7.1 Funksjoner av to variabler | Matematikk for økonomer

Definisjonsmengde, verdimengde og nivåkurver for $f(x,y)$, med Cobb-Douglas og nyttefunksjoner som eksempler.

50 min

14 oppgaver

Funksjon av to variablerDefinisjonsmengdeNivåkurverCobb-DouglasNyttefunksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Lineære funksjoner 3.3Eksponentialfunksjoner

Brukes videre i

7.2Partielle deriverte

Så langt har vi arbeidet med funksjoner som avhenger av én variabel, for eksempel kostnaden $K(x)$ som funksjon av produsert mengde. I virkeligheten avhenger økonomiske størrelser ofte av flere variabler samtidig. En produsent bruker både kapital og arbeidskraft. En konsument kjøper flere goder. En etterspurt mengde avhenger av både pris og inntekt. Vi trenger derfor funksjoner av flere variabler.

Cobb-Douglas — snitt ved fast L

Hold $L$ fast og varier $K$. Dra på $\alpha$ for å se hvordan avtakende grenseproduktivitet endrer seg.

Q(K) = K^{\alpha} L^{1-\alpha}

\alpha

0,5

L

(fast arbeidskraft)

Funksjon av to variabler

(x, y)

I økonomi har funksjoner av flere variabler en rekke navngitte former:

- Produktfunksjon: $Q = f(K, L)$ , der $K$ er kapital og $L$ er arbeidskraft
- Nyttefunksjon: $U = U(x, y)$ , der $x$ og $y$ er mengder av to goder
- Kostnadsfunksjon: $C = C(x, y)$ , der $x$ og $y$ er produserte mengder av to varer
- Etterspørselsfunksjon: $D = D(p, m)$ , der $p$ er pris og $m$ er inntekt

Når vi ønsker å finne en funksjonsverdi, setter vi tallene rett inn akkurat som for en variabel.

✏️Eksempel 1 — Beregne funksjonsverdier

La $f(x, y) = 3x^2 + 2xy - y^2$ .

a) Finn $f(2, 1)$ .
b) Finn $f(0, 3)$ .
c) Finn $f(-1, 2)$ .

f(2, 1) = 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 1 - 1^2 = 12 + 4 - 1 = 15

b) $f(0, 3) = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \cdot 3 - 3^2 = 0 + 0 - 9 = -9$

c) $f(-1, 2) = 3 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) \cdot 2 - 2^2 = 3 - 4 - 4 = -5$

✏️Eksempel 2 — Cobb-Douglas produktfunksjon

En bedrift har produktfunksjon

Q(K, L) = 10 K^{0{,}4} L^{0{,}6}

der

K

er kapital og

L

er arbeidskraft.

a) Hvor mye produseres med $K = 16$ og $L = 81$ ?
b) Hva skjer med produksjonen hvis både $K$ og $L$ dobles?

a) Vi setter inn:

Q(16, 81) = 10 \cdot 16^{0{,}4} \cdot 81^{0{,}6}

Bruker

16^{0{,}4} \approx 3{,}031

81^{0{,}6} \approx 13{,}967

Q(16, 81) \approx 10 \cdot 3{,}031 \cdot 13{,}967 \approx 423{,}4

b) $Q(2K, 2L) = 10 \cdot (2K)^{0{,}4} (2L)^{0{,}6} = 10 \cdot 2^{0{,}4} \cdot 2^{0{,}6} \cdot K^{0{,}4} L^{0{,}6} = 2 \cdot Q(K, L)$

Når begge innsatsfaktorer dobles, dobles også produksjonen. Dette kalles konstant skalaavkastning, og det henger sammen med at $0{,}4 + 0{,}6 = 1$ .

Når du regner med Cobb-Douglas: Bruk potensregelen

(ab)^n = a^n b^n

. Det er ofte enklere å separere konstantene

A

og potensene av

K

L

enn å regne ut alt på én gang.

📝Oppgave 1

La $f(x, y) = 2x + 3y - 5$ . Regn ut

f(1, 1)

f(4, 2)

f(0, 5)

f(-2, 3)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

En bedrift har produktfunksjon $Q(K, L) = 5 K^{0{,}5} L^{0{,}5}$ .

Finn $Q(4, 9)$ .

Finn $Q(100, 25)$ .

Hva skjer med produksjonen hvis vi tredobler både $K$ og $L$ ?

Løs oppgaven Tren

Definisjonsmengde

f(x, y)

✏️Eksempel 3 — Finne definisjonsmengde

Finn definisjonsmengden til funksjonene:

a) $f(x, y) = \dfrac{xy}{x - y}$

b) $g(x, y) = \sqrt{16 - x^2 - y^2}$

c) $h(x, y) = \ln(x + y - 1)$

a) Nevneren må ikke være null:

x - y \neq 0 \Rightarrow y \neq x

D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \neq x\}

b) Argumentet under rottegnet må være $\geq 0$ : $16 - x^2 - y^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \leq 16$ . Dette er en sirkelskive med radius 4 og sentrum i origo:
$D_g = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 16\}$

c) Argumentet til logaritmen må være $> 0$ : $x + y - 1 > 0 \Rightarrow y > 1 - x$ . Dette er området over linjen $y = 1 - x$ :
$D_h = \{(x, y) \mid x + y > 1\}$

✏️Eksempel 4 — Definisjonsmengde for nyttefunksjon

En konsument har nyttefunksjonen

U(x, y) = \ln(x) + 2\ln(y)

der

x

y

er kvanta av to goder. Finn definisjonsmengden, både matematisk og økonomisk.

Matematisk: Logaritmer krever positivt argument:

x > 0

y > 0

Økonomisk: Mengdene må være ikke-negative. Begge tolkninger sammenfaller her, og vi får
$D_U = \{(x, y) \mid x > 0, \, y > 0\}$
også kalt det åpne første kvadranten.

📝Oppgave 3

Finn definisjonsmengden til hver funksjon

f(x, y) = \dfrac{1}{x + y}

f(x, y) = \sqrt{x - y}

f(x, y) = \ln(xy)

f(x, y) = \dfrac{\sqrt{x}}{y - 2}

Grafen til en funksjon av to variabler er en flate i rommet (tredimensjonalt), og slike flater er vanskelige å tegne på papir. Et viktig hjelpemiddel er nivåkurver. En nivåkurve viser hvilke kombinasjoner av $x$ og $y$ som gir samme funksjonsverdi. Du har sett dem før på turkart (høydekurver) og værkart (isobarer).

Nivåkurve

f(x, y)

✏️Eksempel 5 — Nivåkurver for lineær funksjon

Finn og skisser nivåkurvene til $f(x, y) = 2x + 3y$ for $c = 0, 6, 12$ .

Vi setter

f(x, y) = c

og løser for

y

2x + 3y = c \Rightarrow y = \frac{c - 2x}{3} = -\frac{2}{3} x + \frac{c}{3}.

Dette gir tre rette linjer, alle med stigning $-\tfrac{2}{3}$ :

- $c = 0$ : $y = -\tfrac{2}{3} x$ (gjennom origo)
- $c = 6$ : $y = -\tfrac{2}{3} x + 2$
- $c = 12$ : $y = -\tfrac{2}{3} x + 4$

Nivåkurvene er parallelle rette linjer. For lineære funksjoner gir nivåkurvene alltid parallelle linjer.

✏️Eksempel 6 — Isokvanter for Cobb-Douglas

Finn isokvantene til $Q(K, L) = K L$ for $Q = 4, 9, 16$ . Skisser kurvene.

Vi setter

KL = Q

og løser for

L

L = \frac{Q}{K}, \quad K > 0.

- $Q = 4$ : $L = 4/K$
- $Q = 9$ : $L = 9/K$
- $Q = 16$ : $L = 16/K$

Dette er hyperbler i første kvadrant. Høyere $Q$ gir kurver som ligger lenger fra origo. Økonomisk tolkning: alle kombinasjoner av kapital og arbeidskraft på samme kurve gir samme produksjonsnivå. Bedriften kan velge å produsere $Q = 9$ med ( $K = 1, L = 9$ ) eller ( $K = 3, L = 3$ ) eller ( $K = 9, L = 1$ ).

En konsument er indifferent mellom alle godekurver $(x, y)$ på samme indifferenskurve — alle gir samme nytte $U$ . Indifferenskurvene illustrerer konsumentens preferanser: jo lenger ut fra origo, jo høyere nytte. Kurvene er typisk avtakende og konvekse mot origo, noe som tilsvarer at konsumenten foretrekker en blanding av begge goder fremfor mye av kun ett.

✏️Eksempel 7 — Indifferenskurver

En konsument har nyttefunksjon $U(x, y) = xy$ . Finn indifferenskurvene for $U = 1, 4, 9$ og skisser.

xy = U \Rightarrow y = \dfrac{U}{x}, \quad x > 0

- $U = 1$ : $y = 1/x$
- $U = 4$ : $y = 4/x$
- $U = 9$ : $y = 9/x$

Indifferenskurvene er hyperbler i første kvadrant. Høyere $U$ gir kurver lenger fra origo, slik teorien om økonomiske preferanser tilsier.

📝Oppgave 4

La $f(x, y) = x + 2y$ .

Finn nivåkurven på nivå $c = 4$ .

Finn nivåkurven på nivå $c = 10$ .

Hvilken type kurver er nivåkurvene til en lineær funksjon?

📝Oppgave 5

En produktfunksjon er $Q(K, L) = 2 K^{0{,}5} L^{0{,}5}$ . Finn isokvanten for

Q = 6

Q = 10

Hvilken type kurver får vi?

✏️Eksempel 8 — Kostnadsfunksjon for to varer

En bedrift produserer

x

enheter av vare A og

y

enheter av vare B. Totalkostnaden er

C(x, y) = 100 + 5x + 8y + 0{,}1 x y.

a) Hva er fastkostnaden?
b) Hva koster det å produsere $x = 20$ og $y = 10$ ?
c) Tolk leddet $0{,}1 xy$ .

a) Fastkostnaden er

C(0, 0) = 100

kr.

b) $C(20, 10) = 100 + 100 + 80 + 0{,}1 \cdot 200 = 300$ kr.

c) Leddet $0{,}1 xy$ representerer en interaksjonskostnad — å produsere begge varer samtidig gir en ekstra kostnad utover summen av kostnadene for hver vare alene. Det kan modellere knappe felles ressurser, lokaler eller produksjonslinjer som blir mer pressede når begge produkter lages.

📝Oppgave 6

En bedrift har totalkostnad $C(x, y) = 50 + 3x + 4y + 0{,}2 xy$ for produksjon av to varer.

Beregn $C(10, 5)$ .

Beregn $C(20, 10)$ .

Hva er forskjellen i kostnad mellom å produsere ( $x=10, y=5$ ) to ganger og å produsere ( $x=20, y=10$ ) direkte?

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 9 — Etterspørselsfunksjon med to variabler

Etterspurt mengde av en vare avhenger både av pris

p

og inntekt

m

D(p, m) = 200 - 4p + 0{,}05 m.

a) Hvor mye etterspurt når $p = 30$ og $m = 4000$ ?
b) Hvordan endres etterspurt mengde når prisen øker med 1 krone?
c) Hvordan endres etterspurt mengde når inntekten øker med 100 kr?

D(30, 4000) = 200 - 120 + 200 = 280

enheter.

b) En økning i $p$ med 1 reduserer $D$ med 4 enheter (koeffisienten foran $p$ ).

c) En økning i $m$ med 100 øker $D$ med $0{,}05 \cdot 100 = 5$ enheter.

Lineariteten her gjør at vi enkelt kan lese av virkninger av små endringer i hver variabel — dette leder rett til partiell derivasjon i neste kapittel.

📝Oppgave 7

En produktfunksjon er $Q(K, L) = K^{0{,}3} L^{0{,}7}$ .

Beregn $Q(1, 1)$ .

Beregn $Q(10, 10)$ .

Hva skjer med $Q$ hvis vi multipliserer både $K$ og $L$ med en faktor $t > 0$ ?

Finn isokvanten for $Q = 1$ , uttrykt som $L$ som funksjon av $K$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

En nyttefunksjon er $U(x, y) = \ln(x) + \ln(y)$ .

Finn definisjonsmengden.

Vis at indifferenskurven $U = c$ kan skrives $y = e^c / x$ .

Hva slags kurver er dette?

📜Oppsummering: Funksjoner av to variabler

Begrep	Definisjon / formel
Funksjon av to variabler	$f : D \to \mathbb{R}$ , $(x, y) \mapsto f(x, y)$
Definisjonsmengde	$D \subseteq \mathbb{R}^2$ , alle $(x, y)$ der $f$ er definert
Nivåkurve	$\{(x, y) \mid f(x, y) = c\}$
Cobb-Douglas	$Q(K, L) = A K^{\alpha} L^{\beta}$
Isokvant	Nivåkurve til produktfunksjon
Indifferenskurve	Nivåkurve til nyttefunksjon
Isokostkurve	Nivåkurve til kostnadsfunksjon
Skalaavkastning (introduseres i kap. 7.5)	$Q(tK, tL) = t^{\alpha+\beta} Q(K, L)$ for Cobb-Douglas

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Funksjon av to variabler: Tilordner et tall $z = f(x, y)$ til hvert tallpar.
- Økonomiske former: Produktfunksjon $Q = f(K, L)$ og nyttefunksjon.
- Definisjonsmengde: Tallpar der uttrykket gir et reelt tall.
- Nivåkurver: Kurver der funksjonen er konstant, f.eks. isokvanter og indifferenskurver.

Viktige formler

z = f(x, y), \qquad \text{nivåkurve: } f(x, y) = c

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Funksjon av to variabler	$f(x, y) = z$
Produktfunksjon	$Q = f(K, L)$
Nivåkurve	$f(x, y) = c$
Isokvant	Nivåkurve for lik produksjon

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.