3.3 Eksponentialfunksjoner | Matematikk for økonomer

Eksponentiell vekst og nedgang, vekstfaktor og halveringstid.

55 min

18 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktorHalveringstidDoblingstid

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.4Prosentregning

Brukes videre i

3.4Logaritmer 4.1Renter og renteberegning 4.6Kontinuerlig forrentning 7.1Funksjoner av to variabler

En eksponentialfunksjon har variabelen i eksponenten. Disse funksjonene modellerer vekst og nedgang i naturen, økonomi og andre områder.

I dette kapitlet lærer du:
- Eksponentiell vekst og nedgang
- Vekstfaktor
- Å tegne eksponentialfunksjoner
- Praktiske anvendelser

Eksponentiell vekst og nedgang

Endre vekstfaktoren b og startverdien a. Se hvordan b > 1 gir vekst, b < 1 gir nedgang, b = 1 gir konstant.

f(x) = a \cdot b^x

a

(startverdi)

100

b

(vekstfaktor)

1,1

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekst og nedgang

Vekstfaktoren $b$ bestemmer om funksjonen vokser eller avtar:

- $b > 1$ : Eksponentiell vekst
- $0 < b < 1$ : Eksponentiell nedgang

Prosentvis vekst: Hvis noe øker med $p\%$ per enhet:
$b = 1 + \frac{p}{100}$

Prosentvis nedgang: Hvis noe avtar med $p\%$ per enhet:
$b = 1 - \frac{p}{100}$

✏️Eksempel 1

En bakteriekultur starter med 1000 bakterier og dobler seg hver time. Sett opp en funksjon for antall bakterier etter $t$ timer.

Startverdi:

a = 1000

Vekstfaktor:

b = 2

(dobling)

$N(t) = 1000 \cdot 2^t$

Sjekk:
- $N(0) = 1000 \cdot 2^0 = 1000$ ✓
- $N(1) = 1000 \cdot 2^1 = 2000$ ✓
- $N(2) = 1000 \cdot 2^2 = 4000$ ✓

📝Oppgave 1

En populasjon på 500 individer vokser med 8% per år. Sett opp en funksjon og finn populasjonen etter 10 år.

✏️Eksempel 2

En bil mister 15% av verdien hvert år. Den koster 400 000 kr ny. Sett opp en funksjon for bilens verdi etter $t$ år.

Startverdi:

a = 400\,000

Nedgang:

15\%

Vekstfaktor:

b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

$V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t$

Verdi etter 5 år:
$V(5) = 400\,000 \cdot 0{,}85^5 \approx 177\,000 \text{ kr}$

📝Oppgave 2

En maskin koster 200 000 kr og mister 25% av verdien hvert år. Sett opp en funksjon og finn verdien etter 4 år.

Grafens egenskaper

For $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

Alltid:
- $f(0) = a$ ( $y$ -skjæring)
- $f(x) > 0$ for alle $x$ (aldri negativ)
- Ingen nullpunkter
- Horisontal asymptote $y = 0$

Hvis $b > 1$ :
- Grafen stiger
- Bratt vekst for store $x$

Hvis $0 < b < 1$ :
- Grafen synker
- Nærmer seg 0 for store $x$

✏️Eksempel 3

Sammenlign grafene til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

$f(x) = 2^x$ :
- Vekst (

b = 2 > 1

)
- Stiger fra venstre mot høyre
-

f(0) = 1

$\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
- Nedgang ( $b = 0{,}5 < 1$ )
- Synker fra venstre mot høyre
- $g(0) = 1$

De to grafene er speilinger av hverandre om $y$ -aksen.

📝Oppgave 3

Avgjør om funksjonene viser vekst eller nedgang:

f(x) = 3 \cdot 1{,}5^x

g(x) = 100 \cdot 0{,}9^x

h(x) = 50 \cdot 2^{-x}

Doblingstid og halveringstid

Doblingstid: Tiden det tar før verdien er doblet.
For $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$ er doblingstiden $T$ .

Halveringstid: Tiden det tar før verdien er halvert.
For $\displaystyle f(x) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x/T}$ er halveringstiden $T$ .

Eksempel: Radioaktivt stoff med halveringstid 10 år: $N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{t/10}$

✏️Eksempel 4

Du setter 10 000 kr i banken med 3% årlig rente. Hvor mye har du etter 20 år?

Startverdi:

a = 10\,000

Vekstfaktor:

b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03

$K(t) = 10\,000 \cdot 1{,}03^t$

Etter 20 år:
$K(20) = 10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061 \text{ kr}$

Du har tjent ca. 8061 kr i renter.

📝Oppgave 4

Finn vekstfaktoren:

5% økning per år

20% nedgang per time

Tredobling per uke

📝Oppgave 5

Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punktene $(0, 4)$ og $(2, 36)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 6

Et radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Du starter med 200 gram. Sett opp en funksjon og finn hvor mye som er igjen etter 15 år.

📜Oppsummering: Eksponentialfunksjoner

For eksponentialfunksjonen $f(x) = a \cdot b^x$ med $a \neq 0$ , $b > 0$ og $b \neq 1$ :

Begrep	Formel/Regel
Generell form	$f(x) = a \cdot b^x$
Startverdi	$f(0) = a$
Vekstfaktor	$b$
Vekst (stigende)	$b > 1$
Nedgang (avtakende)	$0 < b < 1$
Prosentvis vekst $p\%$	$b = 1 + \dfrac{p}{100}$
Prosentvis nedgang $p\%$	$b = 1 - \dfrac{p}{100}$
Doblingstid	$T = \dfrac{\ln 2}{\ln b}$
Halveringstid (nedgang)	$T = \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln b}$
Horisontal asymptote	$y = 0$
Naturlig grunntall	$e \approx 2{,}718$

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet.

Finn feilen. En medstudent skriver: "Med 5 % årlig vekst over 12 år vokser kapitalen totalt med

5\% \cdot 12 = 60\%

, så sluttverdien blir

1{,}60

ganger startverdien." Hva er feilen i resonnementet? Regn ut den faktiske veksten og forklar prinsippet som mangler.

Forklar uten regning. Forklar hvorfor eksponentiell vekst med ENHVER vekstfaktor

b > 1

(uansett hvor liten — for eksempel

b = 1{,}0001

) til slutt vil overgå lineær vekst med ENHVER stigningskoeffisient (uansett hvor stor — for eksempel

a = 10^{10}

). Hva er det grunnleggende prinsippet?

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Eksponentialfunksjon: $f(x) = a \cdot b^x$ med variabelen i eksponenten.
- Startverdi og vekstfaktor: $a$ er startverdien, $b$ er vekstfaktoren.
- Vekst og nedgang: $b > 1$ gir vekst, $0 < b < 1$ gir nedgang.
- Grafens egenskaper: Alltid positiv, med $y$ -skjæring i $a$ og ingen nullpunkter.

Viktige formler

f(x) = a \cdot b^x, \qquad f(0) = a

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Eksponentialfunksjon	$f(x) = a \cdot b^x$
Startverdi	$a$ , verdien ved $x = 0$
Vekstfaktor	$b$ , avgjør vekst eller nedgang
Eksponentiell vekst	$b > 1$

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.