5.2 Derivasjonsregler | Matematikk for økonomer

Potensregelen, sumregelen, produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen.

60 min

22 oppgaver

PotensregelenSumregelenProduktregelenKvotientregelenKjerneregelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 22 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Brukes videre i

5.3Derivasjon av spesielle funksjoner 5.4Funksjonsdrøfting 5.6Implisitt derivasjon 6.3Grensekostnad og grenseinntekt 6.4Etterspørsel og priselastisitet 7.2Partielle deriverte 8.1Antiderivert og ubestemt integral

I stedet for å bruke definisjonen hver gang, bruker vi derivasjonsregler som gjør arbeidet mye enklere. Disse reglene er utledet fra definisjonen.

Potensregelen

f(x) = x^n

Konstantregelen

f(x) = c

Sumregelen

f(x) = g(x) + h(x)

✏️Derivere polynomer

Deriver $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7$ .

Vi bruker potensregelen, konstantregelen og sumregelen:

$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 5 \cdot 2x + 2 \cdot 1 - 0 = 12x^3 - 10x + 2$

Produktregelen

f(x) = g(x) \cdot h(x)

✏️Produktregelen

Deriver $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$ .

La $g(x) = 2x+1$ og $h(x) = x^2-3$ .

$g'(x) = 2$ og $h'(x) = 2x$

$f'(x) = 2 \cdot (x^2-3) + (2x+1) \cdot 2x$
$= 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$

Kvotientregelen

\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

✏️Gjennomsnittskostnad

Kostnadsfunksjonen er $K(x) = x^2 + 100x + 2000$ . Gjennomsnittskostnaden er $\displaystyle \bar{K}(x) = \frac{K(x)}{x}$ . Finn $\bar{K}'(x)$ .

\displaystyle \bar{K}(x) = \frac{x^2 + 100x + 2000}{x}

Med kvotientregelen der $g(x) = x^2 + 100x + 2000$ og $h(x) = x$ :

$\displaystyle \bar{K}'(x) = \frac{(2x + 100) \cdot x - (x^2 + 100x + 2000) \cdot 1}{x^2}$

$\displaystyle = \frac{2x^2 + 100x - x^2 - 100x - 2000}{x^2} = \frac{x^2 - 2000}{x^2} = 1 - \frac{2000}{x^2}$

Kjerneregelen

f(x) = g(u(x))

✏️Kjerneregelen

Deriver $f(x) = (3x^2 + 1)^5$ .

Kjernen er $u = 3x^2 + 1$ og ytre funksjon er $g(u) = u^5$ .

$g'(u) = 5u^4$ og $u'(x) = 6x$

$f'(x) = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1

\displaystyle g(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}

h(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Bruk produktregelen:

f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)

g(x) = x^3(2x + 5)

📝Oppgave 3

Bruk kvotientregelen:

\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x+1}

\displaystyle g(x) = \frac{2x+3}{x-1}

📝Oppgave 4

Bruk kjerneregelen:

f(x) = (2x-1)^4

g(x) = \sqrt{x^2 + 4}

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet.

Finn feilen. En student påstår at "den deriverte av et produkt er produktet av de deriverte", altså

(f \cdot g)' = f' \cdot g'

. Vis at dette er feil ved å bruke

f(x) = x

g(x) = x

. Hva blir riktig svar med produktregelen, og hvorfor er produktregelen nødvendig?

Forklar generaliseringen. Vis at potensregelen

(x^n)' = n x^{n-1}

er konsistent med spesialtilfellene

n = 1

n = 2

. Hva sier regelen for hvert tilfelle, og hvorfor stemmer det med det vi ellers vet (for eksempel fra produktregelen eller fra definisjonen)?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

📜Oppsummering: Derivasjonsregler

Regel	Formel
Konstant	$(c)' = 0$
Potensregelen	$(x^n)' = n x^{n-1}$ for alle reelle $n$
Sumregelen	$(f + g)' = f' + g'$
Konstantmultiplum	$(cf)' = c f'$
Produktregelen	$(fg)' = f'g + fg'$
Kvotientregelen	$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
Kjerneregelen	$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Linearitet	$(af + bg)' = af' + bg'$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Derivasjonsregler: Erstatter definisjonen og gjør derivasjon enklere.
- Potensregelen: $(x^n)' = n x^{n-1}$ .
- Produkt- og kvotientregel: For deriverte av produkter og brøker.
- Kjerneregelen: Deriver ytterst, behold kjernen, gang med kjernens deriverte.

Viktige formler

(x^n)' = n x^{n-1}, \qquad (c)' = 0

(fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Potensregelen	$(x^n)' = n x^{n-1}$
Produktregel	$(fg)' = f'g + fg'$
Kvotientregel	Derivert av en brøk
Kjerneregel	Derivasjon av sammensatt funksjon

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.