4.1 Derivasjonsregler

Fartsmåleren som aldri tar feil

Tenk deg at du sitter i en bil og ser på speedometeret. Nålen viser 80 km/t – ikke gjennomsnittsfarten for hele turen, men farten akkurat nå. Det speedometeret gjør, er i bunn og grunn derivasjon: det måler hvor fort posisjonen din endrer seg i et bestemt øyeblikk.

I forrige kapittel lærte du at den deriverte er definert som en grenseverdi: $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$. Det er en vakker definisjon, men la oss være ærlige – å regne ut den grenseverdien hver eneste gang er som å bygge speedometeret på nytt hver gang du skal kjøre. I dette kapittelet skal vi gjøre noe mye smartere: vi skal utlede regler som lar oss derivere nesten hva som helst på sekunder.

Derivasjon er et av de mest brukte verktøyene i matematikk og naturvitenskap. Med den deriverte finner vi vekstfart og endringsrate, stigningstall til tangenter, maksimums- og minimumsverdier, og vi kan optimalisere alt fra bensinforbruk til bedriftsoverskudd. Men først trenger vi verktøykassa. Vi bygger den opp regel for regel, fra den aller enkleste.

Det som står stille, og det som vokser

Vi starter med det enkleste som finnes: en funksjon som ikke gjør noen ting. Hvis $f(x) = 5$, er verdien 5 uansett hva $x$ er. Grafen er en horisontal linje, og en horisontal linje har stigningstall null overalt. Siden den deriverte måler endring, og en konstant aldri endrer seg, sier konstantregelen at $(c)' = 0$. Det gjelder alle konstanter – også $\pi$ og $\sqrt{2}$ er konstanter, selv om de ikke er pene heltall. Beviset er nesten komisk kort: i definisjonen blir telleren $c - c = 0$, så hele grenseverdien blir null.

Så til arbeidshesten i hele kapittelet: potensregelen. For $f(x) = x^n$, der $n$ er et reelt tall, er $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$. Husk den slik: eksponenten hopper ned foran og reduseres med én. Deriverer du $x^5$, hopper femtallet ned og eksponenten blir fire: $5x^4$. Deriverer du $x^{10}$, får du $10x^9$.

Hva med $f(x) = x$? Det er $x^1$, så $f'(x) = 1 \cdot x^0 = 1$. Det gir perfekt mening – grafen til $y = x$ er en rett linje med stigningstall 1. Tre resultater dukker opp så ofte at de er verdt å kunne i søvne: $(x)' = 1$, $(x^2)' = 2x$ og $(x^3)' = 3x^2$.

Hvor kommer potensregelen fra? For positive heltall kan vi bevise den med binomialteoremet: når vi utvider $(x+h)^n$, er de to første leddene $x^n + nx^{n-1}h$, og resten inneholder $h^2$ eller høyere potenser. Etter at $x^n$ kanselleres og vi deler på $h$, forsvinner alle de små leddene når $h \to 0$ – og igjen står nøyaktig $nx^{n-1}$.

Å derivere ledd for ledd

Hva skjer når funksjonen er ganget med et tall, som $f(x) = 3x^4$? Regelen for konstant faktor sier at konstanten bare følger med gjennom derivasjonen: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. Vi deriverer $x^4$ til $4x^3$ og ganger med 3: $(3x^4)' = 12x^3$. I beviset kan konstanten settes utenfor grenseverdien, og det er nøyaktig derfor den kan «flyttes ut». På samme måte blir $(-2x^5)' = -10x^4$ og $\displaystyle (\frac{1}{2}x^6)' = 3x^5$.

Neste byggekloss: sumregelen og differanseregelen. Den deriverte av en sum er summen av de deriverte: $(f + g)' = f' + g'$, og tilsvarende med minus. Beviset er en ren omgruppering av leddene i grenseverdien. Konsekvensen er enorm: vi kan derivere hvert ledd for seg.

Kombinerer vi alle reglene, kan vi derivere ethvert polynom. Ta $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + 4$. Vi går fra venstre mot høyre: $(3x^4)' = 12x^3$, $(-2x^3)' = -6x^2$, $(5x^2)' = 10x$, $(-x)' = -1$, og konstantleddet $4$ forsvinner. Resultatet: $P'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 1$.

Generelt har polynomet $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0$ den deriverte $P'(x) = n \cdot a_n x^{n-1} + (n-1) \cdot a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_1$. Legg merke til at konstantleddet $a_0$ alltid forsvinner – det bidrar ikke til endringen, bare til nivået. Tegner du grafen til $f(x) = x^3 - 3x$ sammen med $f'(x) = 3x^2 - 3$, ser du noe vakkert: den deriverte er null nøyaktig der originalfunksjonen har topp- og bunnpunkt. Det hintet kommer vi tilbake til i kapittelet om funksjonsdrøfting.

Potensregelen uten grenser

Her kommer den virkelig gode nyheten: potensregelen $(x^n)' = nx^{n-1}$ gjelder ikke bare for pene, positive heltall. Den gjelder for alle reelle eksponenter – også negative tall og brøker. Det åpner døren til en hel verden av funksjoner.

Først de negative eksponentene. Nøkkelen er omskrivingen $\displaystyle \frac{1}{x^n} = x^{-n}$. Brøken $\displaystyle \frac{1}{x}$ er altså $x^{-1}$, og $\displaystyle \frac{1}{x^2}$ er $x^{-2}$. Skal du derivere $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$, skriver du om til $x^{-1}$ og bruker potensregelen: $\displaystyle g'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$. Litt mer sammensatt: $\displaystyle h(x) = \frac{3}{x^4} = 3x^{-4}$ gir $\displaystyle h'(x) = 3 \cdot (-4)x^{-5} = -\frac{12}{x^5}$. Strategien er alltid den samme: skriv om brøken til en potens med negativ eksponent før du deriverer, og skriv gjerne svaret tilbake som brøk til slutt.

Så røttene. Her er sammenhengen $\sqrt{x} = x^{1/2}$, og mer generelt $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ og $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$. Deriverer vi $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$, gir potensregelen $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Dette resultatet, $\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, dukker opp så ofte at det fortjener en egen plass i hukommelsen.

Andre varianter følger samme oppskrift: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ gir $\displaystyle \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, mens $x^{3/2}$ gir $\displaystyle \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$. Til og med $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ lar seg temme: den deriverte blir $\displaystyle -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$. Én regel, uendelig mange funksjoner.

Tangenten – den deriverte i arbeid

Nå som verktøykassa er full, la oss bruke den til noe konkret. Den deriverte $f'(a)$ gir stigningstallet til tangenten til grafen i punktet $(a, f(a))$ – den rette linja som akkurat berører kurven og peker i samme retning som den.

La oss finne tangenten til $f(x) = x^3 - 2x + 1$ i punktet der $x = 2$. Oppskriften har tre steg. Steg 1: Finn berøringspunktet. $f(2) = 8 - 4 + 1 = 5$, så tangenten berører grafen i $(2, 5)$. Steg 2: Finn stigningstallet. Vi deriverer: $f'(x) = 3x^2 - 2$, og setter inn: $f'(2) = 12 - 2 = 10$. Tangenten har altså stigningstall 10. Steg 3: Bruk ettpunktsformelen $y - y_1 = a(x - x_1)$: vi får $y - 5 = 10(x - 2)$, som rydder seg til $y = 10x - 15$.

Tre steg, og du har likningen for en linje som matematisk sett «kysser» kurven i nøyaktig ett punkt og deler dens retning der. Du kan også snu spørsmålet: hvor har grafen en horisontal tangent? Det skjer der stigningstallet er null, altså der $f'(x) = 0$. For $f(x) = x^2 - 4x$ gir $f'(x) = 2x - 4 = 0$ løsningen $x = 2$ – der flater grafen ut. Slike punkter er nøkkelen til å finne topp- og bunnpunkter, og det er nettopp dit reisen går videre i kurset.

Verktøykassa er klar

Du startet kapittelet med én tungvint metode – grenseverdidefinisjonen – og avslutter med en hel verktøykasse. Konstantregelen sier at $(c)' = 0$: det som ikke endrer seg, har ingen endringsrate. Potensregelen $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ er arbeidshesten, og den gjelder for alle reelle eksponenter – positive, negative og brøker. Konstant faktor lar tallet følge med: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$. Og sumregelen og differanseregelen, $(f \pm g)' = f' \pm g'$, lar oss derivere ledd for ledd.

Sammen gjør disse reglene at du kan derivere ethvert polynom på få sekunder, og med omskrivingene $\displaystyle \frac{1}{x^n} = x^{-n}$ og $\sqrt{x} = x^{1/2}$ temmer du også brøker og røtter. Spesialtilfellene $(x)' = 1$, $(x^2)' = 2x$ og $\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ bør sitte som refleks.

Til slutt så du den deriverte i arbeid: $f'(a)$ er stigningstallet til tangenten i $(a, f(a))$, og med ettpunktsformelen finner du tangentens likning i tre steg. Der $f'(x) = 0$, flater grafen ut – og akkurat det sporet følger vi videre når vi snart skal drøfte funksjoner og jakte på topp- og bunnpunkter. Speedometeret er bygget. Nå skal vi ut og kjøre.