3.4 Logaritmer | Matematikk for økonomer

Logaritmebegrepet, logaritmeregler og løsning av eksponentiallikninger.

55 min

16 oppgaver

LogaritmerBriggske logaritmerNaturlige logaritmerLogaritmeregler

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Eksponentialfunksjoner

Logaritmer er det motsatte av potenser. I økonomi bruker vi logaritmer til å finne ut hvor lang tid det tar før en investering når en viss verdi, eller til å løse likninger der den ukjente står i eksponenten.

Logaritme

x

Briggske og naturlige logaritmer

\log x = \log_{10} x

✏️Eksempel 1

Regn ut uten kalkulator:

a) $\log_2 16$
b) $\log_3 27$
c) $\log 1000$
d) $\ln e^5$

Løsning:

a) $\log_2 16 = 4$ fordi $2^4 = 16$

b) $\log_3 27 = 3$ fordi $3^3 = 27$

c) $\log 1000 = 3$ fordi $10^3 = 1000$

d) $\ln e^5 = 5$ fordi $e^5 = e^5$

📝Oppgave 1

Regn ut uten kalkulator

\log_2 32

\log_4 64

\log 10\,000

\ln e^2

\log_5 125

\displaystyle \log_2 \frac{1}{8}

Løs oppgaven Tren

📜Logaritmeregler

For positive tall $x$ og $y$ , og vilkårlig grunntall $a > 0$ , $a \neq 1$ :

Regel	Formel
Produktregelen	$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
Kvotientregelen	$\displaystyle \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
Potensregelen	$\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$
Logaritme av 1	$\log_a 1 = 0$
Logaritme av grunntall	$\log_a a = 1$

✏️Eksempel 2

Skriv som én logaritme:

a) $\log 5 + \log 4$
b) $\ln 12 - \ln 3$
c) $3 \log 2$

Løsning:

a) $\log 5 + \log 4 = \log(5 \cdot 4) = \log 20$

b) $\displaystyle \ln 12 - \ln 3 = \ln\left(\frac{12}{3}\right) = \ln 4$

c) $3 \log 2 = \log 2^3 = \log 8$

📝Oppgave 2

Skriv som én logaritme

\log 8 + \log 5

\ln 20 - \ln 4

2 \log 5

\log 6 + \log 3 - \log 2

\displaystyle \frac{1}{2}\ln 16

Løs oppgaven Tren

Løse eksponentiallikninger

Når den ukjente står i eksponenten, tar vi logaritmen på begge sider:

$a^x = b \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\ln b}{\ln a}$

Dette følger fra potensregelen: $\ln(a^x) = x \cdot \ln a$ .

✏️Eksempel 3

Løs likningen $2^x = 10$

Løsning:

Vi tar den naturlige logaritmen på begge sider:
$\ln(2^x) = \ln 10$

Bruker potensregelen:
$x \cdot \ln 2 = \ln 10$

Løser for $x$ :
$x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \frac{2{,}303}{0{,}693} \approx 3{,}32$

📝Oppgave 3

Løs eksponentiallikningene (bruk kalkulator)

3^x = 20

5^x = 100

1{,}05^x = 2

e^x = 50

Løs oppgaven Tren

Anvendelse i økonomi

Eksempel: Doblingstid

Hvor lang tid tar det før en investering dobles med $r\%$ årlig rente?

Vi løser $K_0 \cdot (1+r)^t = 2K_0$ :
$(1+r)^t = 2$
$t = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$

Tommelfingerregel: Doblingstid $\displaystyle \approx \frac{72}{r}$ (der $r$ er rentesatsen i prosent)

✏️Eksempel 4

Du investerer 50 000 kr med 6% årlig avkastning. Hvor lang tid tar det før investeringen er verdt 80 000 kr?

Løsning:

Vi løser: $50\,000 \cdot 1{,}06^t = 80\,000$

$1{,}06^t = \frac{80\,000}{50\,000} = 1{,}6$

$t = \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}06} = \frac{0{,}470}{0{,}058} \approx 8{,}1 \text{ år}$

Det tar ca. 8 år og 1 måned.

📝Oppgave 4

Løs de økonomiske problemene

Hvor lang tid tar det å doble en investering med 5% årlig rente?

En investering på 100 000 kr skal vokse til 150 000 kr med 8% årlig avkastning. Hvor lang tid tar det?

En bil faller 12% i verdi per år. Hvor lang tid tar det før verdien er halvert?

Du vil ha 1 000 000 kr om 20 år. Med 7% årlig avkastning, hvor mye må du investere nå?

Løs oppgaven Tren

📜Skifte av grunntall

Vi kan skrive om logaritmer fra ett grunntall til et annet:

$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\log x}{\log a}$

Dette er nyttig når kalkulatoren bare har $\ln$ og $\log$ .

📝Oppgave 5

Regn ut med kalkulator

\log_2 50

\log_3 100

\log_5 1000

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Logaritmer

Begrep/Regel	Formel
Definisjon	$\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$
Briggsk logaritme	$\log x = \log_{10} x$
Naturlig logaritme	$\ln x = \log_e x$
Produktregel	$\log(xy) = \log x + \log y$
Kvotientregel	$\log(x/y) = \log x - \log y$
Potensregel	$\log(x^n) = n \cdot \log x$
Løse $a^x = b$	$\displaystyle x = \frac{\ln b}{\ln a}$
Skifte grunntall	$\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

📝Oppgave T

Tenk og forklar. Disse oppgavene tester forståelsen din av kapittelet.

Finn feilen. En medstudent skriver: "

\ln(x+y) = \ln x + \ln y

." Hva er feilen? Skriv den riktige logaritmeregelen som studenten kanskje blander den med, og forklar med ord når man kan flytte ledd inn og ut av en logaritme.

Forklar uten formler. Forklar hvorfor argumentet til en logaritme alltid må være positivt — altså hvorfor

\ln(x)

kun er definert for

x > 0

. Hva betyr dette grafisk for grafen til

y = \ln x

🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 2 oppgaver

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Logaritme: Det motsatte av potens; $\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$ .
- Briggske og naturlige logaritmer: Grunntall 10 ( $\log$ ) og $e$ ( $\ln$ ).
- Logaritmeregler: Produkt, kvotient og potens kan skrives om.
- Anvendelse: Logaritmer løser eksponentiallikninger, f.eks. doblingstid.

Viktige formler

\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x

a^x = b \Rightarrow x = \frac{\ln b}{\ln a}

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Logaritme	Eksponenten som gir et tall
$\ln$	Naturlig logaritme (grunntall $e$ )
$\log$	Briggsk logaritme (grunntall 10)
Doblingstid	Tid før en verdi dobles

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Handelshøyskolen BI. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.