7.1 Trigonometriske funksjonar og einingssirkelen | Matematikk R1

Sinus, cosinus og tangens definerte via einingssirkelen, radianar og eksakte verdiar.

60 min

21 oppgaver

EiningssirkelenSinusCosinusTangensRadianarEksakte verdiar

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Utanfor R1 i gjeldande læreplan. Trigonometriske funksjonar, likningar og identitetar høyrer til R2 i gjeldande læreplan (LK20), og sinus- og cosinussetninga høyrer til 1T. Kapittelet står her som repetisjon og fordjuping og er ikkje eksamensstoff i R1.

Trigonometriske funksjonar

Trigonometri handlar om samanhengen mellom vinklar og sidelengder. Frå ungdomsskulen kjenner du sinus, cosinus og tangens definerte i rettvinkla trekantar. No skal vi utvide definisjonane slik at dei gjeld for alle vinklar, ikkje berre for vinklar mellom $0°$ og $90°$ .

Nøkkelen til denne utvidinga er einingssirkelen -- ein sirkel med sentrum i origo og radius $1$ .

📝Oppgave 1

Ein rettvinkla trekant har hypotenus $10$ og ein vinkel på $30°$ . Finn dei to katetane.

Einingssirkelen

Einingssirkelen er ein sirkel med sentrum i origo og radius $1$ i eit koordinatsystem. Vi bruker han til å definere sinus og cosinus for alle vinklar.

Tenk deg ein peikar som startar langs den positive $x$ -aksen og roterer mot klokka. Vinkelen $v$ måler kor langt peikaren har rotert. Punktet der peikaren treffer sirkelen har koordinatar $(\cos v, \sin v)$ .

Sinus og cosinus (einingssirkelen)

v

Tangens

\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}, \quad \cos v \neq 0

Einingssirkelen blir delt inn i fire kvadrantar:

Kvadrant	Vinkel	$\sin v$	$\cos v$	$\tan v$
I	$0° < v < 90°$	$+$	$+$	$+$
II	$90° < v < 180°$	$+$	$-$	$-$
III	$180° < v < 270°$	$-$	$-$	$+$
IV	$270° < v < 360°$	$-$	$+$	$-$

Forteikna følgjer av koordinatane:

\cos v

x

-koordinaten og

\sin v

y

-koordinaten til punktet på einingssirkelen, og

\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}

er positiv når dei to har same forteikn.

✏️Eksempel 1: Verdiar frå einingssirkelen

Finn $\sin 150°$ , $\cos 150°$ og $\tan 150°$ .

Løysing:

Vinkelen $150°$ ligg i andre kvadrant. Referansevinkelen er $180° - 150° = 30°$ .

I andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ, så:

$\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$

$\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 150° = \frac{\sin 150°}{\cos 150°} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Svar: $\displaystyle \sin 150° = \frac{1}{2}$ , $\displaystyle \cos 150° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ og $\displaystyle \tan 150° = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

📝Oppgave 2

Bruk einingssirkelen til å finne verdiane. Oppgi eksakte verdiar.

\sin 210°

\cos 210°

\sin 315°

\cos 315°

\tan 120°

\sin 270°

\cos 270°

Løs oppgaven

Radianar

I matematikk bruker vi ofte radianar som vinkelmål i staden for grader. Radianar er den naturlege vinkeleininga fordi ho forenklar mange formlar, særleg innan derivasjon og integrasjon.

Ein radian er definert som vinkelen som spenner ut ein boge med lengd lik radien. Sidan omkrinsen til ein sirkel med radius $r$ er $2\pi r$ , svarar éi heil omdreiing til $2\pi$ radianar.

Radianar

\pi \text{ rad} = 180°

Grader	Radianar
$0°$	$0$
$30°$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$
$45°$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$
$60°$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$
$90°$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$180°$	$\pi$
$270°$	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$
$360°$	$2\pi$

✏️Eksempel 2: Omrekning mellom grader og radianar

a) Gjer om $135°$ til radianar.
b) Gjer om $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ radianar til grader.

Løysing:

a) $\displaystyle 135° = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$

Svar: $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$

b) $\displaystyle \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{5 \cdot 180}{4} = 225°$

Svar: $225°$

📝Oppgave 3

Rekn om mellom grader og radianar.

Gjer om $60°$ til radianar

Gjer om $240°$ til radianar

Gjer om $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ til grader

Gjer om $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$ til grader

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Rekn om til radianar og oppgi svaret som ein brøk med $\pi$ .

15°

75°

330°

225°

Løs oppgaven

Eksakte trigonometriske verdiar

For standardvinklane $0$ , $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ kan vi finne eksakte verdiar for sinus og cosinus. Desse verdiane må du kunne utanåt.

📜Eksakte verdiar for standardvinklane

$v$	$\sin v$	$\cos v$	$\tan v$
$0$	$0$	$1$	$0$
$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	udef.

Hugseregel for sinus: Teljarfølgja

\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}

delt på

2

✏️Eksempel 3: Eksakte verdiar for vinklar utanfor første kvadrant

Finn eksakte verdiar for:
a) $\displaystyle \sin \frac{2\pi}{3}$
b) $\displaystyle \cos \frac{5\pi}{4}$
c) $\displaystyle \tan \frac{11\pi}{6}$

Løysing:

a) $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ ligg i andre kvadrant. Referansevinkel: $\displaystyle \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ .

$\sin \frac{2\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(Sinus er positiv i andre kvadrant.)

Svar: $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ ligg i tredje kvadrant. Referansevinkel: $\displaystyle \frac{5\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4}$ .

$\cos \frac{5\pi}{4} = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(Cosinus er negativ i tredje kvadrant.)

Svar: $\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$

c) $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$ ligg i fjerde kvadrant. Referansevinkel: $\displaystyle 2\pi - \frac{11\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ .

$\tan \frac{11\pi}{6} = -\tan \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(Tangens er negativ i fjerde kvadrant.)

Svar: $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{3}$

📝Oppgave 5

Finn eksakte verdiar utan kalkulator.

\displaystyle \sin \frac{3\pi}{4}

\displaystyle \cos \frac{5\pi}{3}

\displaystyle \tan \frac{4\pi}{3}

\displaystyle \sin \frac{7\pi}{6}

Løs oppgaven

Den pytagoreiske identiteten

Det finst ein grunnleggjande samanheng mellom sinus og cosinus som gjeld for alle vinklar. Denne samanhengen følgjer direkte frå setninga til Pytagoras og einingssirkelen.

📜Den pytagoreiske identiteten

For alle vinklar

x

gjeld:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Bevis: Punktet $(\cos x, \sin x)$ ligg på einingssirkelen $x^2 + y^2 = 1$ . Ved å setje inn får vi $(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$ .

Frå

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

kan vi utleie:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

Desse omskrivingane er svært nyttige når vi skal forenkle trigonometriske uttrykk.

✏️Eksempel 4: Bruk av den pytagoreiske identiteten

Gitt at $\displaystyle \sin x = \frac{3}{5}$ og $x$ ligg i andre kvadrant. Finn $\cos x$ og $\tan x$ .

Løysing:

Vi bruker $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ :

$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1$
$\frac{9}{25} + \cos^2 x = 1$
$\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$\cos x = \pm \frac{4}{5}$

Sidan $x$ er i andre kvadrant, er $\cos x < 0$ , så:

$\cos x = -\frac{4}{5}$

Då blir:

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

Svar: $\displaystyle \cos x = -\frac{4}{5}$ og $\displaystyle \tan x = -\frac{3}{4}$

📝Oppgave 6

Bruk den pytagoreiske identiteten til å finne dei ukjende verdiane.

\displaystyle \cos x = \frac{5}{13}

x

i første kvadrant. Finn

\sin x

\displaystyle \sin x = -\frac{7}{25}

x

i tredje kvadrant. Finn

\cos x

\displaystyle \cos x = -\frac{1}{3}

x

i andre kvadrant. Finn

\sin x

\tan x

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Forenkle uttrykka.

\sin^2 x + \cos^2 x + \tan^2 x

\displaystyle \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x}

(\sin x + \cos x)^2 - 1

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Bruk GeoGebra til å teikne einingssirkelen og verifiser at punktet $(\cos 45°, \sin 45°)$ ligg på sirkelen.

Gjør dette i GeoGebra

Løs oppgaven i GeoGebra i en ny fane.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 9

Vis at for alle vinklar $x$ gjeld:

\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

\displaystyle \frac{\cos x}{1 + \sin x} + \frac{1 + \sin x}{\cos x} = \frac{2}{\cos x}

📝Oppgave 10

Rekn ut utan kalkulator.

\sin 0 + \cos 0 + \tan 0

\displaystyle \sin \frac{\pi}{2} + \cos \pi + \tan \frac{\pi}{4}

\displaystyle 2\sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{6}

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Finn alle vinklar $v \in [0, 2\pi)$ som oppfyller:

\cos v = 0

\sin v = -1

\tan v = 0

\sin v = \cos v

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Finn den eksakte verdien av $\displaystyle \sin^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{6} + \tan^2 \frac{\pi}{4}$ .

📝Oppgave 13

Gitt at $\tan x = 2$ og $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$ . Finn eksakte verdiar for $\sin x$ og $\cos x$ .

📝Oppgave 14

Vis at $\sin(\pi - x) = \sin x$ og $\cos(\pi - x) = -\cos x$ for alle $x$ .

📝Oppgave 15

Avgjer om påstanden er sann eller usann, og grunngje svaret.

\sin 90° = 1

\cos(-x) = -\cos x

\tan 180° = 0

📝Oppgave 16

Forenkle uttrykket $\displaystyle \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin^2 x - \cos^2 x}$ .

Oppsummering

Einingssirkelen: Punktet på einingssirkelen for vinkel $v$ er $(\cos v, \sin v)$ .

Radianar og grader: $\pi \text{ rad} = 180°$

Eksakte verdiar: Du må kunne verdiane for $0$ , $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

Pytagoreisk identitet: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Tangens: $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.