n>c−μ1σ/n)=1−Φ ⁣(c−μ1σ/n)=Φ ⁣(μ1−cσ/n).\text{styrke}=P(\bar X>c\mid \mu=\mu_1)=P\!\left(\frac{\bar X-\mu_1}{\sigma/\sqrt n}>\frac{c-\mu_1}{\sigma/\sqrt n}\right)=1-\Phi\!\left(\frac{c-\mu_1}{\sigma/\sqrt n}\right)=\Phi\!\left(\frac{\mu_1-c}{\sigma/\sqrt n}\right).
Setter vi inn c=μ0+zασ/nc=\mu_0+z_\alpha\sigma/\sqrt n, blir μ1−cσ/n=μ1−μ0σ/n−zα\dfrac{\mu_1-c}{\sigma/\sqrt n}=\dfrac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}-z_\alpha, altså
styrke(μ1)=Φ ⁣(−zα+μ1−μ0σ/n).\text{styrke}(\mu_1)=\Phi\!\left(-z_\alpha+\frac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\right).
Intuisjon: standardiser gjennomsnittet under den SANNE forventningen (ikke under H0H_0) — det er den vanligste tabben.

✏️Eksempel 1: Regn ut styrken (sjanger F)

En prosess overvåkes med kjent σ=6\sigma=6. Vi tester H0:μ=50H_0:\mu=50 mot Ha:μ>50H_a:\mu>50 ensidig på 5 %-nivå med n=16n=16 målinger. Hva er styrken hvis den sanne forventningen egentlig er μ1=54\mu_1=54? Bruk z0,05=1,645z_{0{,}05}=1{,}645.

Standardfeilen er σ/n=6/16=6/4=1,5\sigma/\sqrt n=6/\sqrt{16}=6/4=1{,}5.

Sett inn i styrkeformelen med μ0=50\mu_0=50, μ1=54\mu_1=54:
styrke=Φ ⁣(−1,645+54−501,5)=Φ(−1,645+2,667)=Φ(1,022)≈0,847.\text{styrke}=\Phi\!\left(-1{,}645+\frac{54-50}{1{,}5}\right)=\Phi(-1{,}645+2{,}667)=\Phi(1{,}022)\approx 0{,}847.

Altså er styrken ca. 0,85: hvis den sanne forventningen er 54, har testen ca. 85 % sjanse for å forkaste H0H_0. Type II-sannsynligheten er β=1−0,847=0,153\beta=1-0{,}847=0{,}153.

Sensor-margnotat: det avgjørende er å standardisere under μ1=54\mu_1=54, ikke under μ0=50\mu_0=50 — og å få leddet (μ1−μ0)/(σ/n)(\mu_1-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n) positivt.

📝Oppgave 2

En test av H0:μ=100H_0:\mu=100 mot Ha:μ>100H_a:\mu>100 har kjent σ=8\sigma=8, n=25n=25 og nivå 5 %. Finn styrken ved den sanne verdien μ1=104\mu_1=104. Bruk z0,05=1,645z_{0{,}05}=1{,}645 og Φ(0,855)≈0,804\Phi(0{,}855)\approx 0{,}804.

Løkke 3 — Dimensjonering: løs for nn og rund opp (~13 min)

Dimensjonering av utvalgsstorrelse
Dimensjonering betyr å finne det minste nn som gir en ønsket styrke 1−β∗1-\beta^\ast ved en gitt effekt δ=μ1−μ0\delta=\mu_1-\mu_0. Kravet styrke(μ1)≥1−β∗\text{styrke}(\mu_1)\ge 1-\beta^\ast løses for nn:
n≥((zα+zβ∗) σδ)2=(zα+zβ∗)2 σ2δ2.n\ge\left(\frac{(z_\alpha+z_{\beta^\ast})\,\sigma}{\delta}\right)^2=\frac{(z_\alpha+z_{\beta^\ast})^2\,\sigma^2}{\delta^2}.
Rund alltid OPP til nærmeste heltall — et desimalt nn gir ikke nok observasjoner til å nå styrkekravet, så avrunding ned ville gitt for lav styrke. Her er zβ∗z_{\beta^\ast} den øvre β∗\beta^\ast-kvantilen (f.eks. z0,10=1,2816z_{0{,}10}=1{,}2816 for 90 % styrke).
Utledning av nn-formelen: Styrkekravet er Φ ⁣(−zα+δσ/n)≥1−β∗\Phi\!\left(-z_\alpha+\dfrac{\delta}{\sigma/\sqrt n}\right)\ge 1-\beta^\ast. Siden 1−β∗=Φ(zβ∗)1-\beta^\ast=\Phi(z_{\beta^\ast}) og Φ\Phi er voksende, er dette det samme som
−zα+δnσ≥zβ∗⟺n≥(zα+zβ∗)σδ⟺n≥(zα+zβ∗)2σ2δ2.-z_\alpha+\frac{\delta\sqrt n}{\sigma}\ge z_{\beta^\ast}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt n\ge\frac{(z_\alpha+z_{\beta^\ast})\sigma}{\delta}\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge\frac{(z_\alpha+z_{\beta^\ast})^2\sigma^2}{\delta^2}.
Intuisjon: både nivå-kravet (zαz_\alpha) og styrke-kravet (zβ∗z_{\beta^\ast}) må få plass mellom μ0\mu_0 og μ1\mu_1, målt i standardfeil — derfor summen av de to kvantilene.
✏️Eksempel 2: Hvor mange prover trengs? (sjanger F)

Et kontrollorgan vil kunne oppdage en overskridelse på δ=5\delta=5 enheter over grenseverdien μ0\mu_0 med minst 90 % sannsynlighet, i en ensidig test på 5 %-nivå. Målestøyen er kjent, σ=10\sigma=10. Hvor mange prøver nn trengs? Bruk z0,05=1,645z_{0{,}05}=1{,}645 og z0,10=1,2816z_{0{,}10}=1{,}2816.

Styrkekravet gir
n≥(z0,05+z0,10)2 σ2δ2=(1,645+1,2816)2⋅10252=(2,9266)2⋅10025=8,565⋅10025=34,26.n\ge\frac{(z_{0{,}05}+z_{0{,}10})^2\,\sigma^2}{\delta^2}=\frac{(1{,}645+1{,}2816)^2\cdot 10^2}{5^2}=\frac{(2{,}9266)^2\cdot 100}{25}=\frac{8{,}565\cdot 100}{25}=34{,}26.

Siden nn må være et heltall og vi trenger minst denne styrken, runder vi opp: n=35n=35.

Sensor-margnotat: svaret n=35n=35, ikke 3434. Med n=34n=34 ville styrken såvidt falt under 90 %. Å runde ned her er den hyppigste feilen (§5.1).

📝Oppgave 3

En ensidig test på 5 %-nivå skal oppdage en effekt δ=4\delta=4 med minst 95 % styrke. Kjent σ=8\sigma=8. Finn nødvendig nn. Bruk z0,05=1,645z_{0{,}05}=1{,}645 og z0,05=1,645z_{0{,}05}=1{,}645 for styrken (95 % styrke gir zβ∗=z0,05=1,645z_{\beta^\ast}=z_{0{,}05}=1{,}645).

Løkke 4 — Poisson-styrke via normaltilnærming (~10 min)

Poisson-styrke via normaltilnærming
For et Poisson-antall X∼Poisson(μ)X\sim\text{Poisson}(\mu) er både forventning og varians lik μ\mu. Når μ\mu er stor, gir sentralgrenseteoremet X≈N(μ,μ)X\approx N(\mu,\mu) (standardavvik μ\sqrt\mu). En ensidig test av H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0 mot Ha:μ>μ0H_a:\mu>\mu_0 forkaster når X>cX>c med kritisk grense c=μ0+zαμ0c=\mu_0+z_\alpha\sqrt{\mu_0} (regnet under H0H_0). Styrken ved en sann μ1\mu_1 blir da
styrke≈Φ ⁣(μ1−cμ1),\text{styrke}\approx\Phi\!\left(\frac{\mu_1-c}{\sqrt{\mu_1}}\right),
der spredningen μ1\sqrt{\mu_1} regnes under den sanne raten. Nevn alltid at dette er en normaltilnærming (sensorkrav §4.4).
✏️Eksempel 3: Poisson-styrke (sjanger F)

Antall registrerte hendelser i en periode er X∼Poisson(μ)X\sim\text{Poisson}(\mu). Vi tester H0:μ=16H_0:\mu=16 mot Ha:μ>16H_a:\mu>16 på 5 %-nivå med normaltilnærming. Hva er den tilnærmede styrken hvis den sanne raten er μ1=25\mu_1=25? Bruk z0,05=1,645z_{0{,}05}=1{,}645 og Φ(0,484)≈0,686\Phi(0{,}484)\approx 0{,}686.

Under H0H_0 er X≈N(16,16)X\approx N(16,16) (sentralgrenseteoremet), så μ0=16=4\sqrt{\mu_0}=\sqrt{16}=4. Kritisk grense:
c=μ0+z0,05μ0=16+1,645⋅4=16+6,58=22,58.c=\mu_0+z_{0{,}05}\sqrt{\mu_0}=16+1{,}645\cdot 4=16+6{,}58=22{,}58.

Under den sanne raten er X≈N(25,25)X\approx N(25,25), så μ1=5\sqrt{\mu_1}=5:
styrke≈Φ ⁣(25−22,585)=Φ(0,484)≈0,686.\text{styrke}\approx\Phi\!\left(\frac{25-22{,}58}{5}\right)=\Phi(0{,}484)\approx 0{,}686.

Styrken er ca. 0,69 (β≈0,31\beta\approx 0{,}31). Sensor-margnotat: poenget er å nevne normaltilnærmingen (CLT) eksplisitt og å bruke μ0\sqrt{\mu_0} i grensen, men μ1\sqrt{\mu_1} i styrken.

📝Oppgave 4

Et Poisson-antall X∼Poisson(μ)X\sim\text{Poisson}(\mu) testes H0:μ=25H_0:\mu=25 mot Ha:μ>25H_a:\mu>25 på 5 %-nivå.

a) Finn den kritiske grensen cc med normaltilnærming. Bruk z0,05=1,645z_{0{,}05}=1{,}645.

b) Hvilken fordelingsantakelse hviler dette på?

Blandet drill (sjanger F, stigende)

📝Oppgave 5

En ensidig test av H0:μ=20H_0:\mu=20 mot Ha:μ>20H_a:\mu>20 har kjent σ=5\sigma=5 og nivå 5 %.

a) Med n=25n=25, finn styrken ved μ1=22\mu_1=22. Bruk z0,05=1,645z_{0{,}05}=1{,}645 og Φ(0,355)≈0,639\Phi(0{,}355)\approx 0{,}639.

b) Er styrken god nok hvis kravet er minst 0,80? Hva kan du gjøre for å øke den?

📝Oppgave 6

(Krevende.) Vis at for en ensidig normaltest med kjent σ\sigma er styrken ved μ=μ0\mu=\mu_0 nøyaktig lik α\alpha, og forklar hva dette betyr for styrkekurven i figuren.

📝Oppgave 7

(Kald oppgave — fasit som momentliste, ingen hint.) En ensidig test på 5 %-nivå med kjent σ=12\sigma=12 skal oppdage en effekt δ=6\delta=6 med minst 90 % styrke. Finn nødvendig nn, og forklar hva som skjer med kravet hvis ønsket styrke økes fra 90 % til 99 %. Bruk z0,05=1,645z_{0{,}05}=1{,}645, z0,10=1,2816z_{0{,}10}=1{,}2816, z0,01=2,326z_{0{,}01}=2{,}326.

Begrepsbank

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet. Korte, navngitte definisjoner for eksamensrepetisjon.
Effektstorrelse δ\delta
δ=μ1−μ0\delta=\mu_1-\mu_0 er avstanden mellom den sanne verdien og nullverdien — den effekten testen skal oppdage. Større δ\delta gir høyere styrke og lavere nødvendig nn.
Kritisk grense cc

Terskelen for gjennomsnittet i opprinnelige enheter: c=μ0+zα σ/nc=\mu_0+z_\alpha\,\sigma/\sqrt n (høyresidig). Vi forkaster når Xˉ>c\bar X>c. Styrken er P(Xˉ>c)P(\bar X>c) regnet under den sanne forventningen.

Avveiingen mellom α\alpha og β\beta

Med fast nn trekker lavere α\alpha (strømmere terskel) opp β\beta og ned styrken, og omvendt. Man kan ikke gjøre begge feiltypene små samtidig uten å øke nn.

Faktorer som oker styrken

Styrken øker med (i) større nn, (ii) større effekt δ\delta, (iii) mindre spredning σ\sigma, og (iv) høyere α\alpha. De to første er de vanligste «knottene» i en dimensjoneringsoppgave.

Styrke i en tosidig test

For en tosidig test byttes zαz_\alpha med zα/2z_{\alpha/2}, og styrken får bidrag fra begge haler: styrke≈Φ(−zα/2+δ/(σ/n))+Φ(−zα/2−δ/(σ/n))\text{styrke}\approx\Phi(-z_{\alpha/2}+\delta/(\sigma/\sqrt n))+\Phi(-z_{\alpha/2}-\delta/(\sigma/\sqrt n)). Det andre leddet er som regel forsvinnende lite.

Standardisert effekt

Den standardiserte effekten er δ/σ\delta/\sigma (effekten målt i standardavvik). Dimensjoneringsformelen n≥(zα+zβ∗)2/(δ/σ)2n\ge (z_\alpha+z_{\beta^\ast})^2/(\delta/\sigma)^2 viser at det er den standardiserte effekten som styrer nn.

Minste paviselige effekt

Med gitt nn, α\alpha og styrkekrav kan man snu formelen og finne den minste effekten δ\delta testen kan oppdage: δ=(zα+zβ∗)σ/n\delta=(z_\alpha+z_{\beta^\ast})\sigma/\sqrt n. Mindre effekter enn dette forblir sannsynligvis uoppdaget.

Normaltilnærming (CLT)

For sumbaserte størrelser (gjennomsnitt, Poisson-antall, binomiske antall) gir sentralgrenseteoremet en normal tilnærming når nn/μ\mu er stor. Den ligger bak styrkeregningen for ikke-normale data. Må nevnes eksplisitt.

Avrunding OPP av nn

Siden nn må være et heltall og styrkekravet er en minst-betingelse, rundes det utregnede nn alltid opp. Runder du ned, faller styrken under kravet. Den hyppigste tabben i sjanger F.

OC-kurven

Operasjonskarakteristikken (OC-kurven) er β(μ)\beta(\mu) som funksjon av sann verdi — speilbildet av styrkefunksjonen (OC=1−styrke\text{OC}=1-\text{styrke}). Den faller fra 1−α1-\alpha ved μ0\mu_0 mot 0 langt unna.

Poisson: forventning = varians

For X∼Poisson(μ)X\sim\text{Poisson}(\mu) er E(X)=Var(X)=μE(X)=\text{Var}(X)=\mu, så standardavviket er μ\sqrt\mu. Derfor endres spredningen når raten endres — grensen bruker μ0\sqrt{\mu_0}, styrken μ1\sqrt{\mu_1}.

Signifikansniva mot styrke

Signifikansnivået α\alpha kontrollerer falsk alarm og velges før data; styrken 1−β1-\beta måler evnen til å oppdage en effekt og avhenger av nn, δ\delta og σ\sigma. To ulike egenskaper ved samme test.

β\beta avhenger av sann verdi

I motsetning til α\alpha er β\beta ikke én verdi — den er en funksjon av den sanne parameteren. Derfor snakker vi alltid om styrke ved en bestemt alternativverdi μ1\mu_1.

Symbol- og formelliste
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.