4.1
Derivasjonsreglar

4.1 Derivasjonsreglar

Alle fag for VG2

Grunnleggjande derivasjonsreglar for polynom.

55 min
14 oppgaver
PotensregelenSumregelenKonstantregelenKonstant faktor
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Innleiing

I dette kapittelet skal vi lære dei grunnleggjande reglane for derivasjon. Desse reglane gjer det mogleg å derivere funksjonar utan å måtte gå via definisjonen med grenseverdiar kvar gong.

Derivasjon er eit sentralt verktøy i matematikk og naturvitskap. Det blir brukt til å finne:
- Vekstfart og endringsrate
- Stigingstal til tangentar
- Maksimums- og minimumsverdiar
- Optimalisering i økonomi og fysikk

Vi startar med dei enklaste reglane og byggjer opp til meir komplekse derivasjonar.

Derivasjon av konstantar

Ein konstant funksjon har same verdi for alle verdiar av xx. Grafen til ein konstant funksjon er ei horisontal linje, som har stigingstal 0 overalt.

📜Konstantregelen
Dersom f(x)=cf(x) = c der cc er ein konstant, så er:

f′(x)=0f'(x) = 0

Kort skrevet: (c)′=0(c)' = 0

Bevis for konstantregelen
✏️Døme 1: Derivasjon av konstantar

Deriver funksjonane:

a) f(x)=5f(x) = 5
b) g(x)=−3g(x) = -3
c) h(x)=πh(x) = \pi
d) k(x)=2k(x) = \sqrt{2}

Løysing:

Alle desse funksjonane er konstantar, så den deriverte er 0 for alle:

a) f′(x)=0f'(x) = 0

Svar: f′(x)=0f'(x) = 0

b) g′(x)=0g'(x) = 0

Svar: g′(x)=0g'(x) = 0

c) h′(x)=0h'(x) = 0

Svar: h′(x)=0h'(x) = 0

d) k′(x)=0k'(x) = 0

Merk at π\pi og 2\sqrt{2} er konstantar sjølv om dei ikkje er heiltal.

Svar: k′(x)=0k'(x) = 0

Potensregelen

Potensregelen er den viktigaste regelen for derivasjon av polynom og mange andre funksjonar. Han fortel oss korleis vi deriverer xx opphøgd i ein potens.

📜Potensregelen
For f(x)=xnf(x) = x^n der nn er eit reelt tal, er:

f′(x)=n⋅xn−1f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Kort skrevet: (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

Eksponenten blir flytta ned framom og redusert med 1.

Bevis for potensregelen (for positive heiltal)
✏️Døme 2: Potensregelen med positive eksponentar

Deriver funksjonane:

a) f(x)=x5f(x) = x^5
b) g(x)=x3g(x) = x^3
c) h(x)=x10h(x) = x^{10}
d) k(x)=xk(x) = x

Løysing:

a) f(x)=x5f(x) = x^5
f′(x)=5x5−1=5x4f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4

Svar: f′(x)=5x4f'(x) = 5x^4

b) g(x)=x3g(x) = x^3
g′(x)=3x3−1=3x2g'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2

Svar: g′(x)=3x2g'(x) = 3x^2

c) h(x)=x10h(x) = x^{10}
h′(x)=10x10−1=10x9h'(x) = 10x^{10-1} = 10x^9

Svar: h′(x)=10x9h'(x) = 10x^9

d) k(x)=x=x1k(x) = x = x^1
k′(x)=1⋅x1−1=1⋅x0=1k'(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1

Merk at (x)′=1(x)' = 1, noko som gir meining sidan grafen til y=xy = x har stigingstal 1.

Svar: k′(x)=1k'(x) = 1

📝Oppgave 1

Deriver funksjonane ved å bruke potensregelen.

a
f(x)=x4f(x) = x^4
b
f(x)=x6f(x) = x^6
c
f(x)=x7f(x) = x^7
d
f(x)=x12f(x) = x^{12}
e
f(x)=x100f(x) = x^{100}
f
f(x)=x2f(x) = x^2
Løs oppgaven

Konstant faktor

Kva skjer når vi gangar ein funksjon med ein konstant? Regelen er enkel: konstanten "følgjer med" gjennom derivasjonen.

📜Regelen for konstant faktor
Dersom cc er ein konstant og ff er ein deriverbar funksjon, så er:

(c⋅f(x))′=c⋅f′(x)(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)

Konstanten kan "flyttast ut" av derivasjonen.

Bevis for konstant faktor
✏️Døme 3: Derivasjon med konstant faktor

Deriver funksjonane:

a) f(x)=3x4f(x) = 3x^4
b) g(x)=−2x5g(x) = -2x^5
c) h(x)=12x6\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}x^6
d) k(x)=5xk(x) = 5x

Løysing:

a) f(x)=3x4f(x) = 3x^4
f′(x)=3⋅4x3=12x3f'(x) = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3

Svar: f′(x)=12x3f'(x) = 12x^3

b) g(x)=−2x5g(x) = -2x^5
g′(x)=−2⋅5x4=−10x4g'(x) = -2 \cdot 5x^4 = -10x^4

Svar: g′(x)=−10x4g'(x) = -10x^4

c) h(x)=12x6\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}x^6
h′(x)=12⋅6x5=3x5\displaystyle h'(x) = \frac{1}{2} \cdot 6x^5 = 3x^5

Svar: h′(x)=3x5h'(x) = 3x^5

d) k(x)=5x=5x1k(x) = 5x = 5x^1
k′(x)=5⋅1⋅x0=5k'(x) = 5 \cdot 1 \cdot x^0 = 5

Svar: k′(x)=5k'(x) = 5

📝Oppgave 2

Deriver funksjonane.

a
f(x)=4x3f(x) = 4x^3
b
f(x)=−3x5f(x) = -3x^5
c
f(x)=7x2f(x) = 7x^2
d
f(x)=13x9\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^9
e
f(x)=−x4f(x) = -x^4
f
f(x)=10xf(x) = 10x
Løs oppgaven

Sumregelen og differanseregelen

Når vi har ein sum eller differanse av funksjonar, kan vi derivere kvart ledd for seg.

📜Sumregelen og differanseregelen
Dersom ff og gg er deriverbare funksjonar, så er:

Sumregelen:
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x)(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

Differanseregelen:
(f(x)−g(x))′=f′(x)−g′(x)(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)

Den deriverte av ein sum er summen av dei deriverte.

Bevis for sumregelen
✏️Døme 4: Derivasjon av summar og differansar

Deriver funksjonane:

a) f(x)=x3+x2f(x) = x^3 + x^2
b) g(x)=4x5−3x2g(x) = 4x^5 - 3x^2
c) h(x)=x4+2x3−5x+7h(x) = x^4 + 2x^3 - 5x + 7

Løysing:

a) f(x)=x3+x2f(x) = x^3 + x^2
f′(x)=3x2+2xf'(x) = 3x^2 + 2x

Svar: f′(x)=3x2+2xf'(x) = 3x^2 + 2x

b) g(x)=4x5−3x2g(x) = 4x^5 - 3x^2
g′(x)=4⋅5x4−3⋅2x=20x4−6xg'(x) = 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 2x = 20x^4 - 6x

Svar: g′(x)=20x4−6xg'(x) = 20x^4 - 6x

c) h(x)=x4+2x3−5x+7h(x) = x^4 + 2x^3 - 5x + 7
h′(x)=4x3+2⋅3x2−5⋅1+0h'(x) = 4x^3 + 2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 1 + 0
h′(x)=4x3+6x2−5h'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 5

Svar: h′(x)=4x3+6x2−5h'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 5

📝Oppgave 3

Deriver funksjonane.

a
f(x)=x4+3x2f(x) = x^4 + 3x^2
b
f(x)=2x5−x3+4f(x) = 2x^5 - x^3 + 4
c
f(x)=−x3+5x2−2x+1f(x) = -x^3 + 5x^2 - 2x + 1
d
f(x)=12x4−13x3+x\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x
Løs oppgaven

Derivasjon av polynom

Ved å kombinere potensregelen, konstantfaktoren og sumregelen kan vi derivere eitkvart polynom. Vi deriverer rett og slett kvart ledd for seg.

Derivasjon av eit generelt polynom
Eit polynom på forma:

P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0

har den deriverte:

P′(x)=n⋅anxn−1+(n−1)⋅an−1xn−2+…+a1P'(x) = n \cdot a_n x^{n-1} + (n-1) \cdot a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1

Merk at konstantleddet a0a_0 forsvinn (gir 0).

✏️Døme 5: Derivasjon av polynom

Deriver polynoma:

a) P(x)=3x4−2x3+5x2−x+4P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + 4
b) Q(x)=x5+12x2−3\displaystyle Q(x) = x^5 + \frac{1}{2}x^2 - 3

Løysing:

a) P(x)=3x4−2x3+5x2−x+4P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + 4

Vi deriverer kvart ledd:
- (3x4)′=12x3(3x^4)' = 12x^3
- (−2x3)′=−6x2(-2x^3)' = -6x^2
- (5x2)′=10x(5x^2)' = 10x
- (−x)′=−1(-x)' = -1
- (4)′=0(4)' = 0

P′(x)=12x3−6x2+10x−1P'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 1

Svar: P′(x)=12x3−6x2+10x−1P'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 1

b) Q(x)=x5+12x2−3\displaystyle Q(x) = x^5 + \frac{1}{2}x^2 - 3

Q′(x)=5x4+12⋅2x−0=5x4+x\displaystyle Q'(x) = 5x^4 + \frac{1}{2} \cdot 2x - 0 = 5x^4 + x

Svar: Q′(x)=5x4+xQ'(x) = 5x^4 + x

Gjør dette i GeoGebra

Polynom og den deriverte

Grafen til f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x (blå) og den deriverte f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3 (raud). Legg merke til at f′(x)=0f'(x) = 0 der f(x)f(x) har topp- og botnpunkt.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^3 - 3x
g(x) = 3x^2 - 3
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")
A = (-1, f(-1))
B = (1, f(1))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra(åpnes i ny fane)
📝Oppgave 4

Deriver polynoma.

a
P(x)=x6−4x4+2x2−1P(x) = x^6 - 4x^4 + 2x^2 - 1
b
P(x)=5x3−32x2+4x−7\displaystyle P(x) = 5x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x - 7
c
P(x)=−2x5+x4−3x3+x−8P(x) = -2x^5 + x^4 - 3x^3 + x - 8
d
P(x)=14x4+13x3−12x2\displaystyle P(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2
Løs oppgaven

Negative eksponentar

Potensregelen gjeld òg for negative eksponentar. Hugs at x−n=1xn\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}.

✏️Døme 6: Derivasjon med negative eksponentar

Deriver funksjonane:

a) f(x)=x−2f(x) = x^{-2}
b) g(x)=1x\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}
c) h(x)=3x4\displaystyle h(x) = \frac{3}{x^4}
d) k(x)=x2−2x3\displaystyle k(x) = x^2 - \frac{2}{x^3}

Løysing:

a) f(x)=x−2f(x) = x^{-2}
f′(x)=−2x−2−1=−2x−3=−2x3\displaystyle f'(x) = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}

Svar: f′(x)=−2x3\displaystyle f'(x) = -\frac{2}{x^3}

b) g(x)=1x=x−1\displaystyle g(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}
g′(x)=−1⋅x−1−1=−x−2=−1x2\displaystyle g'(x) = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

Svar: g′(x)=−1x2\displaystyle g'(x) = -\frac{1}{x^2}

c) h(x)=3x4=3x−4\displaystyle h(x) = \frac{3}{x^4} = 3x^{-4}
h′(x)=3⋅(−4)x−5=−12x−5=−12x5\displaystyle h'(x) = 3 \cdot (-4)x^{-5} = -12x^{-5} = -\frac{12}{x^5}

Svar: h′(x)=−12x5\displaystyle h'(x) = -\frac{12}{x^5}

d) k(x)=x2−2x3=x2−2x−3\displaystyle k(x) = x^2 - \frac{2}{x^3} = x^2 - 2x^{-3}
k′(x)=2x−2⋅(−3)x−4=2x+6x−4=2x+6x4\displaystyle k'(x) = 2x - 2 \cdot (-3)x^{-4} = 2x + 6x^{-4} = 2x + \frac{6}{x^4}

Svar: k′(x)=2x+6x4\displaystyle k'(x) = 2x + \frac{6}{x^4}

📝Oppgave 5

Deriver funksjonane. Skriv svaret både med negative eksponentar og som brøk.

a
f(x)=x−3f(x) = x^{-3}
b
f(x)=1x2\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2}
c
f(x)=5x\displaystyle f(x) = \frac{5}{x}
d
f(x)=4x3\displaystyle f(x) = \frac{4}{x^3}
e
f(x)=x3+1x\displaystyle f(x) = x^3 + \frac{1}{x}
f
f(x)=2x2−3x2+1\displaystyle f(x) = 2x^2 - \frac{3}{x^2} + 1
Løs oppgaven

Rasjonale eksponentar

Potensregelen gjeld òg for brøkeksponentar (rasjonale eksponentar). Hugs samanhengen mellom røter og brøkeksponentar.

✏️Døme 7: Derivasjon med rasjonale eksponentar

Deriver funksjonane:

a) f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
b) g(x)=x3g(x) = \sqrt[3]{x}
c) h(x)=x3/2h(x) = x^{3/2}
d) k(x)=1x\displaystyle k(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

Løysing:

a) f(x)=x=x1/2f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}
f′(x)=12x1/2−1=12x−1/2=12x\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Svar: f′(x)=12x\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

b) g(x)=x3=x1/3g(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}
g′(x)=13x1/3−1=13x−2/3=13x23\displaystyle g'(x) = \frac{1}{3}x^{1/3-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

Svar: g′(x)=13x23\displaystyle g'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

c) h(x)=x3/2h(x) = x^{3/2}
h′(x)=32x3/2−1=32x1/2=3x2\displaystyle h'(x) = \frac{3}{2}x^{3/2-1} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}

Svar: h′(x)=3x2\displaystyle h'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2}

d) k(x)=1x=x−1/2\displaystyle k(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}
k′(x)=−12x−1/2−1=−12x−3/2=−12x3\displaystyle k'(x) = -\frac{1}{2}x^{-1/2-1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}

Svar: k′(x)=−12x3\displaystyle k'(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}

Gjør dette i GeoGebra

Rotfunksjonen og den deriverte

Grafen til f(x)=xf(x) = \sqrt{x} (blå) og den deriverte f′(x)=12x\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} (raud).

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = sqrt(x)
g(x) = 1/(2*sqrt(x))
SetColor(f, "Blue")
SetColor(g, "Red")

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra(åpnes i ny fane)
📝Oppgave 6

Deriver funksjonane. Skriv om til eksponentform først.

a
f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
b
f(x)=x4f(x) = \sqrt[4]{x}
c
f(x)=x2/3f(x) = x^{2/3}
d
f(x)=3xf(x) = 3\sqrt{x}
e
f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2\sqrt{x}
f
f(x)=6x\displaystyle f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}
Løs oppgaven

Oppsummering av derivasjonsreglar

La oss oppsummere alle reglane vi har lært i dette kapittelet:

Derivasjonsreglar
RegelFormel
Konstantregelen(c)′=0(c)' = 0
Potensregelen(xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}
Konstant faktor(c⋅f)′=c⋅f′(c \cdot f)' = c \cdot f'
Sumregelen(f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g'
Differanseregelen(f−g)′=f′−g′(f - g)' = f' - g'

Spesialtilfelle:
- (x)′=1(x)' = 1
- (x2)′=2x(x^2)' = 2x
- (x)′=12x\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
📝Oppgave 7

Deriver funksjonane. Skriv om til standardform først om nødvendig.

a
f(x)=3x4−2x2+5x\displaystyle f(x) = 3x^4 - 2x^2 + \frac{5}{x}
b
f(x)=x+1x\displaystyle f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}
c
f(x)=x3−2x+1x\displaystyle f(x) = \frac{x^3 - 2x + 1}{x}
d
f(x)=(x+1)(x−2)f(x) = (x + 1)(x - 2)
Løs oppgaven

Bruk: Tangentar til grafar

Den deriverte f′(a)f'(a) gir stigingstalet til tangenten til grafen av ff i punktet (a,f(a))(a, f(a)).

✏️Døme 8: Finne tangent til ei kurve

La f(x)=x3−2x+1f(x) = x^3 - 2x + 1. Finn likninga for tangenten til grafen i punktet der x=2x = 2.

Løysing:

Finn yy-verdien når x=2x = 2:
f(2)=23−2⋅2+1=8−4+1=5f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5
Berøringspunktet er (2,5)(2, 5).

Finn stigingstalet (den deriverte i x=2x = 2):
f′(x)=3x2−2f'(x) = 3x^2 - 2
f′(2)=3⋅22−2=12−2=10f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 12 - 2 = 10

Bruk eittpunktsformelen for ei rett linje:
y−y1=a(x−x1)y - y_1 = a(x - x_1)
y−5=10(x−2)y - 5 = 10(x - 2)
y=10x−20+5y = 10x - 20 + 5
y=10x−15y = 10x - 15

Svar: Likninga til tangenten er y=10x−15y = 10x - 15.

📝Oppgave 8

Finn likninga for tangenten til grafen i det oppgitte punktet.

a
f(x)=x2f(x) = x^2 i x=3x = 3
b
f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x i x=1x = 1
c
f(x)=xf(x) = \sqrt{x} i x=4x = 4
d
f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 i x=2x = 2
Løs oppgaven
Ekstraoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 1 oppgaver
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.