5.6 Implisitt derivasjon

Derivasjon av kurver gitt på formen $F(x,y)=c$ og beregning av grensesubstitusjonsrate (MRS).

50 min

14 oppgaver

Implisitt derivasjonKjerneregelTangentligningMRSIsokvantIndifferenskurve

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Derivasjonsregler

Når $y$ ikke er gitt eksplisitt

Så langt har vi alltid hatt funksjoner på formen $y = f(x)$ — $y$ er gitt eksplisitt som en formel i $x$ . Men i økonomi og naturvitenskap dukker det ofte opp sammenhenger som ikke er løst opp:

- Sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ .
- Invers etterspørselskurve $xy = 100$ .
- Cobb-Douglas-isokvant $K^{0{,}5} L^{0{,}5} = 100$ .
- Indifferenskurve $U(x_1, x_2) = \bar{U}$ .

Slike sammenhenger gir $y$ implisitt som funksjon av $x$ . Vi kan ofte ikke (eller gidder ikke) løse for $y$ . Likevel vil vi gjerne vite hvordan $y$ endrer seg når $x$ endrer seg — altså $\dfrac{dy}{dx}$ .

Løsningen er implisitt derivasjon: vi deriverer begge sider av ligningen mhp. $x$ , behandler $y$ som en funksjon av $x$ , og løser for $\dfrac{dy}{dx}$ .

Implisitt derivasjon — fremgangsmåte

\dfrac{dy}{dx}

✏️Eksempel 1: Sirkelen

Finn $\dfrac{dy}{dx}$ for sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ .

Steg 1: Deriver begge sider mhp.

x

$\frac{d}{dx}[x^2 + y^2] = \frac{d}{dx}[25].$

Steg 2: Bruk kjerneregelen på $y^2$ :

$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0.$

Steg 3: Løs for $\dfrac{dy}{dx}$ :

$2y \frac{dy}{dx} = -2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$

Sjekk med eksplisitt formel: i øvre halvdel er $y = \sqrt{25 - x^2}$ , så $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{\sqrt{25 - x^2}} = -\dfrac{x}{y}$ . Samme svar.

Tolkning: I punktet $(3, 4)$ er stigningstallet til tangenten $-3/4$ .

Når vi deriverer

y^2

mhp.

x

, må vi huske at

y

selv er en funksjon av

x

. Slik som

\dfrac{d}{dx}[u^2] = 2u \cdot u'

for hvilken som helst

u(x)

, så er

$\frac{d}{dx}[y^2] = 2y \cdot \frac{dy}{dx}.$

Generelt:

- $\dfrac{d}{dx}[y^n] = n y^{n-1} \cdot \dfrac{dy}{dx}$
- $\dfrac{d}{dx}[\ln y] = \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx}$
- $\dfrac{d}{dx}[e^y] = e^y \cdot \dfrac{dy}{dx}$
- $\dfrac{d}{dx}[xy] = y + x \cdot \dfrac{dy}{dx}$ (produktregel)

Faktoren $\dfrac{dy}{dx}$ er det som skiller implisitt derivasjon fra vanlig derivasjon.

✏️Eksempel 2: Invers etterspørselskurve $xy = 100$

Anta at et marked har sammenhengen $xy = 100$ mellom pris $x$ og solgt mengde $y$ . Finn $\dfrac{dy}{dx}$ ved hjelp av implisitt derivasjon, og verifiser med direkte derivasjon.

Implisitt derivasjon. Bruk produktregelen på venstresiden:

$\frac{d}{dx}[xy] = \frac{d}{dx}[100].$

$1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = 0.$

$x \frac{dy}{dx} = -y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.$

Verifisering ved direkte derivasjon. Vi løser for $y$ : $y = 100/x = 100 x^{-1}$ . Da er

$\frac{dy}{dx} = -100 x^{-2} = -\frac{100}{x^2}.$

Siden $100 = xy$ , kan vi skrive $-\dfrac{100}{x^2} = -\dfrac{xy}{x^2} = -\dfrac{y}{x}$ . Samme svar.

Tolkning: Hvis prisen øker med 1 krone, faller solgt mengde med $y/x$ enheter ved nåværende punkt. Forholdet $y/x$ er omvendt proporsjonalt med pris.

✏️Eksempel 3: Cobb-Douglas-isokvant

En produksjonsfunksjon er gitt ved

Q = K^{0{,}5} L^{0{,}5}

, der

K

er kapital og

L

er arbeidskraft. Alle kombinasjoner

(K, L)

som gir samme produksjon

Q = 100

ligger på isokvanten

$K^{0{,}5} L^{0{,}5} = 100.$

Finn $\dfrac{dL}{dK}$ på isokvanten.

Vi deriverer begge sider mhp.

K

og bruker produkt- og kjerneregelen.

$\frac{d}{dK}[K^{0{,}5} L^{0{,}5}] = \frac{d}{dK}[100].$

Produktregel: derivér første ganger andre + første ganger derivert av andre.

$0{,}5 K^{-0{,}5} \cdot L^{0{,}5} + K^{0{,}5} \cdot 0{,}5 L^{-0{,}5} \cdot \frac{dL}{dK} = 0.$

Løs for $\dfrac{dL}{dK}$ :

$K^{0{,}5} \cdot 0{,}5 L^{-0{,}5} \cdot \frac{dL}{dK} = -0{,}5 K^{-0{,}5} L^{0{,}5}.$

$\frac{dL}{dK} = -\frac{0{,}5 K^{-0{,}5} L^{0{,}5}}{0{,}5 K^{0{,}5} L^{-0{,}5}} = -\frac{L^{0{,}5} L^{0{,}5}}{K^{0{,}5} K^{0{,}5}} = -\frac{L}{K}.$

Tolkning: I punktet $(K, L) = (100, 100)$ er $\dfrac{dL}{dK} = -1$ — for å holde produksjonen konstant må vi redusere arbeid med 1 enhet for hver enhet økning i kapital. I punktet $(K, L) = (25, 400)$ er $\dfrac{dL}{dK} = -16$ — vi må gi opp 16 arbeidere for én enhet kapital.

Grensesubstitusjonsrate (MRS)

F(x_1, x_2) = c

✏️Eksempel 4: MRS for nyttefunksjon

En konsument har nyttefunksjonen $U(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2^2$ . Beregn MRS langs indifferenskurven $U = 32$ i punktet $(x_1, x_2) = (2, 4)$ .

Steg 1: Vi har ligningen

x_1 \cdot x_2^2 = 32

. Deriver mhp.

x_1

$\frac{d}{dx_1}[x_1 x_2^2] = 0.$

Steg 2: Produktregel — med kjerneregel for $x_2^2$ :

$1 \cdot x_2^2 + x_1 \cdot 2 x_2 \frac{dx_2}{dx_1} = 0.$

Steg 3: Løs for $\dfrac{dx_2}{dx_1}$ :

$2 x_1 x_2 \frac{dx_2}{dx_1} = -x_2^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{x_2^2}{2 x_1 x_2} = -\frac{x_2}{2 x_1}.$

Steg 4: MRS er det motsatte:

$\text{MRS} = \frac{x_2}{2 x_1}.$

I punktet $(2, 4)$ : $\text{MRS} = 4/(2 \cdot 2) = 1$ .

Tolkning: Konsumenten er villig til å gi opp 1 enhet av $x_2$ for 1 enhet ekstra av $x_1$ i punktet $(2, 4)$ . Lenger ute langs kurven, der $x_2$ er mindre i forhold til $x_1$ , vil MRS være mindre — typisk avtakende grensesubstitusjonsrate.

Hvis du noterer de partielle deriverte av

F(x, y) = c

som

F_x = \partial F/\partial x

F_y = \partial F/\partial y

(kapittel 7), så kan implisitt derivasjon kortes ned til

$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}.$

Denne formelen er svært nyttig i flerdimensjonell analyse og kommer ofte til syne i økonomisk teori. For å bruke den uten å gå inn på partielle deriverte, tenker du slik:

- $F_x$ = deriver $F$ med hensyn på $x$ som om $y$ var konstant.
- $F_y$ = deriver $F$ med hensyn på $y$ som om $x$ var konstant.

Sjekk: for $F(x,y) = x^2 + y^2$ er $F_x = 2x$ og $F_y = 2y$ , så $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2x}{2y} = -\dfrac{x}{y}$ . Stemmer.

✏️Eksempel 5: Bruk av $-F_x/F_y$

Bruk formelen

\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{F_x}{F_y}

for å derivere

$F(x,y) = x^3 + 3xy + y^2 = 11.$

Partielle deriverte:

- $F_x$ = deriver mhp. $x$ , holder $y$ konstant: $F_x = 3x^2 + 3y$ .
- $F_y$ = deriver mhp. $y$ , holder $x$ konstant: $F_y = 3x + 2y$ .

Resultat:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 3y}{3x + 2y}.$

Verifisering med direkte implisitt derivasjon:

$3x^2 + 3y + 3x \frac{dy}{dx} + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$(3x + 2y) \frac{dy}{dx} = -(3x^2 + 3y)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 + 3y}{3x + 2y}.$

Samme svar — men formelen $-F_x/F_y$ er raskere når du har øvelse.

✏️Eksempel 6: Tangent til kurve

Finn ligningen for tangenten til kurven $x^2 + xy + y^2 = 7$ i punktet $(1, 2)$ .

Steg 1: Sjekk at punktet ligger på kurven.

$1^2 + 1 \cdot 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7. \quad \text{OK}$

Steg 2: Deriver implisitt.

$2x + (y + x \frac{dy}{dx}) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$

$2x + y + (x + 2y) \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}.$

Steg 3: Stigningstall i $(1, 2)$ .

$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,2)} = -\frac{2 + 2}{1 + 4} = -\frac{4}{5}.$

Steg 4: Tangentligning ved hjelp av punkt-stigningstall-form.

$y - 2 = -\frac{4}{5}(x - 1)$

$y = -\frac{4}{5} x + \frac{4}{5} + 2 = -\frac{4}{5} x + \frac{14}{5}.$

Tangenten har ligning $y = -\dfrac{4}{5} x + \dfrac{14}{5}$ .

Vanlig feil: glemmer kjerneregelen

Den vanligste feilen er å derivere $y$ -ledd som om $y$ var en konstant. For eksempel:

Feil: $\dfrac{d}{dx}[y^3] = 3y^2$
Riktig: $\dfrac{d}{dx}[y^3] = 3y^2 \cdot \dfrac{dy}{dx}$

Kjerneregelen krever at vi multipliserer med den deriverte av kjernen — som her er $y$ , som selv er en funksjon av $x$ . Glem aldri faktoren $\dfrac{dy}{dx}$ .

✏️Eksempel 7: Logaritmisk nytte

En konsument har nyttefunksjonen $U(x_1, x_2) = \ln x_1 + 2 \ln x_2$ . Finn MRS langs indifferenskurven $U = c$ .

Vi har

\ln x_1 + 2 \ln x_2 = c

. Deriver begge sider mhp.

x_1

$\frac{1}{x_1} + 2 \cdot \frac{1}{x_2} \cdot \frac{dx_2}{dx_1} = 0.$

Løs for $\dfrac{dx_2}{dx_1}$ :

$\frac{2}{x_2} \frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{1}{x_1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx_2}{dx_1} = -\frac{x_2}{2 x_1}.$

Dermed

$\text{MRS} = \frac{x_2}{2 x_1}.$

MRS avtar når $x_1$ øker (langs en indifferenskurve avtar $x_2$ mens $x_1$ øker, så telleren minker og nevneren vokser). Dette er avtakende grensesubstitusjonsrate — et standardresultat for «pene» nyttefunksjoner.

📝Oppgave 1

Finn $\dfrac{dy}{dx}$ ved implisitt derivasjon

x^2 + y^2 = 16

x^2 - y^2 = 4

3x + 5y = 20

x + y^3 = 8

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Implisitt derivasjon med produktregelen

xy = 50

x^2 y = 30

x y^2 = 12

x^2 + xy + y^2 = 10

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Stigningstall i et bestemt punkt

x^2 + y^2 = 25

i punktet

(3, 4)

xy = 8

i punktet

(2, 4)

x^2 - 2xy + y^2 = 1

i punktet

(0, 1)

x^3 + y^3 = 9

i punktet

(1, 2)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Cobb-Douglas-isokvanter

For $Q = K^{0{,}4} L^{0{,}6}$ og en isokvant $K^{0{,}4} L^{0{,}6} = 50$ , finn $\dfrac{dL}{dK}$ .

For $Q = K^{0{,}5} L^{0{,}5} = 100$ i punktet $(K, L) = (50, 200)$ , hva er MRS (-dL/dK)?

For $Q = K + 2L = 20$ , hva er $\dfrac{dL}{dK}$ ?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

MRS for nyttefunksjoner

U(x_1, x_2) = x_1 x_2

. Finn MRS som funksjon av

x_1, x_2

U(x_1, x_2) = x_1^2 x_2^3

. Finn MRS.

U(x_1, x_2) = \ln x_1 + \ln x_2

. Finn MRS i punktet

(3, 6)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Tangentligninger

Finn tangenten til $x^2 + y^2 = 10$ i punktet $(1, 3)$ .

Finn tangenten til $xy + y^2 = 6$ i punktet $(2, 1)$ .

Finn tangenten til $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ i punktet $(3/2, 3/2)$ (folium fra Descartes).

📝Oppgave 7

Anvendelse: invers etterspørsel og elastisitet

Etterspørselen er gitt implisitt ved $p^2 + 2pq = 100$ der $p$ er pris og $q$ er solgt mengde. Finn $\dfrac{dq}{dp}$ .

Beregn $\dfrac{dq}{dp}$ i punktet $(p, q) = (8, 2{,}25)$ . (Sjekk: $64 + 2 \cdot 8 \cdot 2{,}25 = 64 + 36 = 100$ . OK.)

Priselastisiteten er $E_p = \dfrac{p}{q} \cdot \dfrac{dq}{dp}$ . Beregn elastisiteten i punktet over.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Logaritmer og eksponentialer

\ln(xy) = 5

. Finn

\dfrac{dy}{dx}

e^{xy} = 7

. Finn

\dfrac{dy}{dx}

x^y = 8

(anta

x > 0

). Finn

\dfrac{dy}{dx}

Løs oppgaven Tren

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Implisitt derivasjon

Konsept	Formel
Kjerneregel for $y$ -ledd	$\displaystyle \frac{d}{dx}[g(y)] = g'(y) \cdot \frac{dy}{dx}$
Produkt med $y$	$\displaystyle \frac{d}{dx}[xy] = y + x \frac{dy}{dx}$
Kompakt formel (kapittel 7)	$\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$
MRS langs isokvant/indifferenskurve	$\displaystyle \text{MRS} = -\frac{dx_2}{dx_1}$
Cobb-Douglas $K^a L^b = c$	$\displaystyle \frac{dL}{dK} = -\frac{a L}{b K}$

Fremgangsmåte i 4 steg:
1. Deriver begge sider av

F(x,y) = c

mhp.

x

.
2. Bruk kjerneregelen på alle

y

-ledd — multipliser med

\displaystyle \frac{dy}{dx}

.
3. Samle

\displaystyle \frac{dy}{dx}

-ledd på én side, andre ledd på motsatt side.
4. Faktoriser ut

\displaystyle \frac{dy}{dx}

og løs ligningen.
Husk: Resultatet avhenger som regel av både

x

y

— det er forventet, ikke et problem.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Implisitt derivasjon: Brukes når $y$ ikke er gitt eksplisitt som funksjon av $x$ .
- Kjerneregelen for y-ledd: Husk at $y$ er en funksjon av $x$ .
- Fremgangsmåte: Deriver begge sider og løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .
- MRS: Grensesubstitusjonsraten finnes ved implisitt derivasjon av en indifferenskurve.

Viktige formler

\frac{d}{dx}[g(y)] = g'(y) \cdot \frac{dy}{dx}

\text{MRS} = -\frac{dx_2}{dx_1}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Implisitt derivasjon	Derivere når $y$ er implisitt
Kjerneregel	Brukes på $y$ -ledd
Indifferenskurve	Kurve med lik nytte
MRS	Grensesubstitusjonsrate

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

Når yyy ikke er gitt eksplisitt

Oppsummering

Viktige formler

Nøkkelbegreper

Når $y$ ikke er gitt eksplisitt