3.4 L'Hôpitals regel

Markien som kjøpte et teorem

I 1696 utga den franske markien Guillaume de l'Hôpital verdens første lærebok i differensialregning. I den sto en regel for grenseverdier som skulle bære navnet hans inn i evigheten. Det pussige er at regelen slett ikke var hans: markien betalte den sveitsiske matematikeren Johann Bernoulli en fast årslønn mot å få bruke oppdagelsene hans -- og Bernoulli klaget bittert etterpå, men kontrakten var klar. Historiens kanskje mest vellykkede teoremkjøp.

Hva var det markien fikk for pengene? Et verktøy for nettopp det problemet du kjenner fra kapittel 3.1: ubestemte former. Når innsetting gir $\displaystyle \frac{0}{0}$, kappes teller og nevner mot null, og svaret avhenger av hvem som taper kappløpet. Faktorisering og konjugering løste de algebraiske tilfellene -- men hva med $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$? Her er det ingenting å faktorisere. Sinus er ikke et polynom, og konjugattrikset biter ikke på trigonometri.

Bernoullis innsikt var like enkel som den er dyp: når to funksjoner kappes mot null, er det farten deres som avgjør -- og fart, det er nettopp hva den deriverte måler. I stedet for å sammenligne $f$ og $g$ der begge forsvinner, sammenligner vi $f'$ og $g'$.

I dette kapittelet lærer du regelen og vilkårene for den, bruker den på formene $\displaystyle \frac{0}{0}$ og $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$, avdekker veksthierarkiet mellom logaritmer, potenser og eksponentialfunksjoner -- og lærer omskrivingstriksene som temmer de øvrige ubestemte formene $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$ og $\infty^0$.

Regelen -- og formen $\displaystyle \frac{0}{0}$

Her er teoremet markien betalte for. Hvis $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ gir en ubestemt form $\displaystyle \frac{0}{0}$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$, og hvis $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ eksisterer, så er

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Regelen gjelder også når $x \to \pm\infty$. Og merk deg presiseringen som redder deg fra den vanligste feilen: vi deriverer teller og nevner hver for seg. Dette er ikke brøkregelen for derivasjon -- vi deriverer ikke brøken, vi bytter ut begge deltakerne i kappløpet med fartsmålerne deres.

Hvorfor virker det? Nær $a$ oppfører en deriverbar funksjon seg som tangenten sin: $f(x) \approx f'(a)(x - a)$ når $f(a) = 0$, og tilsvarende for $g$. Da er $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} \approx \frac{f'(a)(x-a)}{g'(a)(x-a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$ -- forholdet mellom stigningstallene er alt som står igjen.

Se den i aksjon på klassikeren. For $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ gir innsetting $\displaystyle \frac{0}{0}$, så vi deriverer oppe og nede:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$$

Ett steg, og en grenseverdi som plaget matematikere i århundrer, faller. Samme behandling tar $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$: formen er $\displaystyle \frac{0}{0}$, deriverte gir $\displaystyle \frac{e^x}{1}$, og innsetting gir $e^0 = 1$. Begge resultatene er fundamentale -- de sier at $\sin x$ og $e^x - 1$ oppfører seg som $x$ selv helt inntil null, og du møter dem igjen både i fysikk og i senere matematikk.

$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ -- kappløpet mot uendelig

Regelen håndterer også det motsatte kappløpet: begge funksjonene stikker av mot uendelig, og spørsmålet er hvem som vokser raskest. Ta $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$. Både teller og nevner eksploderer, formen er $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$, og vi deriverer:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$$

Fortsatt $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$! Det er helt lov -- så lenge formen er ubestemt, kan regelen brukes om igjen:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$$

Polynomet tapte. To derivasjoner sleip all kraft ut av $x^2$, mens $e^x$ er uforstyrrelig -- den er sin egen deriverte. Det samme skjer med $x^{100}$: hundre derivasjoner senere står en konstant mot $e^x$. Eksponentialfunksjonen slår ethvert polynom i det lange løp.

I den andre enden av skalaen finner vi logaritmen. For $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ gir én derivasjon $\displaystyle \lim \frac{1/x}{1} = 0$: logaritmen taper til og med mot den enkle lineære funksjonen. Til sammen gir dette veksthierarkiet, ett av de nyttigste faktaene i hele analysen:

$$\ln x \ll x^a \ll e^x \quad \text{for alle } a > 0$$

Logaritmer vokser tregest, potenser i midten, eksponentialfunksjoner suverent raskest. Informatikere lever etter dette hierarkiet når de sammenligner algoritmer: en $\ln n$-algoritme er en drøm, en $e^n$-algoritme en katastrofe. Og når du i et grensespørsmål ser to av disse klassene mot hverandre, vet du allerede hvem som vinner -- L'Hôpital leverer bare kvitteringen.

Advarsler -- og de forkledde formene

Et kraftig verktøy krever vett i bruken. Den største fellen: å bruke regelen der formen ikke er ubestemt. Ta $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x+1}{x+2}$ -- innsetting gir pent og pyntelig $\displaystyle \frac{1}{2}$. «L'Hôpitaler» du i vei likevel, får du $\displaystyle \frac{1}{1} = 1$, som er feil. Regelen er ingen snarvei for alle brøker; den er akuttbehandling for $\displaystyle \frac{0}{0}$ og $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$, ingenting annet. Husk også at $\displaystyle \lim \frac{f'}{g'}$ faktisk må eksistere, og at gamle venner ofte er raskere: $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}$ kan L'Hôpitales, men faktorisering gir $x + 1 \to 2$ på ett øyeblikk.

Så til de forkledde formene -- ubestemtheter som ikke ser ut som brøker, men kan omskrives til det. Formen $0 \cdot \infty$ møter du i $\lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x$: faktoren $x^2$ sikter mot null, $\ln x$ mot $-\infty$. Trikset er å flytte den ene faktoren ned i nevneren: $\displaystyle x^2 \ln x = \frac{\ln x}{x^{-2}}$, som har formen $\displaystyle \frac{-\infty}{\infty}$. L'Hôpital gir $\displaystyle \frac{1/x}{-2x^{-3}} = -\frac{x^2}{2} \to 0$. Potensen knuste logaritmen -- hierarkiet igjen.

Formen $\infty - \infty$ krever fellesnevner. I $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}\right)$ drar begge leddene mot uendelig, men samlet på én brøk, $\displaystyle \frac{x - \sin x}{x \sin x}$, blir formen $\displaystyle \frac{0}{0}$, og to runder L'Hôpital gir $0$.

Og potensformene $0^0$, $1^\infty$ og $\infty^0$? Alle åpnes med samme nøkkel: skriv $f^g = e^{g \ln f}$ og finn grensen av eksponenten $g \ln f$ -- som typisk er en $0 \cdot \infty$-form du nå kan håndtere. Strategien er alltid den samme: omskriv til en brøk, sjekk at formen er ubestemt, og slipp regelen løs.

Fortellingen i et nøtteskall

Markien kjøpte, Bernoulli leverte, og du har nå verktøyet: når $\displaystyle \lim \frac{f(x)}{g(x)}$ gir en ubestemt form $\displaystyle \frac{0}{0}$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$, og grensen av $\displaystyle \frac{f'(x)}{g'(x)}$ eksisterer, er de to grensene like. Teller og nevner deriveres hver for seg -- vi bytter kappløpsdeltakerne med fartsmålerne deres -- og er den nye formen fortsatt ubestemt, gjentar vi behandlingen.

Slik falt klassikerne: $\displaystyle \frac{\sin x}{x} \to 1$ og $\displaystyle \frac{e^x - 1}{x} \to 1$ i null, $\displaystyle \frac{x^2}{e^x} \to 0$ og $\displaystyle \frac{\ln x}{x} \to 0$ i uendelig. De to siste kondenserte til veksthierarkiet $\ln x \ll x^a \ll e^x$: logaritmen tregest, eksponentialfunksjonen suverent raskest, og ethvert grensespørsmål mellom klassene er avgjort på forhånd.

Men regelen har vilkår. Den gjelder kun ubestemte former -- på en snill brøk som $\displaystyle \frac{x+1}{x+2}$ gir den feil svar -- og noen ganger er faktorisering fortsatt raskere. De forkledde formene krever omskriving først: $0 \cdot \infty$ flyttes til brøk ved å sende en faktor i nevneren, $\infty - \infty$ samles på fellesnevner, og potensformene $0^0$, $1^\infty$ og $\infty^0$ åpnes med $f^g = e^{g \ln f}$.

Oppskriften er alltid den samme: sjekk formen, omskriv om nødvendig, deriver oppe og nede, gjenta ved behov. I neste kapittel snur vi perspektivet -- fra grenseverdier vi beregner eksakt, til ligninger vi må løse numerisk, med tangenten som veiviser.