3.5 Prediksjon: KI for forventet respons vs. prediksjonsintervall

Skillet mellom konfidensintervall for forventet respons µ_Y|x og prediksjonsintervall for en ny observasjon — hvorfor sistnevnte har «1+…» under rota — og faren ved ekstrapolering.

50 min

11 oppgaver

PrediksjonKI for forventet respons vs. prediksjonsintervall

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Enkel lineær regresjon: minste kvadrater og inferens for stigningstallet

Brukes videre i

3.7Drill: regresjonsoppgaven fra R-utskrift (sjanger H–K)

Regresjonsoppgavens sisteledd: hva sier modellen om nye verdier? Dette er sjanger K (en fast oppgavetype: angi et intervall for responsen ved en gitt

x_0

— og vit hvilket av de to intervallene oppgaven ber om). Prediksjonsintervall opptrer i omtrent 4 av 22 sett (18 %) (H2011, H2014, H2016, H2023), konfidensintervall for forventet respons i ~12 % (H2019, H2020).

- Nøkkelskillet: *KI for forventet respons (hvor ligger snittlinja?) vs. prediksjonsintervall for én ny observasjon — sistnevnte har « $1+$ » under rota og er alltid bredere.
- H2020-fasiten trekker eksplisitt frem ekstrapoleringsfellen: intervallet blir absurd bredt langt utenfor dataområdet, og modellen upålitelig.

Sensorkrav (§5.8): riktig intervalltype, frihetsgrader $n-2$ , og en kommentar om $x_0$ ligger innenfor dataområdet. Prioritet: dette skal du kunne — det er nivå 2-stoff og gir raske poeng når formelvalget sitter.

Tidsbruk:* ~50 min i to løkker (KI for forventet respons $\to$ prediksjonsintervall og ekstrapolering).

Forkunnskaper: Hele kapitlet bygger på enkel regresjon i kap. 3.1 — spesielt

\hat\beta_0,\hat\beta_1

\hat\sigma

S_{xx}

— og på t-intervallenes logikk fra kap. 2.1. Begge intervallformlene her står i formelsamlingen: jobben din er å velge riktig formel og slå opp riktig kvantil, ikke å huske dem.

Sist du var her (fra kap. 3.1 — det du trenger nå):

$\hat y=\hat\beta_0+\hat\beta_1x,\qquad S^2=\frac{\text{SSE}}{n-2},\qquad V(\hat\beta_1)=\frac{\sigma^2}{S_{xx}},\qquad \hat\beta_1\pm t_{n-2,\,\alpha/2}\,se(\hat\beta_1).$

Intervallene i dette kapitlet er samme t-mønster — estimat $\pm$ kvantil $\times$ standardfeil — bare med et nytt «estimat» (den tilpassede verdien i punktet $x_0$ ) og nye standardfeil.

Modellen er tilpasset og godkjent. Nå kommer bruksspørsmålene, og de er to forskjellige spørsmål: (1) «Hva er forventet respons for alle enheter med $x=x_0$ ?» — et spørsmål om hvor snittlinja ligger. (2) «Hvilken verdi får den neste enkeltobservasjonen med $x=x_0$ ?» — et spørsmål om ett nytt, støyfullt datapunkt.

Punktsvarene er identiske ( $\hat y_0$ ), men usikkerheten er helt ulik: en enkeltobservasjon bærer sitt eget feilledd i tillegg til usikkerheten i linja. Eksamen tester nettopp om du ser forskjellen — og om du vet når intervallene overhodet er til å stole på.

Løkke 1 — Konfidensintervall for forventet respons (~20 min)

Forventet respons

\mu_{Y\mid x_0}

Y

Punktestimatoren

\hat Y_0

x_0

Hvor usikker er $\hat Y_0$ ? Skriv linja om tyngdepunktet:

\hat Y_0=\bar Y+\hat\beta_1(x_0-\bar x)

(linja går alltid gjennom

(\bar x,\bar Y)

). De to leddene er ukorrelerte, så variansene adderes:

V(\hat Y_0)=V(\bar Y)+(x_0-\bar x)^2V(\hat\beta_1)=\frac{\sigma^2}{n}+(x_0-\bar x)^2\frac{\sigma^2}{S_{xx}}=\sigma^2\Bigl(\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}\Bigr).

Intuisjon:

\sigma^2/n

er usikkerheten i linjas høyde (hele linja kan ligge litt for høyt eller lavt);

(x_0-\bar x)^2\,\sigma^2/S_{xx}

er usikkerheten fra linjas helning, som vipper om tyngdepunktet — jo lenger ut du går, desto mer utslag gir en usikker helning.

Variansen til

\hat Y_0

V(\hat Y_0)=\sigma^2\Bigl(\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}\Bigr).

Standardfeilen

se(\hat Y_0)

\hat\sigma

Konfidensintervall for forventet respons

\mu_{Y\mid x_0}

Bredden vokser med

(x_0-\bar x)^2

\bar x

Smalest i tyngdepunktet

x_0=\bar x

✏️Eksempel 1: KI for forventet respons

Fra kap. 3.1: $x=(10,20,30,40,50)$ , $\hat y=30{,}4+0{,}72x$ , $\bar x=30$ , $S_{xx}=1000$ , $\hat\sigma=1{,}095$ og $n=5$ . Finn et 95 %-konfidensintervall for forventet respons ved $x_0=35$ . ( $t_{3,\,0{,}025}=3{,}182$ .)

Punktestimat:

\hat y_0=30{,}4+0{,}72\cdot 35=55{,}6

Standardfeil: $se(\hat Y_0)=1{,}095\sqrt{\dfrac15+\dfrac{(35-30)^2}{1000}}=1{,}095\sqrt{0{,}2+0{,}025}=1{,}095\cdot0{,}4743=0{,}5194$ .

Frihetsgrader: $n-2=3$ , så kvantilen er $t_{3,\,0{,}025}=3{,}182$ :
$55{,}6\pm 3{,}182\cdot 0{,}5194=55{,}6\pm 1{,}65=(53{,}95,\ 57{,}25).$
Tolkning: med 95 % konfidens ligger den gjennomsnittlige responsen for enheter med $x=35$ mellom $53{,}95$ og $57{,}25$ .

📝Oppgave 1

Samme datasett som i eksempel 1. Finn et 95 %-konfidensintervall for forventet respons ved $x_0=20$ , og forklar hvorfor det er bredere enn intervallet ved $x_0=30$ .

📝Oppgave 2

Bruk formelen for $V(\hat Y_0)$ til å forklare — uten tall — hvorfor konfidensbåndet rundt en estimert regresjonslinje har timeglassform, og hvor det er smalest.

Løkke 2 — Prediksjonsintervall og ekstrapolering (~30 min)

En ny observasjon

Y_0

x_0

Prediksjonsfeilen

Y_0-\hat Y_0

Y_0

Prediksjonsintervall for en ny observasjon

\hat y_0\pm t_{n-2,\,\alpha/2}\,\hat\sigma\sqrt{1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}}}.

1+

»-leddet

\varepsilon_0

Prediksjonsintervallet er alltid bredere

x_0

Tolkningsforskjellen KI vs. PI

\mu_{Y\mid 120}

Hva 95 % betyr for et prediksjonsintervall

Et 95 %-prediksjonsintervall er konstruert slik at den nye observasjonen havner i intervallet med sannsynlighet 0,95 (før den måles, og regnet over både gamle data og den nye målingen). Det er altså ikke «95 % sikkert at snittet ligger her» — det er enkeltmålingen intervallet skal fange.

Prediksjonsintervallet krymper ikke mot null

n\to\infty

Dataområdet

x

Ekstrapolering

x_0

Interpolering

x_0

Intervallene i multippel regresjon (kjenne til)

x_0

Frihetsgradene er

n-2

i begge intervaller

t

✏️Eksempel 2: KI og prediksjonsintervall side om side

Samme datasett som i eksempel 1 ( $\hat y=30{,}4+0{,}72x$ , $\bar x=30$ , $S_{xx}=1000$ , $\hat\sigma=1{,}095$ , $n=5$ , $t_{3,\,0{,}025}=3{,}182$ ). Finn et 95 %-prediksjonsintervall for en ny måling ved $x_0=35$ , og sammenlign med KI-et fra eksempel 1.

Punktprediksjonen er den samme:

\hat y_0=55{,}6

. Under rota kommer nå «

1+

»:

se_{\text{pred}}=1{,}095\sqrt{1+0{,}2+0{,}025}=1{,}095\sqrt{1{,}225}=1{,}095\cdot1{,}1068=1{,}2119.

55{,}6\pm3{,}182\cdot1{,}2119=55{,}6\pm3{,}86=(51{,}74,\ 59{,}46).

Sammenligning: KI-et var

(53{,}95,\ 57{,}25)

— halvbredde

1{,}65

mot prediksjonsintervallets

3{,}86

, over dobbelt så bredt. Forskjellen er hele tiden den nye målingens eget støyledd: intervallet skal fange ett enkelt punkt som selv spres

\sigma\approx1{,}1

rundt linja.

✏️Eksempel 3: Ekstrapoleringsfellen (eksamensnivå)

Samme modell ( $x$ -verdier fra 10 til 50). En oppdragsgiver ber om et 95 %-prediksjonsintervall ved $x_0=100$ .

a) Regn ut intervallet. b) Vurder om svaret bør rapporteres.

\hat y_0=30{,}4+0{,}72\cdot100=102{,}4

. Under rota:

\displaystyle 1+\frac15+\frac{(100-30)^2}{1000}=1+0{,}2+4{,}9=6{,}1

102{,}4\pm3{,}182\cdot1{,}095\sqrt{6{,}1}=102{,}4\pm3{,}182\cdot1{,}095\cdot2{,}470=102{,}4\pm8{,}61=(93{,}79,\ 111{,}01).

b) Nei — ikke uten kraftig forbehold. $x_0=100$ ligger langt utenfor dataområdet $[10,50]$ : helningsleddet $(x_0-\bar x)^2/S_{xx}=4{,}9$ dominerer hele usikkerheten (mot $0{,}025$ ved $x_0=35$ ), og viktigere: vi har ingen data som støtter at sammenhengen fortsatt er lineær der ute. Matematikken produserer villig et intervall, men modellgrunnlaget er borte — dette er ekstrapolering, og svaret bør ledsages av en klar advarsel eller holdes tilbake.

📝Oppgave 3

Samme datasett som i eksemplene. a) Finn et 95 %-prediksjonsintervall for en ny måling ved $x_0=20$ . b) KI-et ved samme $x_0$ er $(42{,}89,\ 46{,}71)$ . Forklar med én setning hvorfor prediksjonsintervallet må være bredere.

📝Oppgave 4

En enkel regresjon med $n=12$ ga utskriftslinja «Residual standard error: 2.5 on 10 degrees of freedom», og det er oppgitt at $\bar x=40$ , $S_{xx}=640$ og $\hat y_0=57{,}2$ ved $x_0=44$ . Finn et 95 %-prediksjonsintervall for en ny observasjon ved $x_0=44$ . ( $t_{10,\,0{,}025}=2{,}228$ .)

📝Oppgave 5

En rapport skriver: «Med 95 % konfidens vil neste kunde med $x_0=25$ handle for mellom 310 og 390 kroner», men intervallet som er regnet ut, er KI-et for forventet respons. Forklar hva som er galt, og i hvilken retning feilen slår.

📝Oppgave 6

La $n\to\infty$ (med $x$ -ene spredt slik at $S_{xx}\to\infty$ ).

a) Hva skjer med bredden av KI-et for forventet respons, og hva skjer med prediksjonsintervallet?

b) Forklar hvorfor denne forskjellen er logisk nødvendig ut fra hva de to intervallene skal fange.

📝Oppgave 7

En modell for avlingsutbytte er tilpasset for gjødselmengder $x$ mellom 5 og 12 (kg/daa), med $\bar x=8{,}5$ og $S_{xx}=49$ . En rådgiver vil predikere utbyttet ved $x_0=30$ kg/daa og argumenterer: «Intervallformelen gjelder jo for alle $x_0$ .»

a) Regn ut faktoren under rota i prediksjonsintervallet for $x_0=30$ og for $x_0=8{,}5$ (bruk $n=14$ ), og finn forholdet mellom intervallbreddene.

b) Gi de to prinsipielt ulike innvendingene mot rådgiverens plan — hvilken er alvorligst?

Typiske feil med prediksjon

1. KI og prediksjonsintervall forveksles (§5.8) — « $1+$ » under rota glemmes når en ny enkeltobservasjon skal fanges. Sjekk nøkkelordene: forventet/gjennomsnitt → KI; ny/neste/enkeltmåling → PI.
2. Feil frihetsgrader. Kvantilen er $t_{n-2,\,\alpha/2}$ i enkel regresjon (følger $\hat\sigma$ ), ikke $n-1$ .
3. Ekstrapolering uten forbehold (§5.9, H2020). Kommentér alltid hvor $x_0$ ligger i forhold til dataområdet.
4. Bredde-avhengigheten glemmes. Begge intervallene vokser med $(x_0-\bar x)^2$ — et intervall regnet ved $\bar x$ kan ikke gjenbrukes lenger ute.
5. PI tolkes som KI («95 % sikker på snittet»). Prediksjonsintervallet fanger enkeltmålingen, ikke gjennomsnittet.

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.