5.2 Derivasjonsregler | Matematikk for økonomer

Potensregelen, sumregelen, produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen.

60 min

22 oppgaver

PotensregelenSumregelenProduktregelenKvotientregelenKjerneregelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 22 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Brukes videre i

5.3Derivasjon av spesielle funksjoner 5.4Funksjonsdrøfting 5.6Implisitt derivasjon 6.3Grensekostnad og grenseinntekt 6.4Etterspørsel og priselastisitet 7.2Partielle deriverte 8.1Antiderivert og ubestemt integral

I staden for å bruke definisjonen kvar gong, brukar vi derivasjonsreglar som gjer arbeidet mykje enklare. Desse reglane er utleidde frå definisjonen.

Potensregelen

f(x) = x^n

Konstantregelen

f(x) = c

Sumregelen

f(x) = g(x) + h(x)

✏️Derivere polynom

Deriver $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7$ .

Vi brukar potensregelen, konstantregelen og sumregelen:

$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 5 \cdot 2x + 2 \cdot 1 - 0 = 12x^3 - 10x + 2$

Produktregelen

f(x) = g(x) \cdot h(x)

✏️Produktregelen

Deriver $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$ .

La $g(x) = 2x+1$ og $h(x) = x^2-3$ .

$g'(x) = 2$ og $h'(x) = 2x$

$f'(x) = 2 \cdot (x^2-3) + (2x+1) \cdot 2x$
$= 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$

Kvotientregelen

\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

✏️Gjennomsnittskostnad

Kostnadsfunksjonen er $K(x) = x^2 + 100x + 2000$ . Gjennomsnittskostnaden er $\displaystyle \bar{K}(x) = \frac{K(x)}{x}$ . Finn $\bar{K}'(x)$ .

\displaystyle \bar{K}(x) = \frac{x^2 + 100x + 2000}{x}

Med kvotientregelen der $g(x) = x^2 + 100x + 2000$ og $h(x) = x$ :

$\displaystyle \bar{K}'(x) = \frac{(2x + 100) \cdot x - (x^2 + 100x + 2000) \cdot 1}{x^2}$

$\displaystyle = \frac{2x^2 + 100x - x^2 - 100x - 2000}{x^2} = \frac{x^2 - 2000}{x^2} = 1 - \frac{2000}{x^2}$

Kjerneregelen

f(x) = g(u(x))

✏️Kjerneregelen

Deriver $f(x) = (3x^2 + 1)^5$ .

Kjernen er $u = 3x^2 + 1$ og ytre funksjon er $g(u) = u^5$ .

$g'(u) = 5u^4$ og $u'(x) = 6x$

$f'(x) = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonane:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1

\displaystyle g(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}

h(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Bruk produktregelen:

f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)

g(x) = x^3(2x + 5)

📝Oppgave 3

Bruk kvotientregelen:

\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x+1}

\displaystyle g(x) = \frac{2x+3}{x-1}

📝Oppgave 4

Bruk kjerneregelen:

f(x) = (2x-1)^4

g(x) = \sqrt{x^2 + 4}

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Desse oppgåvene testar forståinga di av kapittelet.

Finn feilen. Ein student påstår at "den deriverte av eit produkt er produktet av dei deriverte", altså

(f \cdot g)' = f' \cdot g'

. Vis at dette er feil ved å bruke

f(x) = x

g(x) = x

. Kva blir rett svar med produktregelen, og kvifor er produktregelen nødvendig?

Forklar generaliseringa. Vis at potensregelen

(x^n)' = n x^{n-1}

er konsistent med spesialtilfella

n = 1

n = 2

. Kva seier regelen for kvart tilfelle, og kvifor stemmer det med det vi elles veit (til dømes frå produktregelen eller frå definisjonen)?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Derivasjonsreglar

Regel	Formel
Konstant	$(c)' = 0$
Potensregelen	$(x^n)' = n x^{n-1}$ for alle reelle $n$
Sumregelen	$(f + g)' = f' + g'$
Konstantmultiplum	$(cf)' = c f'$
Produktregelen	$(fg)' = f'g + fg'$
Kvotientregelen	$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
Kjerneregelen	$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Linearitet	$(af + bg)' = af' + bg'$

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Derivasjonsreglar: Erstattar definisjonen og gjer derivasjon enklare.
- Potensregelen: $(x^n)' = n x^{n-1}$ .
- Produkt- og kvotientregel: For deriverte av produkt og brøkar.
- Kjerneregelen: Deriver ytst, behald kjernen, gong med den deriverte av kjernen.

Viktige formlar

(x^n)' = n x^{n-1}, \qquad (c)' = 0

(fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Potensregelen	$(x^n)' = n x^{n-1}$
Produktregel	$(fg)' = f'g + fg'$
Kvotientregel	Derivert av ein brøk
Kjerneregel	Derivasjon av samansett funksjon

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.