7.2 Partielle deriverte | Matematikk for økonomer

Førsteordens og andreordens partielle deriverte, Young's setning, og økonomiske anvendelser som marginalprodukt og grensenytte.

55 min

18 oppgaver

Partielle deriverteMarginalproduktGrensenytteAndreordens partielleYoung's setning

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Funksjoner av to variabler 5.2Derivasjonsregler

Brukes videre i

7.3Stasjonære punkter og andrederiverttest

Når en funksjon avhenger av flere variabler, vil vi ofte vite hvordan funksjonen endrer seg med tanke på én variabel mens de andre holdes konstante. Dette gir oss begrepet partiell derivasjon. For en produktfunksjon $Q(K, L)$ forteller den partielle deriverte oss hvor mye produksjonen øker når vi setter inn én ekstra enhet kapital, gitt at arbeidskraften er uendret. Vi får da grensekostnader, grensenytter, marginalprodukter og en rekke andre størrelser som styrer økonomiske beslutninger.

Partielle deriverte

f(x, y)

📜Regel for partiell derivasjon

For å finne $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ :
- Behandle $y$ som en konstant
- Deriver $f$ med vanlige derivasjonsregler med hensyn på $x$

Tilsvarende for $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ : behandle $x$ som konstant.

✏️Eksempel 1 — Enkle polynomer

Finn $f_x$ og $f_y$ for $f(x, y) = 3x^2 + 5xy - 2y^2 + 7$ .

Deriverer med hensyn på $x$ (behandler

y

som konstant):
-

3x^2 \to 6x

5xy \to 5y

(her er

5y

konstanten foran

x

)
-

-2y^2 \to 0

(rein konstant i

x

)
-

7 \to 0

$f_x = 6x + 5y$

Deriverer med hensyn på $y$ (behandler $x$ som konstant):
- $3x^2 \to 0$
- $5xy \to 5x$
- $-2y^2 \to -4y$
- $7 \to 0$

$f_y = 5x - 4y$

Tenk slik: Når du deriverer mhp

x

, lat som om

y

er tallet

5

. Da blir

5xy = 5 \cdot 5 \cdot x = 25x

med deriverte

25 = 5y

. Den deriverte mhp

y

får du tilsvarende ved å late som om

x

er fast.

📝Oppgave 1

Finn $f_x$ og $f_y$

f(x, y) = 4x + 7y

f(x, y) = x^2 + y^2

f(x, y) = xy

f(x, y) = 3x^2 y

f(x, y) = x^3 - 2xy + y^2

f(x, y) = 5x^2 y^3 + x - 4y

✏️Eksempel 2 — Cobb-Douglas

En bedrift har produktfunksjon $Q(K, L) = 10 K^{0{,}3} L^{0{,}7}$ . Finn $Q_K$ og $Q_L$ , og tolk svaret.

Deriverer mhp $K$ (behandler

L

som konstant):

Q_K = 10 \cdot 0{,}3 K^{0{,}3 - 1} L^{0{,}7} = 3 K^{-0{,}7} L^{0{,}7} = 3 \left(\frac{L}{K}\right)^{0{,}7}

Deriverer mhp $L$ (behandler $K$ som konstant):
$Q_L = 10 \cdot 0{,}7 K^{0{,}3} L^{0{,}7 - 1} = 7 K^{0{,}3} L^{-0{,}3} = 7 \left(\frac{K}{L}\right)^{0{,}3}$

Tolkning: $Q_K$ er marginalproduktet av kapital — hvor mye ekstra produksjon en ekstra enhet kapital gir, gitt at $L$ holdes konstant. Tilsvarende er $Q_L$ marginalproduktet av arbeidskraft.

Marginale begreper i økonomi

Q(K, L)

✏️Eksempel 3 — Grensekostnader

En bedrift produserer

x

enheter vare A og

y

enheter vare B. Kostnadsfunksjonen er

C(x, y) = 500 + 6x + 4y + 0{,}05 x^2 + 0{,}03 xy + 0{,}02 y^2.

a) Finn grensekostnadene $C_x$ og $C_y$ .
b) Beregn $C_x(100, 50)$ og tolk svaret.

a) Vi deriverer hvert ledd:

C_x = 6 + 0{,}1 x + 0{,}03 y

C_y = 4 + 0{,}03 x + 0{,}04 y

b) $C_x(100, 50) = 6 + 10 + 1{,}5 = 17{,}5$ kr.

Tolkning: Når bedriften allerede produserer 100 enheter av A og 50 enheter av B, koster det ca. 17,50 kr ekstra å produsere én enhet til av A. Merk at $C_x$ avhenger av både $x$ og $y$ — produksjonen av B påvirker grensekostnaden for A via interaksjonsleddet $0{,}03 xy$ .

📝Oppgave 2

Finn $f_x$ og $f_y$

f(x, y) = x^2 y + 3xy^2

f(x, y) = \dfrac{x}{y}

f(x, y) = (x + y)^2

f(x, y) = e^{x + 2y}

f(x, y) = \ln(x y)

f(x, y) = x \ln y

✏️Eksempel 4 — Grensenytte

En konsument har nyttefunksjon $U(x, y) = \sqrt{xy}$ . Finn $U_x$ og $U_y$ , og beregn grensenytten ved $(x, y) = (4, 9)$ .

Skriv

U(x, y) = (xy)^{1/2} = x^{1/2} y^{1/2}

$U_x = \tfrac{1}{2} x^{-1/2} y^{1/2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y}{x}}$
$U_y = \tfrac{1}{2} x^{1/2} y^{-1/2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x}{y}}$

Ved $(4, 9)$ :
$U_x(4, 9) = \tfrac{1}{2} \sqrt{9/4} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{2} = 0{,}75$
$U_y(4, 9) = \tfrac{1}{2} \sqrt{4/9} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}33$

Grensenytten av gode $x$ er større enn grensenytten av gode $y$ — konsumenten har relativt mer av $y$ enn av $x$ , og verdsetter en ekstra enhet $x$ mer.

📝Oppgave 3

En bedrift har produktfunksjon $Q(K, L) = 20 K^{0{,}5} L^{0{,}5}$ .

Finn $Q_K$ og $Q_L$ .

Beregn marginalproduktet av kapital ved $K = 25, L = 36$ .

Beregn marginalproduktet av arbeidskraft ved $K = 25, L = 36$ .

Tolk hva $Q_K = 12$ betyr.

Løs oppgaven Tren

De partielle deriverte $f_x$ og $f_y$ er selv funksjoner av $x$ og $y$ . Vi kan derfor derivere dem igjen. Det gir oss andreordens partielle deriverte. Disse er sentrale for å avgjøre om et stasjonært punkt er et maksimum, minimum eller sadelpunkt, og for å forstå om to goder er komplementære eller substitutter.

Andreordens partielle deriverte

f(x, y)

📜Youngs setning (symmetri av andreord)

Dersom

f_{xy}

f_{yx}

er kontinuerlige, så er de like:

f_{xy} = f_{yx}.

I praksis spiller det altså ingen rolle hvilken rekkefølge vi deriverer i.

✏️Eksempel 5 — Andreordens deriverte

Finn alle andreordens partielle deriverte av $f(x, y) = x^3 y^2 - 4xy + y^3$ .

Førsteordens:

f_x = 3 x^2 y^2 - 4y, \quad f_y = 2 x^3 y - 4x + 3 y^2

Andreordens:
- $f_{xx} = (3 x^2 y^2 - 4y)_x = 6 x y^2$
- $f_{yy} = (2 x^3 y - 4x + 3 y^2)_y = 2 x^3 + 6 y$
- $f_{xy} = (3 x^2 y^2 - 4y)_y = 6 x^2 y - 4$
- $f_{yx} = (2 x^3 y - 4x + 3 y^2)_x = 6 x^2 y - 4$

$f_{xy} = f_{yx}$ — Youngs setning er oppfylt.

📝Oppgave 4

Finn $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$ for

f(x, y) = x^2 + 3xy + y^2

f(x, y) = x^2 y

f(x, y) = e^{xy}

f(x, y) = x^2 y^3

✏️Eksempel 6 — Cobb-Douglas, andreord

For $Q(K, L) = A K^{\alpha} L^{\beta}$ , finn $Q_{KK}$ , $Q_{LL}$ og $Q_{KL}$ .

Førsteordens:

Q_K = \alpha A K^{\alpha - 1} L^{\beta}

Q_L = \beta A K^{\alpha} L^{\beta - 1}

Andreordens:
- $Q_{KK} = \alpha(\alpha - 1) A K^{\alpha - 2} L^{\beta}$
- $Q_{LL} = \beta(\beta - 1) A K^{\alpha} L^{\beta - 2}$
- $Q_{KL} = \alpha \beta A K^{\alpha - 1} L^{\beta - 1}$

Vanligvis er $0 < \alpha < 1$ og $0 < \beta < 1$ . Da blir $\alpha(\alpha - 1) < 0$ og $\beta(\beta - 1) < 0$ , så $Q_{KK} < 0$ og $Q_{LL} < 0$ — avtakende marginalprodukter. Og $Q_{KL} > 0$ betyr at marginalproduktet av kapital øker når man har mer arbeidskraft — innsatsfaktorene er komplementære.

For en nyttefunksjon $U(x, y)$ :
- $U_{xy} > 0$ : godene er komplementære (mer av det ene øker grensenytten av det andre — kaffe og fløte)
- $U_{xy} < 0$ : godene er substitutter (mer av det ene reduserer grensenytten av det andre — Pepsi og Cola)

De krysspartielle deriverte forteller oss altså noe fundamentalt om hvordan to varer eller innsatsfaktorer forholder seg til hverandre.

✏️Eksempel 7 — Komplementaritet

For nyttefunksjonen $U(x, y) = xy + 2x + 3y$ , er godene komplementære eller substitutter?

U_x = y + 2

U_y = x + 3

U_{xy} = 1 > 0

Godene er komplementære: en større mengde av $y$ øker grensenytten av $x$ . En klassisk slik nyttefunksjon ville passet for bil og bensin, eller PC og programvare.

📝Oppgave 5

Vurder om godene $x$ og $y$ er komplementære eller substitutter ut fra nyttefunksjonen

U(x, y) = x + y + xy

U(x, y) = 2x + 3y - 0{,}5 xy

U(x, y) = x^{0{,}5} y^{0{,}5}

U(x, y) = x^2 - 2xy + y^2

✏️Eksempel 8 — Avtakende marginalprodukt

En bedrift har produktfunksjon $Q(K, L) = 100 K^{0{,}4} L^{0{,}6}$ . Vis at $Q_{LL} < 0$ for alle $K, L > 0$ og tolk svaret.

Q_L = 60 K^{0{,}4} L^{-0{,}4}

$Q_{LL} = 60 \cdot (-0{,}4) K^{0{,}4} L^{-1{,}4} = -24 K^{0{,}4} L^{-1{,}4}$

Siden $K^{0{,}4} > 0$ og $L^{-1{,}4} > 0$ for $K, L > 0$ , er $Q_{LL} < 0$ alltid.

Tolkning: Marginalproduktet av arbeidskraft er positivt ( $Q_L > 0$ ) men avtakende ( $Q_{LL} < 0$ ). Hver ekstra arbeider gir noe ekstra produksjon, men gevinsten av en ekstra arbeider blir mindre jo flere arbeidere bedriften allerede har — loven om avtakende grenseproduktivitet.

📝Oppgave 6

En bedrift har kostnadsfunksjon $C(x, y) = 100 + 5x + 4y + 0{,}05 x^2 + 0{,}02 xy + 0{,}04 y^2$ .

Finn grensekostnadene $C_x$ og $C_y$ .

Beregn $C_x(50, 30)$ .

Finn $C_{xx}, C_{yy}, C_{xy}$ .

Er $C_{xx}$ positiv eller negativ? Hva betyr fortegnet økonomisk?

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 9 — Kjerneregel med eksponentialfunksjon

Finn $f_x$ og $f_y$ for $f(x, y) = e^{x^2 + 3y}$ .

u = x^2 + 3y

. Da er

f = e^u

f_x = e^u \cdot u_x

f_y = e^u \cdot u_y

$u_x = 2x$ , $u_y = 3$ , så

$f_x = 2x \, e^{x^2 + 3y}, \qquad f_y = 3 \, e^{x^2 + 3y}.$

📝Oppgave 7

Finn $f_x$ og $f_y$ ved hjelp av kjerneregel

f(x, y) = (x^2 + y^2)^3

f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}

f(x, y) = \ln(x^2 + y)

f(x, y) = e^{xy^2}

✏️Eksempel 10 — Andreord for Cobb-Douglas, konkret

For $Q(K, L) = 6 K^{0{,}5} L^{0{,}5}$ , regn ut $Q_{KK}, Q_{LL}, Q_{KL}$ og bestem fortegnet på hver.

Q_K = 3 K^{-0{,}5} L^{0{,}5}

Q_L = 3 K^{0{,}5} L^{-0{,}5}

$Q_{KK} = 3 \cdot (-0{,}5) K^{-1{,}5} L^{0{,}5} = -1{,}5 K^{-1{,}5} L^{0{,}5} < 0$
$Q_{LL} = -1{,}5 K^{0{,}5} L^{-1{,}5} < 0$
$Q_{KL} = 3 \cdot 0{,}5 K^{-0{,}5} L^{-0{,}5} = 1{,}5 K^{-0{,}5} L^{-0{,}5} > 0$

Konklusjon: Avtakende marginalprodukter ( $Q_{KK}, Q_{LL} < 0$ ), komplementære innsatsfaktorer ( $Q_{KL} > 0$ ).

📝Oppgave 8

En bedrift har profittfunksjon $\pi(x, y) = 20 x + 30 y - 0{,}5 x^2 - x y - 0{,}5 y^2 - 50$ .

Finn $\pi_x$ og $\pi_y$ .

Beregn $\pi_x(5, 10)$ og $\pi_y(5, 10)$ .

Finn $\pi_{xx}, \pi_{yy}, \pi_{xy}$ .

Tolk $\pi_x(5, 10) = 5$ økonomisk.

📜Oppsummering: Partielle deriverte

Begrep	Notasjon / formel
Partiell deriverte	$f_x = \dfrac{\partial f}{\partial x}$ , $f_y = \dfrac{\partial f}{\partial y}$
Regel	Deriver mhp én variabel, behandle andre som konstant
Marginalprodukt kapital	$Q_K$
Marginalprodukt arbeidskraft	$Q_L$
Grensenytte	$U_x, U_y$
Grensekostnad	$C_x, C_y$
Andreordens partielle	$f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}, f_{yx}$
Youngs setning	$f_{xy} = f_{yx}$ (under kontinuitet)
Komplementære goder	$f_{xy} > 0$
Substitutter	$f_{xy} < 0$
Avtakende marginalprodukt	$Q_{KK} < 0$ eller $Q_{LL} < 0$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Partiell derivert: Deriver mhp. én variabel mens de andre holdes konstante.
- Marginalprodukt: $Q_K$ er marginalprodukt av kapital, $Q_L$ av arbeidskraft.
- Andreordens partielle deriverte: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ og krysspartielle $f_{xy}$ .
- Symmetri: $f_{xy} = f_{yx}$ når de er kontinuerlige.

Viktige formler

f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y}, \qquad f_{xy} = f_{yx}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Partiell derivert	Deriver én variabel, hold andre fast
Marginalprodukt	$Q_K$ , $Q_L$
Krysspartiell	$f_{xy}$
Symmetri	$f_{xy} = f_{yx}$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.