3.4 Logaritmer | Matematikk for økonomer

Spørsmålet potensen ikke svarer på

Vi vet at $2^3=8$ . Men hva om vi snur spørsmålet: i hvilken potens må vi opphøye $2$ for å få $8$ ? Svaret er $3$ , og dette baklengs-spørsmålet er nettopp det en logaritme svarer på. Logaritmen er det motsatte av en potens.

Definisjonen binder de to sammen: logaritmen til et tall $x$ med grunntall $a$ er eksponenten vi må opphøye $a$ i for å få $x$ . Med symboler: $\log_a x = y$ betyr nøyaktig det samme som $a^y = x$ . Derfor er $\log_2 8 = 3$ fordi $2^3=8$ , $\log_{10}100=2$ fordi $10^2=100$ , og $\log_5 25=2$ fordi $5^2=25$ .

To grunntall er så vanlige at de har egne navn og egne knapper på kalkulatoren. Briggske logaritmer, eller tierlogaritmer, har grunntall $10$ , og vi skriver dem bare $\log x = \log_{10}x$ . Naturlige logaritmer har grunntall $e\approx 2{,}718$ , og vi skriver dem $\ln x = \log_e x$ . På kalkulatoren gir «log»-knappen $\log_{10}$ , mens «ln»-knappen gir $\log_e$ . La oss varme opp uten kalkulator: $\log_2 16=4$ fordi $2^4=16$ , $\log_3 27=3$ fordi $3^3=27$ , $\log 1000=3$ fordi $10^3=1000$ , og $\ln e^5=5$ -- for hvilken potens av $e$ gir $e^5$ ? Selvfølgelig $5$ .

Tre regler som forenkler alt

Logaritmer har tre regneregler som gjør store uttrykk håndterbare. De gjelder for positive tall $x$ og $y$ og ethvert lovlig grunntall. Produktregelen sier at logaritmen av et produkt er summen av logaritmene: $\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y$ . Kvotientregelen gjør det motsatte for en brøk: $\displaystyle \log_a\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y$ . Og potensregelen -- den vi får mest glede av -- lar oss flytte en eksponent ned foran: $\log_a(x^n)=n\cdot\log_a x$ . I tillegg er $\log_a 1=0$ og $\log_a a=1$ .

Reglene leses begge veier. Vil vi samle flere logaritmer til én, bruker vi dem forlengs. $\log 5+\log 4=\log(5\cdot 4)=\log 20$ . $\displaystyle \ln 12-\ln 3=\ln\!\left(\frac{12}{3}\right)=\ln 4$ . Og $3\log 2=\log 2^3=\log 8$ .

Den virkelige kraften kommer når vi skal løse eksponentiallikninger -- likninger der den ukjente sitter i eksponenten. Trikset er å ta logaritmen på begge sider. Skal vi løse $2^x=10$ , tar vi den naturlige logaritmen: $\ln(2^x)=\ln 10$ . Potensregelen flytter $x$ ned: $x\cdot\ln 2=\ln 10$ , og dermed $\displaystyle x=\frac{\ln 10}{\ln 2}=\frac{2{,}303}{0{,}693}\approx 3{,}32$ . Generelt løser vi $a^x=b$ ved $\displaystyle x=\frac{\ln b}{\ln a}$ .

Hvor lang tid tar veksten?

Nå kobler vi logaritmene til økonomien. I forrige kapittel vokste sparepenger eksponentielt, men vi kunne ikke regne ut hvor lang tid noe bruker på å nå en gitt verdi -- for da sitter tiden i eksponenten. Logaritmene løser akkurat dette.

Tenk på doblingstid: hvor lenge tar det før en investering dobler seg med rente $r$ ? Vi løser $K_0\cdot(1+r)^t=2K_0$ , der startkapitalen $K_0$ forsvinner og vi sitter igjen med $(1+r)^t=2$ . Logaritmen gir $\displaystyle t=\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ . En kjekk tommelfingerregel er at doblingstiden er omtrent $\displaystyle \frac{72}{r}$ , der $r$ er renten i prosent.

La oss regne på et konkret tilfelle. Du investerer $50\,000$ kr med $6\%$ årlig avkastning og vil vite når beløpet er verdt $80\,000$ kr. Vi setter opp $50\,000\cdot 1{,}06^t=80\,000$ , deler på $50\,000$ og får $1{,}06^t=1{,}6$ . Logaritmen løser eksponenten: $\displaystyle t=\frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}06}=\frac{0{,}470}{0{,}058}\approx 8{,}1$ år -- altså rundt åtte år og en måned. Til slutt en nyttig snarvei: har kalkulatoren bare $\ln$ og $\log$ , kan vi regne ut en logaritme med vilkårlig grunntall ved å skifte grunntall: $\displaystyle \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}=\frac{\log x}{\log a}$ .

Oppsummering

En logaritme er det motsatte av en potens: $\log_a x=y$ betyr at $a^y=x$ . To grunntall er spesielt vanlige -- den briggske logaritmen $\log x$ med grunntall $10$ og den naturlige logaritmen $\ln x$ med grunntall $e\approx 2{,}718$ .

Tre regneregler bærer alt: produktregelen $\log(xy)=\log x+\log y$ , kvotientregelen $\displaystyle \log\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log x-\log y$ og potensregelen $\log(x^n)=n\log x$ . Den siste er nøkkelen til å løse eksponentiallikninger: ved å ta logaritmen på begge sider av $a^x=b$ får vi $\displaystyle x=\frac{\ln b}{\ln a}$ .

I økonomien lar logaritmene oss finne tiden veksten bruker -- som doblingstiden $\displaystyle t=\frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$ , eller tiden $50\,000$ kr bruker på å bli $80\,000$ kr med $6\%$ rente, drøyt åtte år. Og trenger vi en logaritme med et uvanlig grunntall, skifter vi grunntall med $\displaystyle \log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$ .