3.4 L'Hôpitals regel | Matematikk R1

Beregne grenseverdier av ubestemte former som 0/0 og ∞/∞.

50 min

9 oppgaver

L'Hôpitals regelUbestemte former0/0∞/∞Gjentatt anvendelse

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Grenseverdi 3.3Derivasjonens definisjon

L'Hôpitals regel er et lovlig verktøy på R1-eksamen. Sensorveiledningene for R1 (høst 2024, vår 2025 og vår 2026) gir full uttelling når du viser at kravet for å bruke regelen er oppfylt: innsettingen gir

\displaystyle \frac{0}{0}

eller

\displaystyle \frac{\infty}{\infty}

. Skriv derfor alltid den sjekken før du deriverer teller og nevner. Flere av eksemplene bruker

\sin x

\cos x

, som hører til R2. Kapitlet bruker dessuten derivasjonsreglene fra kapittel 4 (

(e^x)' = e^x

\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}

, produktregelen og kjerneregelen). Les det gjerne etter delkapittel 4.4.

Grenseverdier av typen $\displaystyle \frac{0}{0}$ kan også bestemmes ved å faktorisere og forkorte, for eksempel
$\begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} &= \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \\ &= \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \end{aligned}$
og grenseverdier når $x \to \infty$ ved å dele teller og nevner på den høyeste potensen av $x$ . Se delkapittel 3.1.

Ubestemte former

Når vi skal beregne grenseverdier, møter vi noen ganger ubestemte former – uttrykk der vanlige regneregler ikke gir oss svaret direkte.

De vanligste ubestemte formene:
- $\displaystyle \frac{0}{0}$ – både teller og nevner går mot 0
- $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ – både teller og nevner går mot uendelig

Eksempel på ubestemt form:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$

Når $x \to 0$ : Teller $\sin x \to 0$ og nevner $x \to 0$ . Vi får $\displaystyle \frac{0}{0}$ , som er ubestemt.

L'Hôpitals regel gir oss et kraftig verktøy for å løse slike grenseverdier.

L'Hôpitals regel

\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}

✏️Eksempel 1: Grenseverdien av

\displaystyle \frac{\sin x}{x}

Bestem $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ ved hjelp av en verditabell.

Teller og nevner går mot $0$ , så formen er $\displaystyle \frac{0}{0}$ .

L'Hôpitals regel kan ikke brukes her: formelen $(\sin x)' = \cos x$ blir bevist nettopp ved hjelp av denne grenseverdien. Grenseverdien er utgangspunktet for derivasjonen av $\sin x$ , ikke et resultat av den.

Verditabell ( $x$ i radianer, $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ er lik for $x$ og $-x$ ):

$x$	$\displaystyle \frac{\sin x}{x}$
$0{,}5$	$0{,}958851$
$0{,}1$	$0{,}998334$
$0{,}01$	$0{,}999983$
$0{,}001$	$0{,}999999\ldots$

Geometrisk kan en vise at

\displaystyle \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1

for små

x \neq 0

. Siden

\cos x \to 1

, blir

\displaystyle \frac{\sin x}{x}

klemt mellom to uttrykk som begge går mot

1

.
Svar:

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

✏️Eksempel 2: Eksponentialfunksjon

Beregn $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

Sjekk ubestemt form:
- Teller:

e^0 - 1 = 0

- Nevner:

0

- Form:

\displaystyle \frac{0}{0}

✓

Bruk L'Hôpitals regel:
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x - 1)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1$

Svar: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

✏️Eksempel 3: Uendelig/uendelig

Beregn $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$

Sjekk ubestemt form:
- Teller:

x^2 \to \infty

- Nevner:

e^x \to \infty

- Form:

\displaystyle \frac{\infty}{\infty}

✓

Første anvendelse av L'Hôpitals regel:
$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$

Fortsatt $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ , så vi bruker regelen igjen:

Andre anvendelse:
$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$

Svar: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$

Tolkning: Eksponentialfunksjonen vokser raskere enn ethvert polynom.

✏️Eksempel 4: Logaritme

Beregn $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$

Sjekk ubestemt form:
- Teller:

\ln x \to \infty

- Nevner:

x \to \infty

- Form:

\displaystyle \frac{\infty}{\infty}

✓

Bruk L'Hôpitals regel:
$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

Svar: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$

Tolkning: Logaritmen vokser langsommere enn lineære funksjoner.

Viktige advarsler

\displaystyle \frac{0}{0}

📝Oppgave 1

Bruk L'Hôpitals regel til å beregne følgende grenseverdier.

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Beregn grenseverdiene.

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^x}

\lim_{x \to 0^+} x \ln x

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}

Løs oppgaven

I tillegg til

\displaystyle \frac{0}{0}

\displaystyle \frac{\infty}{\infty}

finnes det flere ubestemte former. Disse kan alltid omskrives slik at L'Hôpitals regel kan brukes.

Oversikt over andre ubestemte former:

Form	Omskriving
$0 \cdot \infty$	Skriv $\displaystyle f \cdot g = \frac{f}{1/g}$ eller $\displaystyle \frac{g}{1/f}$ for å få $\displaystyle \frac{0}{0}$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$
$\infty - \infty$	Kombiner til én brøk, f.eks. $\displaystyle \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$
$0^0$	Skriv $f^g = e^{g \ln f}$ og finn grenseverdien til eksponenten
$1^\infty$	Skriv $f^g = e^{g \ln f}$ og finn grenseverdien til eksponenten
$\infty^0$	Skriv $f^g = e^{g \ln f}$ og finn grenseverdien til eksponenten

Fellesoppskrift for eksponentielle former ( $0^0$ , $1^\infty$ , $\infty^0$ ):
Hvis vi skal finne

\lim f(x)^{g(x)}

, skriver vi:

f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}

Deretter finner vi

\lim g(x) \ln f(x)

, som ofte er en

0 \cdot \infty

-form vi kan omskrive til en brøk.

✏️Eksempel 5: Formen

0 \cdot \infty

Beregn $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x$

Sjekk form:
-

x^2 \to 0

når

x \to 0^+

\ln x \to -\infty

når

x \to 0^+

- Form:

0 \cdot \infty

– ubestemt!

Omskriv til brøk:
Vi skriver $\displaystyle x^2 \ln x = \frac{\ln x}{1/x^2} = \frac{\ln x}{x^{-2}}$

Nå har vi:
- Teller: $\ln x \to -\infty$
- Nevner: $x^{-2} \to \infty$
- Form: $\displaystyle \frac{-\infty}{\infty}$ ✓

Bruk L'Hôpitals regel:
$\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x^{-2}} &= \lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)'}{(x^{-2})'} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-2x^{-3}} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{x^3}{-2x} \\ &= \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{-2} = 0 \end{aligned}$

Svar: $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x = 0$

✏️Eksempel 6: Formen

\infty - \infty

Beregn $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}\right)$

Sjekk form:
-

\displaystyle \frac{1}{\sin x} \to \pm\infty

når

x \to 0

\displaystyle \frac{1}{x} \to \pm\infty

når

x \to 0

- Form:

\infty - \infty

– ubestemt!

Omskriv til én brøk:
$\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x - \sin x}{x \sin x}$

Nå sjekker vi den nye formen:
- Teller: $x - \sin x \to 0 - 0 = 0$
- Nevner: $x \sin x \to 0 \cdot 0 = 0$
- Form: $\displaystyle \frac{0}{0}$ ✓

Bruk L'Hôpitals regel:
$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x}$

Sjekk: Teller $1 - \cos 0 = 0$ , nevner $\sin 0 + 0 \cdot \cos 0 = 0$ . Fortsatt $\displaystyle \frac{0}{0}$ , bruk regelen igjen:

$\begin{aligned} &\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} \\ = {}&\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2\cos x - x \sin x} \\ = {}&\frac{0}{2 - 0} = 0 \end{aligned}$

Svar: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}\right) = 0$

📝Oppgave 3

Beregn grenseverdiene. Omskriv til en brøk der det er nødvendig.

\lim_{x \to \infty} x \cdot e^{-x}

\displaystyle \lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x-1}\right)

\lim_{x \to 0^+} x^x

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Vanskeligere grenseverdier med L'Hôpitals regel.

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sin x}

Vis at $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0$ for alle positive heltall $n$ (bruk L'Hôpitals regel $n$ ganger).

Løs oppgaven

Oppsummering

L'Hôpitals regel:
Hvis $\displaystyle \lim \frac{f(x)}{g(x)}$ gir $\displaystyle \frac{0}{0}$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ :
$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Fremgangsmåte:
1. Sjekk at du har ubestemt form
2. Deriver teller og nevner hver for seg
3. Beregn den nye grenseverdien
4. Gjenta om nødvendig

Veksthastighet:
$\ln x \ll x^a \ll e^x \quad \text{for alle } a > 0$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.