3.5 Newtons metode | Matematikk R1

Numerisk løsning av ligninger ved iterasjon.

55 min

9 oppgaver

Newtons metodeIterasjonNumerisk rotfunnKonvergensStartverdier

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Derivasjonens definisjon

Numerisk løsning av ligninger

Mange ligninger kan ikke løses eksakt med algebraiske metoder. For eksempel:
- $x^5 - 3x + 1 = 0$
- $e^x = 3x$
- $\cos x = x$

Newtons metode gir oss en måte å finne tilnærmede løsninger med høy presisjon.

Ideen: Start med en gjetning, og forbedre den iterativt ved å følge tangentlinjen.

Newtons metode

f(x) = 0

Utledning av formelen

Tangentlinjen til $f$ i $(x_n, f(x_n))$ har likning:
$y - f(x_n) = f'(x_n)(x - x_n)$

Vi finner hvor tangenten krysser $x$ -aksen ( $y = 0$ ):
$0 - f(x_n) = f'(x_n)(x - x_n)$
$x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Dette gir oss $x_{n+1}$ .

✏️Eksempel 1: Finne kvadratroten av 2

Bruk Newtons metode til å finne $\sqrt{2}$ ved å løse $x^2 - 2 = 0$ .

Sett opp:
-

f(x) = x^2 - 2

f'(x) = 2x

- Iterasjonsformel:

\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{x_n^2 + 2}{2x_n} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}

Startverdi: $x_0 = 1$

Iterasjoner:

$n$	$x_n$
0	1
1	$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{1} = 1{,}5$
2	$\displaystyle \frac{1{,}5}{2} + \frac{1}{1{,}5} = 1{,}4167$
3	$1{,}4142$

Svar:

\sqrt{2} \approx 1{,}4142

(etter bare 3 iterasjoner!)

✏️Eksempel 2: Løse en transcendent ligning

Finn en løsning av $\cos x = x$ med Newtons metode.

Omform til nullpunktsproblem:

f(x) = \cos x - x = 0

Derivert:
$f'(x) = -\sin x - 1$

Iterasjonsformel:
$x_{n+1} = x_n - \frac{\cos x_n - x_n}{-\sin x_n - 1}$

Startverdi: $x_0 = 0{,}5$ (fra grafisk inspeksjon)

Iterasjoner:

$n$	$x_n$	$f(x_n)$
0	0,5	0,378
1	0,7552	0,0235
2	0,7391	0,00005

Svar:

x \approx 0{,}7391

er løsningen av

\cos x = x

Konvergens og problemer

f'(x) \neq 0

📝Oppgave 1

Bruk Newtons metode med 3 iterasjoner.

Finn $\sqrt{5}$ ved å løse $x^2 - 5 = 0$ med $x_0 = 2$ .

Finn $\sqrt[3]{10}$ ved å løse $x^3 - 10 = 0$ med $x_0 = 2$ .

Løs $e^x = 3x$ med $x_0 = 2$ .

📝Oppgave 2

Ligningen $x^3 - 2x - 5 = 0$ har én reell løsning.

Vis at løsningen ligger mellom 2 og 3.

Bruk Newtons metode med $x_0 = 2$ til å finne løsningen med 4 desimalers nøyaktighet.

Løs oppgaven Tren

📊Utforsk Newtons metode grafisk

Se hvordan tangentlinjene konvergerer mot nullpunktet.

✏️Eksempel 3: Når Newtons metode feiler

Forsøk å løse $x^{1/3} = 0$ (kubikkrot) med Newtons metode. Bruk $x_0 = 1$ .

Sett opp:
-

f(x) = x^{1/3}

\displaystyle f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}

Iterasjonsformel:
$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^{1/3}}{\frac{1}{3}x_n^{-2/3}} = x_n - \frac{x_n^{1/3} \cdot 3x_n^{2/3}}{1} = x_n - 3x_n = -2x_n$

Iterasjoner:

$n$	$x_n$
0	$1$
1	$-2$
2	$4$
3	$-8$
4	$16$

Iteratene

1, -2, 4, -8, 16, \ldots

divergerer — verdiene vokser og spretter mellom positiv og negativ.
Hvorfor feiler metoden?
Nullpunktet er

x = 0

, men der er

\displaystyle f'(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^{-2/3} \to \infty

. Den deriverte er ubegrenset nær nullpunktet, og tangentlinjene peker lenger og lenger bort. Newtons metode konvergerer ikke.

Når skal vi stoppe iterasjonene?

I praksis bruker vi et stoppkriterium for å avgjøre når vi har god nok tilnærming:

1. Endring mellom iterasjoner: $|x_{n+1} - x_n| < \text{toleranse}$ (f.eks. $10^{-6}$ )
2. Funksjonsverdi nær null: $|f(x_n)| < \text{toleranse}$

Vanligvis er 5–10 iterasjoner nok til å oppnå mer enn 10 desimalers nøyaktighet, takket være den kvadratiske konvergensen.

Sammenligning: Newtons metode vs. halveringsmetoden

Newtons metode	Halveringsmetoden
Hastighet	Kvadratisk konvergens (rask)	Lineær konvergens (langsom)
Krav	$f'(x)$ , god startverdi	Bare et fortegnskifte: $f(a) \cdot f(b) < 0$
Pålitelighet	Kan divergere	Fungerer alltid når vi har fortegnskifte

I praksis: Bruk halveringsmetoden først for å finne et grovt estimat, og deretter Newtons metode for å finpusse svaret raskt.

📝Oppgave 3

Anvend Newtons metode på ulike problemer.

Finn nullpunktet til $f(x) = x - \cos x$ med $x_0 = 1$ . Utfør 3 iterasjoner.

Ligningen $\ln x = 5 - x$ har en løsning nær $x = 4$ . Bruk Newtons metode til å finne den.

Forklar hvorfor $x_0 = 0$ er en dårlig startverdi for å løse $f(x) = x^2 - 1 = 0$ med Newtons metode.

📝Oppgave 4

Skriv en algoritme (pseudokode eller Python) for Newtons metode.

Skriv en funksjon newton(f, f_derivert, x0, toleranse, maks_iter) som returnerer et tilnærmet nullpunkt. Funksjonen skal iterere til $|f(x_n)| < \text{toleranse}$ eller maks antall iterasjoner er nådd.

Test algoritmen på $f(x) = x^3 - 2$ for å finne $\sqrt[3]{2}$ . Hvor mange iterasjoner trengs for 10 desimalers nøyaktighet?

Oppsummering

Newtons metode:
$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Fremgangsmåte:
1. Omform ligningen til $f(x) = 0$
2. Finn $f'(x)$
3. Velg en god startverdi $x_0$
4. Iterer til ønsket nøyaktighet

Fordeler:
- Rask konvergens (dobler presisjon per steg)
- Fungerer for de fleste funksjoner

Ulemper:
- Krever god startverdi
- Krever at $f'(x) \neq 0$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.